山东省烟台市2021-2022学年高三上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-12-13 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | 1 \leq x \leq 3}$ ， $B = {x | x^{2} - 6 x + 8 \geq 0}$ ，则 $A \cap (∁_{R} B) =$ （）

A、 ${x | 2 < x \leq 3}$ B、 ${x | 1 \leq x \leq 3}$ C、 ${x | 1 \leq x < 4}$ D、 ${x | 2 < x < 4}$

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2. 设 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别是 $△ A B C$ 的三条边，且 $a \leq b \leq c$ .则“ $a^{2} + b^{2} < c^{2}$ ”是“ $△ A B C$ 为钝角三角形”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 设 $a = \log_{5} 2$ ， $b = \log_{9} 3$ ， $c = \log_{15} 4$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $b < c < a$ C、 $a < c < b$ D、 $a < b < c$

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4. 我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数值剩二，七七数之剩二，问物几何？”根据这一数学思想，所以被3除余2的自然数从小到大组成数列 ${a_{n}}$ ，所有被5除余2的自然数从小到大组成数列 ${b_{n}}$ ，把 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的公共项从小到大得到数列 ${c_{n}}$ ，则（）

A、 $a_{3} + b_{5} = c_{3}$ B、 $b_{28} = c_{10}$ C、 $a_{5} b_{2} > c_{8}$ D、 $c_{9} - b_{9} = a_{26}$

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5. 设 $D$ 为 $△ A B C$ 所在平面内一点， $\vec{B C} = 2 \vec{C D}$ ， $E$ 为 $B C$ 的中点，则 $\vec{A E} =$ （）

A、 $\frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A D}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A D}$ C、 $\frac{2}{3} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A D}$ D、 $\frac{1}{3} \vec{A B} - \frac{2}{3} \vec{A D}$

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6. 已知函数 $y = \ln x$ （ $\frac{1}{e} \leq x \leq e$ ）的图象上存在点 $P$ ，函数 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + c$ 的图象上存在点 $Q$ ，且 $P$ 、 $Q$ 关于 $x$ 轴对称，则实数 $c$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{1}{2} ， 1 + \frac{1}{2 e^{2}}]$ B、 $[1 + \frac{1}{2 e^{2}} ， \frac{e^{2}}{2} - 1]$ C、 $[\frac{1}{2} ， \frac{e^{2}}{2} - 1]$ D、 $[1 ， 1 + \frac{2}{2 e^{2}}]$

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7. 曲线 $y = x - \frac{2}{x}$ 在 $x = 1$ 处的切线的倾斜角为 $α$ ，则 $\frac{\cos 2 α}{1 + \tan α} =$ （）

A、-1 B、 $- \frac{1}{5}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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8. 设 $f (x)$ 是定义域 $R$ 的奇函数， $f (x + 1)$ 是偶函数，且当 $x \in (0 ， 1]$ ， $f (x) = a x (x - 2)$ .若 $f (- 1) + f (2) = - 1$ ，则 $f (\frac{7}{2}) =$ （）

A、-1 B、 $- \frac{3}{4}$ C、1 D、 $\frac{3}{2}$

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二、多选题

9. 设 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和.若 $S_{n} = 2 a_{n} + \frac{1}{2}$ ，则（）

A、 $S_{6} = a_{7}$ B、 $a_{n} = 2^{n - 2}$ C、 $a_{8} = 4 a_{5} + a_{7}$ D、数列 ${a_{n}}$ 为递减数列

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10. 下列命题正确的是（）

A、若 $a < b < 0$ ， $c > 0$ ，则 $\frac{1}{a c} < \frac{1}{b c}$ B、若 $a > 0$ ， $b > 0$ ，则 $\sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}} \geq \frac{2 a b}{a + b}$ C、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + b = 1$ ，则 $a^{2} + b^{2} \geq \frac{1}{2}$ D、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a b = 1$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{2}{a + b} \geq 4$

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11. 设函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{5})$ （ $ω > 0$ ），若 $f (x)$ 在 $[0 ， π]$ 有且仅有5个极值点，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(0 ， π)$ 有且仅有3个极大值点 B、 $f (x)$ 在 $(0 ， π)$ 有且仅有4个零点 C、 $ω$ 的取值范围是 $[\frac{43}{10} ， \frac{53}{10})$ D、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{20})$ 上单调递增

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12. 关于函数 $f (x) = e^{x}$ ， $g (x) = \ln x$ ，下列说法正确的是（）

A、对 $\forall x \in R$ ， $f (x) \geq 1 + x$ 恒成立 B、对 $\forall x > 0$ ， $g (x) \geq 1 - \frac{1}{x}$ 恒成立 C、函数 $y = x f (x) - x - g (x)$ 的最小值为 $e - 1$ D、若不等式 $f (a x) \geq \frac{g (x)}{a}$ 对 $\forall x > 0$ 恒成立，则正实数 $a$ 的最小值为 $\frac{1}{e}$

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (3 ， 1)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， 2)$ ， $\vec{c} = λ \vec{a} - \vec{b}$ .若 $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ ，则 $λ =$ .

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14. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{- x} - 1 ， x \leq 0 \\ - x^{2} + 4 x - 2 ， x > 0 \end{array}$ ，若函数 $g (x) = f (x) - k$ 有两个零点，则实数 $k$ 的取值范围是.

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15. 已知函数 $f (x) = e^{x} \sin x - a x$ 在 $(- π ， 0)$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围.

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16. 我国民间剪纸艺术在剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.现有一张半径为 $R$ 的圆形纸，对折1次可以得到两个规格相同的图形，将其中之一进行第2次对折后，就会得到三个图形，其中有两个规格相同，取规格相同的两个之一进行第3次对折后，就会得到四个图形，其中依然有两个规格相同，以此类推，每次对折后都会有两个图形规格相同.如果把 $k$ 次对折后得到的不同规格的图形面积和用 $S_{k}$ 表示，由题意知 $S_{1} = \frac{π R^{2}}{2}$ ， $S_{2} = \frac{3 π R^{2}}{4}$ ，则 $S_{4} =$ ；如果对折 $n$ 次，则 $\sum_{k = 1}^{n} S_{k} =$ .

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{2} \cos (x + \frac{π}{2}) \cos (x + \frac{π}{4})$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 的最大值.

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18. 已知公差不为 $0$ 的等差数列 ${a_{n}}$ ，满足 $a_{4}^{2} = a_{2} a_{9}$ ， $a_{3} + a_{5} + a_{7} = 39$ ，记 $b_{n} = [\log_{5} a_{n}]$ ，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，如 $[0.8] = 0$ ， $[\log_{5} 26] = 2$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${b_{n}}$ 的前2022项和.

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19. 首届中国（宁夏）国际葡萄酒文化旅游博览会于2021年9月24-28日在银川国际会展中心拉开帷幕，183家酒庄、企业携各类葡萄酒、葡萄酒加工机械设备、酒具等葡萄酒产业相关产品亮相.某酒庄带来了2021年葡萄酒新品参展，供购商洽谈采购，并计划大量销往海内外.已知该新品年固定生产成本40万元，每生产一箱需另投入100元.若该酒庄一年内生产该葡萄酒 $x$ 万箱且全部售完，每万箱的销售收入为 $H (x)$ 万元， $H (x) = {\begin{array}{l} 280 - 3 x ， 0 < x \leq 20 \\ 90 + \frac{3000 (x - 1)}{x (x + 2)} ， x > 20 \end{array}$ .

(1)、写出年利润 $M (x)$ （万元）关于年产量 $x$ （万箱）的函数解析式；（利润＝销售收入－成本）

(2)、年产量为多少万箱时，该酒庄的利润最大？并求出最大利润.

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20. 在① $b \sin \frac{A + B}{2} = c \sin B$ ，② $\sqrt{3} (c \cos A - b) = - a \sin C$ ，③ $\frac{c}{\cos C} = \frac{a + b}{\cos A + \cos B}$ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且满足________.

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $8 \sqrt{3}$ ， $A C$ 的中点为 $D$ ，求 $B D$ 的最小值.

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21. 已知函数 $f (x) = m x^{2} - 2 x + \ln x$ ，其中 $m$ 为正实数.

(1)、当 $m = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；

(2)、当 $x \in [\frac{1}{2} ， 1]$ 时， $f (x) \geq m x - 2$ ，求 $m$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = \ln (x + a)$ .

(1)、当 $a = 0$ ，证明： $f (x) < e^{x} - 2$ ；

(2)、设 $a > 1$ ，若 $g (x) = f (x) - a x$ ，且 $g (x_{1}) = g (x_{2}) = 0$ （ $x_{1} \neq x_{2}$ ），求证： $x_{1} + x_{2} < 0$ .

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