山东省潍坊市2021-2022学年高三上学期期中数学试题

试卷更新日期：2021-12-13 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 1 < x < 5}$ ， $B = {x \in N | - 1 < x \leq 3}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(1 ， 3]$ B、 $(- 1 ， - 5)$ C、 ${2 ， 3}$ D、 ${1 ， 2 ， 3}$

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2. 我们称可同时存在于一个指数函数与一个对数函数的图象上的点为“和谐点”，则四个点 $M (1 ， 1)$ ， $N (2 ， 1)$ ， $P (2 ， 2)$ ， $Q (2 ， - 3)$ 中“和谐点”的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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3. 已知 $\sin 2 α = - \frac{1}{4}$ ，则 $\sin^{2} (α + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{3}{8}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{8}$ D、 $\frac{5}{8}$

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4. 函数 $f (x) = \frac{x^{3} \cos x}{x^{2} + 1}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 为庆祝中国共产党成立100周年，某学校组织“红心向党”歌咏比赛，前三名被甲、乙、丙获得．下面三个结论：“甲为第一名，乙不是第一名，丙不是第三名”中只有一个正确，由此可推得获得第一、二、三名的依次是（）

A、甲、乙、丙 B、乙、丙、甲 C、丙、甲、乙 D、乙、甲、丙

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6. 若函数 $f (x) = (x^{2} + a x + 2) \cdot e^{x}$ 在 $R$ 上无极值，则实数 $a$ 的取值范围（）

A、 $(- 2 ， 2)$ B、 $(- 2 \sqrt{3} ， 2 \sqrt{3})$ C、 $[- 2 \sqrt{3} ， 2 \sqrt{3}]$ D、 $[- 2 ， 2]$

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7. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ， $x + 2 y = 1$ ，则 $\frac{(x + 1) (y + 1)}{x y}$ 的最小值为（）

A、 $4 + 4 \sqrt{3}$ B、12 C、 $8 + 4 \sqrt{3}$ D、16

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8. “迪拜世博会”于2021年10月1日至2022年3月31日在迪拜举行，中国馆建筑名为“华夏之光”，外观取型中国传统灯笼，寓意希望和光明．它的形状可视为内外两个同轴圆柱，某爱好者制作了一个中国馆的实心模型，已知模型内层底面直径为 $12 cm$ ，外层底面直径为 $16 cm$ ，且内外层圆柱的底面圆周都在一个直径为 $20 cm$ 的球面上.此模型的体积为（）

A、 $304 {πcm}^{3}$ B、 $840 {πcm}^{3}$ C、 $912 {πcm}^{3}$ D、 $984 {πcm}^{3}$

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二、多选题

9. 某位同学10次考试的物理成绩

y

与数学成绩

x

如下表所示：

数学成绩 $x$	76	82	72	87	93	78	89	66	81	76
物理成绩 $y$	80	87	75	$a$	100	79	93	68	85	77

参数数据： $\sum_{i = 1}^{10} x_{i} = 800$ ．

已知 $y$ 与 $x$ 线性相关，且 $y$ 关于 $x$ 的回归直线方程为 $\hat{y} = 1.1 x - 5$ ，则下列说法正确的是（）

A、

a = 86

B、

y

与

x

正相关 C、

y

与

x

的相关系数为负数 D、若数学成绩每提高5分，则物理成绩估计能提高5.5分

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10. 下列四个函数中，以 $π$ 为周期且在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上单调递增的偶函数有（）

A、 $y = \cos | 2 x |$ B、 $y = | \tan x |$ C、 $y = \sin | x |$ D、 $y = \lg | \sin x |$

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11. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，下列结论正确的有（）

A、异面直线 $C A_{1}$ 与 $B_{1} D_{1}$ 所成角的大小为 $\frac{π}{3}$ B、若 $E$ 是直线 $A C$ 上的动点，则 $D_{1} E ∥$ 平面 $A_{1} B C_{1}$ C、与此正方体的每个面都有公共点的截面的面积最小值是 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、若此正方体的每条棱所在直线与平面 $α$ 所成的角都相等，则 $α$ 截正方体所得截面面积的最大值是 $\sqrt{3}$

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12. 下列结论正确的有（）

A、若 $a = \sin \frac{1}{2}$ ， $b = - \log_{2} \sin \frac{1}{2}$ ， $c = 2^{- \sin \frac{1}{2}}$ ，则 $b > c > a$ B、若 $a > 0$ ， $a^{α} = {(9 a)}^{6 α}$ ，则 $\log_{a} 3 a = \frac{5}{12}$ C、若 $x y \neq 0$ ， $2^{x} = 18^{y} = 9^{x y}$ ，则 $x - y = 1$ D、若 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ 均为正整数， $\log_{a} b = \frac{3}{2}$ ， $\log_{c} d = \frac{5}{4}$ ， $a - c = 9$ ，则 $b + d = 157$

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三、填空题

13. 已知 $X \sim B (3 ， \frac{3}{5})$ ，且 $Y = - 5 X + 2$ ，则 $Y$ 的方差为．

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14. 为迎接2022年北京冬奥会，将4名志愿者分配到花样滑冰、速度滑冰2个项目进行培训，每名志愿者分配到1个项目，每个项目至少分配到1名志愿者，则不同的分配方案共有种．（用数字作答）

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15. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x - 1} ， x \leq 1 \\ - f (x - 2) ， x > 1 \end{array}$ ，则 $f (2022) =$ ．

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16. 学生小雨欲制作一个有盖的圆柱形容器，满足以下三个条件：①可将八个半径为 $20 mm$ 的乒乓球分两层放置在里面；②每个乒乓球都和其相邻的四个球相切；③每个乒乓球与该容器的底面（或上盖）及侧面都相切，则该容器的高为 $mm$ ．

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = 2^{x} + k \cdot 2^{- x}$ （ $k$ 为常数， $k \in R$ ）是 $R$ 上的奇函数．

(1)、求实数 $k$ 的值；

(2)、若函数 $y = f (x)$ 在区间 $[1 ， m]$ 上的值域为 $[n ， \frac{15}{4}]$ ，求 $m + n$ 的值．

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18. 已知命题 $p$ ：“ $\forall x \in R$ ，关于 $x$ 的方程 $x^{2} + m x + m + 3 = 0$ 有两个不相等的负实根”是假命题．

(1)、求实数 $m$ 的取值集合 $M$ ；

(2)、在（1）的条件下，设不等式 $(x - a) (x - 2) < 0$ 的解集为 $N$ ，其中 $a \neq 2$ ．若 $x \in N$ 是 $x \in M$ 的充分条件，求实数 $a$ 的取值范围．

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19. 在① $a \sin B = \frac{\sqrt{3}}{2} b$ ；② $△ A B C$ 的面积 $S_{△ A B C} = \frac{\sqrt{3}}{4} b c$ ；③ $b c = b^{2} + c^{2} - a^{2}$ 这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并解决该问题．
问题：在 $△ A B C$ 中，它的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $A$ 为锐角， $b + c = 6$ ，______．

(1)、求 $a$ 的最小值；

(2)、若 $D$ 为 $B C$ 上一点，且满足 $A D = C D = 2 B D$ ，判断 $△ A B C$ 的形状．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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20. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，点 $B_{1}$ 在底面 $A B C$ 内的射影恰好是点 $C$ ， $D$ 是 $A C$ 的中点，且满足 $D A = D B$ ．

(1)、求证： $A B ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ；

(2)、已知 $A C = 2 B C = 2$ ，直线 $B B_{1}$ 与底面 $A B C$ 所成角的大小为 $\frac{π}{3}$ ，求二面角 $C - B D - C_{1}$ 的大小．

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21. 2021年7月18日第 $30$ 届全国中学生生物学竞赛在浙江省萧山中学隆重举行．为做好本次考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照 $[40 ， 50)$ ， $[50 ， 60)$ ， $[60 ， 70)$ ， $[70 ， 80)$ ， $[80 ， 90)$ ， $[90 ， 100]$ 分成 $6$ 组，制成了如图所示的频率分布直方图．

(1)、求频率分布直方图中 $m$ 的值，并估计这50名学生成绩的中位数；

(2)、在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在， $[70 ， 80)$ ， $[80 ， 90)$ ， $[90 ， 100]$ 的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记 $ξ$ 的分布列和数学期望；

(3)、转化为百分制后，规定成绩在 $[90 ， 100]$ 的为A等级，成绩在 $[70 ， 90)$ 的为 $B$ 等级，其它为 $C$ 等级．以样本估计总体，用频率代替概率，从所有参加生物竞赛的同学中随机抽取100人，其中获得 $B$ 等级的人数设为 $η$ ，记 $B$ 等级的人数为 $k$ 的概率为 $P (η = k)$ ，写出 $P (η = k)$ 的表达式，并求出当 $k$ 为何值时， $P (η = k)$ 最大？

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22. 已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = \ln x + a (1 - x)$ ， $g (x) = e^{x}$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、过原点分别作曲线 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 的切线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ ，求证：存在 $a > 0$ ，使得切线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 的斜率互为倒数；

(3)、若函数 $h (x) = x^{2} + a - f (x)$ 的图象与 $x$ 轴交于两点 $A (x_{1} ， 0)$ ， $B (x_{2} ， 0)$ ，且 $0 < x_{1} < x_{2}$ ．设 $x_{0} = λ x_{1} + μ x_{2}$ ，其中常数 $λ$ 、 $μ$ 满足条件 $λ + μ = 1$ ， $μ \geq λ > 0$ ，试判断函数 $h (x)$ 在点 $M (x_{0} ， h (x_{0}))$ 处的切线斜率的正负，并说明理由．

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