山东省泰安市2021-2022学年高三上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-12-13 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - x - 6 < 0} ， B = {x | 0 < x < 1}$ ，则 $A \cap (∁_{R} B) =$ （）

A、 ${x | - 2 < x \leq 0}$ B、 ${x | - 2 < x \leq 0$ 或 $1 \leq x < 3}$ C、 ${x | 1 \leq x < 3}$ D、 ${x | - 2 < x < 0$ 或 $1 < x < 3}$

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2. 已知 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，则“ $a > 2$ ”是“ $\log_{a} 2 < 1$ ”的（）

A、充分必要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{x} ， x \leq 0 \\ \ln x ， x > 0 \end{array}$ ，则 $f (f (1)) =$ （）

A、 $e$ B、-1 C、0 D、1

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4. 将函数 $f (x) = s i n (5 x - \frac{π}{4})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{5}$ 个单位长度，再将得到的图象上所有点的横坐标变为原来的 $2$ 倍（纵坐标不变），得到函数 $g (x)$ 的图象，则 $g (x) =$ （）

A、 $s i n (\frac{5}{2} x - \frac{π}{20})$ B、 $s i n (10 x - \frac{π}{20})$ C、 $s i n (\frac{5}{2} x + \frac{3 π}{4})$ D、 $s i n (\frac{5}{2} x + \frac{3 π}{8})$

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5. 若a， $b \in R$ ， $a b > 0$ ，则 $\frac{a b}{a^{4} + 4 b^{4} + 1}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、4

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6. 函数 $y = (1 + \cos x) (x - \frac{1}{x})$ 在 $[- 5 ， 0) \cup (0 ， 5]$ 上的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 若 $\cos α + 2 \sin α = - \sqrt{5} ，$ 则 $\tan α$ =（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、2 C、 $- \frac{1}{2}$ D、-2

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8. 若数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} a_{n} = a_{n} - 1$ ，则 $a_{2022} =$ （）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、-1 D、-2

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二、多选题

9. 下列命题为真命题的是（）

A、若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$ B、若 $a > b$ ，则 $2^{a - b} > \frac{1}{2}$ C、若 $a > 0 ， b > 0$ ，则 $\sqrt{a b} \geq \frac{2 a b}{a + b}$ D、若 $a > b > 0$ ，则 $\frac{\lg a}{\lg b} > 1$

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10. 设数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ，且 $2 S_{n} = 3 a_{n} + m$ ，则（）

A、 $m = - 1$ B、 ${a_{n}}$ 是等差数列 C、 $a_{n} = 3^{n - 1}$ D、 $S_{n} = \frac{3^{n} - 1}{2}$

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11. 已知函数 $f (x) = x + 2 \tan x$ ，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，设 $g (x) = f^{'} (x) \cos x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的图象关于原点对称 B、 $f (x)$ 在R上单调递增 C、 $2 π$ 是 $g (x)$ 的一个周期 D、 $g (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上的最小值为 $2 \sqrt{2}$

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12. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω \in N)$ 在 $[- \frac{π}{12} ， \frac{π}{12}]$ 和 $[\frac{7 π}{4} ， \frac{25 π}{12}]$ 上单调递增，则下列说法正确的是（）

A、 $ω$ 的最大值为3 B、方程 $f (x) = \log_{2 π} x$ 在 $(0 ， 2 π]$ 上至多有5个根 C、存在 $ω$ 和 $φ$ 使 $f (x) = \sin (ω x + φ)$ 为偶函数 D、存在 $ω$ 和 $φ$ 使 $f (x) = \sin (ω x + φ)$ 为奇函数

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三、填空题

13. 若 $2^{a} = 7^{b} = 14$ ，a， $b \in R$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} =$ .

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14. 在相距1000米的A，B两点处测量目标点C，若 $∠ C A B = 60 °$ ， $∠ C B A = 75 °$ ，则B，C两点之间的距离为米.

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15. 已知函数 $f (x) = x \ln x + \frac{1}{2} m x^{2}$ 有两个极值点，则实数m的取值范围为.

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ，且 $a_{n + 1} - a_{n} = n + 1$ ，则 $a_{n} =$ ，数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 的前n项和 $S_{n} =$ .

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四、解答题

17. 已知关于x的不等式 $x^{2} + a x + 1 \geq 0$ .

(1)、当 $a = \frac{5}{2}$ 时，解不等式；

(2)、若不等式对任意 $x \in (0 ， \frac{1}{2})$ 恒成立，求实数a的取值范围.

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18. 已知函数 $f (x) = \cos ω x \sin (ω x + \frac{π}{6}) - \cos^{2} ω x + \frac{1}{4}$ ，满足 $f (m) = f (n) = \frac{1}{4} (m ， n \in R ， m > n)$ 的 $m - n$ 的最小值是 $\frac{π}{3}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{5 π}{12}]$ 上的最大值和最小值.

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19. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 $\sin B + \sin C = 2 \sin A$ ， $3 b \sin C = 4 c \sin A$ ，点D在射线AC上，满足 $\cos ∠ A B D = 2 \cos B$ .

(1)、求 $∠ A B D$ ；

(2)、设 $∠ A B D$ 的角平分线与直线AC交于点E，求证： $\frac{1}{B A} + \frac{1}{B D} = \frac{1}{B E}$ .

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20. 已知等差数列 ${a_{n}}$ ， $a_{2}$ ， $a_{4}$ ，25成等比数列， $a_{6} = 2 (a_{1} + a_{3})$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、在所有相邻两项 $a_{k}$ 与 $a_{k + 1} (k = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot)$ 之间插入k个 $2^{k}$ ，使它们和原数列的项构成一个新的数列 ${b_{n}}$ ，记数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，求 $S_{50}$ 的值.

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21. 某地打算修建一条公路，但设计路线正好经过一个野生动物迁徙路线，为了保护野生动物，决定修建高架桥，为野生动物的迁徙提供安全通道.若高架桥的两端及两端的桥墩已建好，两端的桥墩相距1200米，余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经预测，一个桥墩的工程费用为500万元，距离为x米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为 $10 x [\ln (x + 12) - 3]$ 万元，假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素，记余下工程的费用为y万元.

(1)、试写出y关于x的函数关系式；

(2)、需新建多少个桥墩才能使y最小？并求出其最小值.参考数据： $\ln 2 \approx 0.69$ ， $\ln 3 \approx 1.10$

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22. 已知函数 $f (x) = (x - 1) \ln (x + 1)$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， 0)$ 处的切线方程为 $y = k x + b (k ， b \in R)$ .

(1)、求 $k$ ， $b$ 的值；

(2)、证明： $f (x) \geq k x + b$ ；

(3)、若函数 $g (x) = f (x) + m (m \in R)$ 有两个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，证明： $| x_{2} - x_{1} | \leq 1 - m - \frac{m}{\ln 2}$ .

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