山东省临沂市重点高中2021-2022学年高三上学期数学第一次月考试卷

试卷更新日期：2021-12-13 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {1 ， 2 ， 3}$ ， $B = {x | x^{2} < 9}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${1 ， 2}$ B、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ C、 ${1 ， 2 ， 3}$ D、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$

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2. “ $a = 2$ ”是“函数 $f (x) = | x - a |$ 在区间 $[2, + \infty)$ 上为增函数”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，且 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 1$ ，则向量 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 与向量 $\vec{a}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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4. 已知 $3^{a} = e$ ， $b = \log_{3} 5 - \log_{3} 2$ ， $c = 2 \ln \sqrt{3}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $a > c > b$ B、 $b > c > a$ C、 $c > a > b$ D、 $c > b > a$

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5. 已知复数 $z = 2 + i$ ，则 $\frac{\bar{z}}{1 + i}$ 在复平面上对应的点所在象限是（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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6. 设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x ，则a＝（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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7. 下列函数中，既是奇函数又在定义域内递增的是（）

A、 $f (x) = x^{3} + x$ B、 $f (x) = 3^{x} - 1$ C、 $f (x) = - \frac{1}{x}$ D、 $f (x) = \log_{3} | x |$

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8. 若存在唯一的实数 $t \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，使得曲线 $y = \cos (ω x - \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 关于点 $(t ， 0)$ 对称，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{5}{3} ， \frac{11}{3}]$ B、 $(\frac{5}{3} ， \frac{11}{3}]$ C、 $(\frac{4}{3} ， \frac{10}{3}]$ D、 $[\frac{4}{3} ， \frac{10}{3}]$

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二、多选题

9. 若函数 $f (x) = a e^{x} - x - 2 a$ 有两个零点，则实数 $a$ 的可能取值有（）

A、-2 B、0 C、2 D、4

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10. 下列函数的周期为 $π$ 的是（）

A、 $y = \sin x$ B、 $y = | \sin x |$ C、 $y = \sin 2 x + 3 \cos^{2} x$ D、 $y = \tan x - \cot x$

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11. 若函数 $f (x) = 2 x^{3} - a x^{2} (a < 0)$ 在 $(\frac{a}{2} ， \frac{a + 6}{3})$ 上有最大值，则a的取值可能为（）

A、－6 B、－5 C、－3 D、－2

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12. 对于定义域为 $D$ 的函数 $f (x)$ ，若存在区间 $[m ， n] \subseteq D$ ，同时满足下列条件：① $f (x)$ 在 $[m ， n]$ 上是单调的；②当定义域是 $[m ， n]$ 时， $f (x)$ 的值域也是 $[m ， n]$ ，则称 $[m ， n]$ 为该函数的“和谐区间”.下列函数存在“和谐区间”的是（）

A、 $f (x) = x^{3}$ B、 $f (x) = 3 - \frac{2}{x}$ C、 $f (x) = e^{x} - 1$ D、 $f (x) = \ln x + 2$

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三、填空题

13. 若命题“ $\exists x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{2} + 2 a x_{0} + 2 - a = 0$ ”是真命题，则实数a的取值范围是．

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14. 已知 $\vec{a} = (3 ， 4)$ ， $\vec{b} = (t ， - 6)$ ，且 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 共线，则向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为．

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15. 设 $f (x) = \sin 2 x + \sqrt{3} \cos 2 x$ ，将 $f (x)$ 的图像向右平移 $ϕ （ ϕ > 0 ）$ 个单位长度，得到 $g (x)$ 的图像，若 $g (x)$ 是偶函数，则 $ϕ$ 的最小值为．

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} \frac{1}{3} x + 1 ， x \leq 1 \\ \ln x ， x > 1 \end{matrix}$ ，则当函数 $F (x) = f (x) - a x$ 恰有两个不同的零点时，实数 $a$ 的取值范围是．

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四、解答题

17. 设函数f（x）=lnx-x²+x.
（I）求f（x）的单调区间；

（II）求f（x）在区间[ $\frac{1}{2}$ ，e]上的最大值.

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18. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin 2 x + \cos 2 x + a$ （ $a$ 为常数）

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上有最小值1，求 $a$ 的值.

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19. 设函数f(x)＝ $\frac{1}{3}$ x³－ $\frac{a}{2}$ x²＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.

(1)、求b，c的值；

(2)、设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围．

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20. 在① $\frac{b}{a} = \frac{\cos B + 1}{\sqrt{3} \sin A}$ ，② $2 b \sin A = a \tan B$ ，③ $(a - c) \sin A + c \sin (A + B) = b \sin B$ 这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.
已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若______.

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若 $a + c = 4$ ，求 $△ A B C$ 周长的最小值，并求出此时 $△ A B C$ 的面积.

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21. 某品牌电脑体验店预计全年购入360台电脑，已知该品牌电脑的进价为3000元/台，为节约资金决定分批购入，若每批都购入 $x$ （ $x$ 为正整数）台，且每批需付运费300元，储存购入的电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值（不含运费）成正比（比例系数为 $k$ ），若每批购入20台，则全年需付运费和保管费7800元.

(1)、记全年所付运费和保管费之和为 $y$ 元，求 $y$ 关于 $x$ 的函数.

(2)、若要使全年用于支付运费和保管费的资金最少，则每批应购入电脑多少台？

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} + a x + 1$ ， $g (x) = e^{x}$ (其中 $e$ 为自然对数的底数).

(1)、若 $a = 1$ ，求函数 $y = f (x) \cdot g (x)$ 在区间 $[- 2 ， 0]$ 上的最大值；

(2)、若 $a = - 1$ ，关于 $x$ 的方程 $f (x) = k \cdot g (x)$ 有且仅有一个实数解，求实数 $k$ 的取值范围；

(3)、若对任意 $x_{1} ， x_{2} \in [0 ， 2]$ ， $x_{1} \neq x_{2}$ ，不等式 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | < | g (x_{1}) - g (x_{2}) |$ 均成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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