山东省济宁邹城市2021-2022学年高三上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-12-13 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | 2 < x < 4}$ ， $B = {x | 1 \leq x \leq 3}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x | 2 < x \leq 3}$ B、 ${x | 2 \leq x \leq 3}$ C、 ${x | 1 \leq x \leq 4}$ D、 ${x | 1 < x < 4}$

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2. 定义运算 $| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} | = a d - b c$ ，若复数 $z$ 满足 $| \begin{matrix} z i & - 1 \\ z & 1 \end{matrix} | = 1 - i$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $1 + i$ B、 $1 - i$ C、 $- i$ D、 $i$

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3. 在 $△ A B C$ 中，“ $\sin C = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ”是“ $C = \frac{π}{3}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知函数 $f (x)$ 是定义域 $R$ 为的奇函数，当 $x > 0$ ，当 $f (x) = 10^{a x}$ ，（ $a$ 为常数），若 $f (\lg \frac{1}{5}) = - 25$ ，则实数 $a =$ （）

A、2 B、-2 C、 $\frac{1}{2}$ D、- $\frac{1}{2}$

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5. 在 $△ A B C$ 中，若 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 4$ ， $A \in [\frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ ，则 $△ A B C$ 面积的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2}]$ B、 $[\frac{\sqrt{3}}{3} ， \sqrt{3}]$ C、 $[1 ， \sqrt{3}]$ D、 $[\frac{2 \sqrt{3}}{3} ， 2 \sqrt{3}]$

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6. 在流行病学中，基本传染数 $R_{0}$ 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.假设某种传染病的基本传染数是 $R_{0} = 3$ ，那么感染人数由 $1$ 个初始感染者经过 $5$ 轮传染得到感染者（包括初始感染者）的总人数是多少? （初始感染者传染 $R_{0}$ 个人为第一轮传染，这 $R_{0}$ 个人每人再传染 $R_{0}$ 个人为第二轮传染，…）（）

A、363 B、364 C、365 D、366

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7. 已知函数 $f (x) = 2 \cos (2 x + \frac{π}{6})$ ，下面结论错误的是（）

A、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{12} ， \frac{π}{6}]$ 上单调递减 B、 $(\frac{2 π}{3} ， 0)$ 是函数 $f (x)$ 图象的一个对称中心 C、 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{3}]$ 上的值域为 $[- \sqrt{3} ， \sqrt{3}]$ D、 $f (x)$ 图象上的所有点向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位后得到函数 $g (x) = 2 \cos (2 x + \frac{π}{12})$ 的图象

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8. 函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 4^{x} ， x \leq 1 \\ \log_{\frac{1}{4}} x ， x > 1 \end{array}$ ，则函数 $y = f (1 - x)$ 的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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二、多选题

9. 已知向量 $\vec{a} + \vec{b} = (- 2 ， 1)$ ， $\vec{a} - \vec{b} = (4 ， 3)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $(\vec{a} + \vec{b}) // \vec{b}$ B、 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ C、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{3}{4} π$ D、 $| 2 \vec{a} + \vec{b} | = 10$

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10. 记 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，公差为 $d$ ，若 $S_{9} = a_{5} + a_{12}$ ， $a_{1} > 0$ ，则以下结论一定正确的是（）

A、 $d < 0$ B、 $S_{2} = S_{5}$ C、 $| a_{1} | > | a_{9} |$ D、 $S_{n}$ 取得最大值时， $n = 3$

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11. 已知 $2^{a} = 7^{b} = 14$ ，则下列关于 $a$ ， $b$ 可能满足的关系有（）

A、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$ B、 $a + b > 4$ C、 $a^{2} + b^{2} < 8$ D、 ${(a - 1)}^{2} + {(b - 1)}^{2} > 2$

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12. 已知函数 $f (x) = 2^{x + 1}$ 可以表示成一个偶函数 $g (x)$ 和一个奇函数 $h (x)$ 之和，若不等式 ${[h (x)]}^{2} + a g (x) \geq 2$ 对 $x \in R$ 恒成立，则实数 $a$ 的可能取值为（）

A、-1 B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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三、填空题

13. 已知 $θ \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，若 $\cos 2 θ = \frac{1}{3}$ ，则 $\tan θ =$ .

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14. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin 3 ω x - \cos 3 ω x (ω > 0)$ 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ，则 $f (\frac{π}{3}) =$ .

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15. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x$ 在区间 $(0 ， + \infty)$ 上无零点，则实数 $a$ 的取值范围是.

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16. 十九世纪法国数学家卢卡斯提出数列 ${L_{n}}$ ：2，1，3，4，7，…，称之为卢卡斯数列，且满足 $L_{1} = 2$ ， $L_{2} = 1$ ， $L_{n + 1} = L_{n} + L_{n - 1} (n \geq 2)$ ，则 $L_{12} =$ ；记 $S_{n}$ 为数列 ${L_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $L_{2023} = t$ ，则 $S_{2021} =$ .

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四、解答题

17. 一般地，任何一个复数 $z = a + b i$ （ $a$ ， $b \in R$ ）都可以表示成 $r (\cos θ + i \sin θ)$ 形式，其中， $r$ 是复数 $z$ 的模， $θ$ 是以 $x$ 轴的非负半轴为始边，向量 $\bar{O Z}$ 所在射线（射线 $O Z$ ）为终边的角，叫做复数 $z = a + b i$ 的辐角， $r (\cos θ + i \sin θ)$ 叫做复数 $z = a + b i$ 的三角表示式，简称三角形式.为了与“三角形式”区分开来， $a + b i$ （ $a$ ， $b \in R$ ）叫做复数的代数表示式，简称“代数形式”.

(1)、画出复数 $z = 1 - i$ 对应的向量，并把 $z = 1 - i$ 表示成三角形式；

(2)、已知 $z_{1} = \cos θ_{1} + i \sin θ_{1}$ ， $z_{2} = \cos θ_{2} + i \sin θ_{2}$ ， $\cos (π + θ_{1} + θ_{2}) = \frac{3}{5}$ ，其中 $θ_{1} \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $θ_{2} \in (0 ， \frac{π}{2})$ .试求 $z_{1} z_{2}$ （结果表示代数形式）.

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18. 已知等差数列

{a_{n}}

（

n \in N^{*}

）中

a_{1}

，

a_{2}

，

a_{3}

，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且其中的任意两个数均不在下表中的同一列.

	第一列	第二列	第三列
第一行	2	1	3
第二行	8	4	5
第三行	9	11	6

(1)、请选择一个可能的

{a_{1} ， a_{2} ， a_{3}}

组合，并求数列

{a_{n}}

的通项公式；

(2)、记（1）中您选择的数列

{a_{n}}

的前

n

项和为

S_{n}

，试判断是否存在正整数

k

，使得

a_{1}

，

a_{k}

，

S_{k + 2}

成等比数列？若有，则求出

k

的值；若没有，说明理由.

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19. 某城市公园有一如图所示的绿化带，其形状由一个直径为 $2 km$ 的半圆 $O$ 和矩形 $A B C D$ 组成，其中 $A B = 1 km$ .管理部门规划在圆心 $O$ 处建造一个亭子，为了方便游客到亭子游玩，决定从A地出发修建一条经过亭子 $O$ 处到达 $B C$ 的公路，具体路线是：在半圆 $O$ 上选点 $E$ (异于 $A$ ， $D$ 点)，从点 $A$ 沿圆弧到点 $E$ ，再从点 $E$ 经过亭子 $O$ 的直线到达 $B C$ 边上的点 $F$ 处.已知从点 $A$ 到点 $E$ 的修路费用每千米需要 $\frac{1}{5} a$ 元，从点 $E$ 到点 $F$ 的修路费用每千米需要 $\frac{1}{6} a$ 元，设 $∠ A O E = θ$ 弧度，从 $A$ 地经点 $E$ ， $O$ 到 $F$ 地修路所需费用为 $y$ 元.

(1)、试将 $y$ 表示为 $θ$ 的函数 $y = f (θ)$ ，并写出定义域；

(2)、当 $\cos θ$ 取何值时，修路所需费用最少?

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20. 在△ $A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且满足 $\sin^{2} B - \sin^{2} A - \sin^{2} C = \sin A \sin C$ .

(1)、求角 $B$ 大小；

(2)、若 $O$ 是△ $A B C$ 内部一点， $∠ A O B = \frac{π}{3}$ ， $∠ B O C = \frac{5 π}{6}$ ， $A B = 3$ ， $B C = 1$ .
①请猜想 $∠ B A O$ 与 $∠ O B C$ 的关系，并说明理由；

②求 $\tan ∠ B A O$ 的值.

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21. 设数列 ${a_{n}}$ 前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} - S_{n} = 1$ （ $n \in N^{*}$ ）.

(1)、求出 ${a_{n}}$ 通项公式；

(2)、若 $b_{n} = {\begin{array}{l} \frac{1}{n (n + 2)} ， n 为奇数 \\ \frac{n}{a_{n + 1}} ， n 为偶数 \end{array}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $2 n$ 项和 $T_{2 n}$ .

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22. 已知函数 $f (x) = a e^{x}$ ， $g (x) = \ln \frac{x}{a} - 1$ ，其中 $a > 0$ .

(1)、若 $a = \frac{1}{2}$ ，在平面直角坐标系 $x o y$ 中，过坐标原点 $O$ 分别作函数 $y = f (x)$ 与函数 $y = g (x)$ 图象的切线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ ，求 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的斜率之积；

(2)、若对 $x \in (0 ， + \infty)$ 上，总有 $f (x) \geq g (x) + 1$ 成立，试求实数 $a$ 的最小值.

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