山东省德州市2021-2022学年高三上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-12-13 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U = R$ ，若集合 $A = {x ∣ x^{2} - 5 x + 4 < 0}$ ，集合 $B = {x ∣ {log}_{2} x > 2}$ ，则 $B \cap (∁_{U} A) =$ （）

A、 ${x ∣ 1 < x < 4}$ B、 ${x ∣ x > 4}$ C、 ${x ∣ x ⩾ 4}$ D、 ${x ∣ x < 1$ 或 $x > 4}$

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2. 在 $Δ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别是 $a ， b ， c$ ，“ $A > B$ ”是“ $\sin A > \sin B$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分又不必要条件

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3. 已知 $S_{n}$ 为公差不为0的等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{1} ， a_{2} ， a_{4}$ 成等比数列，且 $S_{6} = 84$ ，则 $a_{5} =$ （）

A、10 B、15 C、18 D、20

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4. 在 $△ A B C$ 中， $A D$ 为 $B C$ 边上的中线，且 $\vec{A E} = 2 \vec{E D}$ ，则 $\vec{B E} =$ （）

A、 $- \frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ B、 $\frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ C、 $- \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$ D、 $\frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$

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5. 已知函数 $f (x) = x^{2} + 1 ， g (x) = sin x$ ，如图所示，图象对应的函数解析式可能是（）

A、 $y = f (x) + g (x) - 1$ B、 $y = f (x) - g (x) - 1$ C、 $y = f (x) g (x)$ D、 $y = \frac{g (x)}{f (x)}$

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6. 声音大小(单位为分贝)取决于声波通过介质时，所产生的压力变化(简称声压，单位为 $N / m^{2}$ ).已知声音大小 $y$ 与声压 $x$ 的关系式为 $y = 10 \times lg {(\frac{x}{2 \times 10^{- 5}})}^{2}$ ，且根据我国《城市区域环境噪音标准》规定，在居民区内，户外白昼噪声容许标为50分贝，夜间噪声容许标准为40分贝，则居民区内，户外白昼噪声容许标准的声压是户外夜间噪声容许标准的声压的（）倍

A、 $\sqrt{10}$ B、 $2 \sqrt{10}$ C、10 D、20

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7. 已知 $cos (\frac{π}{3} + α) - \sqrt{3} sin (α + π) = \frac{1}{3}$ ，则 $cos (2 α + \frac{π}{3})$ 值为（）

A、 $- \frac{7}{9}$ B、 $- \frac{1}{9}$ C、 $\frac{1}{9}$ D、 $\frac{7}{9}$

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} ln x + x ， x > 0 \\ - (2 x + 1) e^{x} + x ， x \leq 0 \end{array}$ ， $g (x) = f (x) - x - a$ .若 $g (x)$ 存在三个零点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， e^{- \frac{2}{3}})$ B、 $(0 ， 2 e^{- \frac{3}{2}})$ C、 $(0 ， 2 e^{- \frac{2}{3}})$ D、 $(0 ， e^{- \frac{3}{2}})$

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二、多选题

9. 若 $1 < e^{a} < e^{b}$ ，则下列结论一定正确的是（）

A、 $0 < \frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、 $e^{a} - a < e^{b} - b$ C、 $2^{a} < 4^{b}$ D、 $4^{a} < 2^{b}$

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10. 函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期是 $π$ B、当 $x \in (\frac{π}{6} ， \frac{11}{12} π)$ 时， $f (x) < 1$ C、将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度后得到的函数图象关于 $x = \frac{π}{6}$ 对称 D、若 $m ， n \in (- \frac{π}{6} ， \frac{π}{3}) ， f (m) = f (n)$ ，且 $m \neq n$ ，则 $f (m + n) = \sqrt{3}$

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11. 已知函数 $f (x) = \frac{x + 1}{e^{x}}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (1) > f (2)$ B、函数 $f (x)$ 的最大值为1 C、若方程 $f (x) - m = 0$ 恰有两个不等的实根，则实数 $m$ 的取值范围为 $(0 ， \frac{1}{e})$ D、若 $f (x_{1}) = f (x_{2}) (x_{1} \neq x_{2})$ ，则 $x_{1} + x_{2} > 0$

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12. 等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，公差为 $d$ ， $(S_{7} - S_{4}) (S_{8} - S_{4}) < 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $d < 0$ ，则 $S_{12} < 0$ B、若 $d > 0$ ，则 $S_{5}$ 最小 C、 $| a_{6} | > | a_{7} |$ D、 $a_{6}^{2} > a_{5} a_{8}$

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三、填空题

13. 函数 $f (x) = 3 x - sin x$ 在 $(0 ， f (0))$ 处的切线与直线 $2 x - m y + 1 = 0$ 平行，则实数 $m$ 的值为.

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14. 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；

乙说：我没去过C城市.

丙说：我们三个去过同一城市.

由此可判断乙去过的城市为

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15. 如图，梯形 $A B C D$ 中， $A B ⊥ B C ， A B / / C D ， A B = B C = 2$ ， $\vec{A C} \cdot \vec{B D} = - 2$ ，若点 $M$ 为边 $A B$ 上的动点，则 $\vec{M C} \cdot \vec{M D}$ 的最小值是.

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16. 现有一堆物品，从上向下看，第一层有2个物品，第二层比第一层多1个，第三层比第二层多2个，第四层比第三层多4个，依次类推，若第 $n$ 层物品个数为 $b_{n}$ ，则 $b_{n} =$ ；若数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + 2 a_{2} + \dots + 2^{n - 1} \cdot a_{n} = n \cdot (b_{n + 2} - 1)$ ，则数列 ${\frac{2^{n} \cdot a_{n}}{(n + 1) b_{n} \cdot b_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 和 $S_{n} =$ .

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四、解答题

17. 已知向量 $\vec{e_{1}}$ 与 $\vec{e_{2}}$ 是夹角为 $\frac{π}{3}$ 的单位向量，且向量 $\vec{a} = 3 \vec{e_{1}} + 4 \vec{e_{2}} ， \vec{b} = 2 \vec{e_{1}} + λ \vec{e_{2}}$ .

(1)、求 $| \vec{a} |$ ；

(2)、若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ ，求实数 $λ$ 的值.

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18. 1.已知 $a ， b ， c$ 分别为 $△ A B C$ 内角 $A 、 B 、 C$ 的对边， $sin B - sin C = sin C - \sqrt{3} cos B$ ，且 $b > c$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = \sqrt{3}$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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19. 已知函数 $f (x) = {log}_{a} \frac{2 - x}{x - m} (a > 1)$ 是奇函数.

(1)、若 $f (x) > 0$ ，求 $x$ 的取值范围；

(2)、若 $f (x) > 1$ 的解集为 $(t ， - \frac{2}{3})$ ，求 $a - t$ 的值.

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20. 某工厂生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产 $x$ 千件，需另投入成本 $C (x)$ 万元，当年产量不足50千件时， $C (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 10 x$ ，当年产量不小于50千件时， $C (x) =$ $52 x + \frac{7200}{x + 1} - 1200$ ，已知每千件商品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.

(1)、写出年利润 $L (x)$ (万元)关于年产量 $x$ (千件)的函数解析式；

(2)、当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大?

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21. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{1} = 1 ， S_{n} - a_{n + 1} = - 1$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 通项公式；

(2)、对任意的正整数 $n$ ，设 $c_{n} = {\begin{array}{l} \frac{2}{\log_{2} a_{n + 1} \cdot \log_{2} a_{n + 3}} ， n = 2 k - 1 ， k \in N^{+} \\ \frac{\log_{2} a_{n}}{a_{n + 1}} ， n = 2 k ， k \in N^{+} \end{array}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $2 n$ 项和.

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22. 已知函数 $f (x) = x e^{x} + a {(x + 1)}^{2}$ (其中常数 $e = 2.718 \dots$ 是自然对数的底数).

(1)、当 $a < 0$ 时，讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、证明：对任意 $a ⩽ 1$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) - e x^{2} ⩾ a (x^{3} - x^{2} + 3 x + 1)$ .

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