江西省2022届高三理数10月大联考试卷

试卷更新日期：2021-12-13 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知命题 $p ： \exists x \in R ， \tan x - \sin x > \frac{1}{2}$ ，则 $\neg p$ 是（）

A、 $\exists x \in R ， \tan x - \sin x \leq \frac{1}{2}$ B、 $\exists x \in R ， \tan x - \sin x < \frac{1}{2}$ C、 $\forall x \in R ， \tan x - \sin x > \frac{1}{2}$ D、 $\forall x \in R ， \tan x - \sin x \leq \frac{1}{2}$

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2. 已知集合 $A = {1 ， 3 ， 5 ， 7 ， 9} ， B = {x | 3 x^{2} - 20 x - 7 < 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${1}$ B、 ${3}$ C、 ${3 ， 5}$ D、 ${1 ， 3 ， 5}$

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3. 已知函数 $f (x) = | x - 2 | + 1$ ，则“ $f (x) = 2$ ”是“ $x = 3$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知向量 $\vec{a} = (x ， 1) ， \vec{b} = (- 2 ， y)$ ，若 $2 \vec{a} + \vec{b} = (2 ， 6)$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{3 π}{4}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{6}$

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5. 函数 $f (x) = \frac{3 x^{2} \cos x}{e^{x} - e^{- x}}$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 在 $△ A B C$ 中， $\sin A = \sin B \cos C$ ，则 $△ A B C$ 是（）

A、等腰三角形 B、等边三角形 C、直角三角形 D、等腰直角三角形

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7. 在数学史上，为了三角计算的简便并追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义 $1 - \cos θ$ 为角 $θ$ 的正矢，记作 $ver \sin θ$ ；定义 $1 - \sin θ$ 为角 $θ$ 的余矢，记作 $cover \sin θ$ ．则下列说法正确的是（）

A、 $ver \sin (\frac{3 π}{2} - θ) = cov er \sin θ$ B、若 $\frac{cover \sin x - 1}{ver \sin x - 1} = - 3$ ，则 $cov er \sin 2 x - ver \sin 2 x = \frac{1}{5}$ C、函数 $y = cov er \sin x - ver \sin x$ 在 $[\frac{3 π}{4} ， π]$ 上单调递增 D、函数 $f (x) = cov er \sin (3 x + \frac{π}{8}) + ver \sin (3 x - \frac{3 π}{8})$ 的最小值为 $2 - \sqrt{2}$

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8. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x \in [0 ， + \infty)$ 时， $f (x)$ 单调递减，则不等式 $f (2 x - 1) + f (5 x - 13) < 0$ 的解集为（）

A、 $(2 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - 2)$ C、 $(- \infty ， 2)$ D、 $(- 2 ， + \infty)$

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9. 声音是由物体振动产生的声波．我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数 $y = A sin ω t$ 音有四要素，音调、响度、音长和音色．它们都与函数 $y = A sin ω t$ 及其参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖锐．我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音．我们听到的声音对应的函数是 $y = \sin x + \frac{1}{2} \sin 2 x + \frac{1}{3} \sin 3 x + \frac{1}{4} \sin 4 x + \dots$ ．结合上述材料及所学知识，给出下列说法：
①函数 $y = \sin x + \frac{1}{2} \sin 2 x + \frac{1}{3} \sin 3 x + \frac{1}{4} \sin 4 x + \dots + \frac{1}{10} \sin 10 x$ 不具有奇偶性；②函数 $f (x) = \sin x + \frac{1}{2} sin 2 x + \frac{1}{3} sin 3 x + \frac{1}{4} sin 4 x$ 在区间 $[- \frac{π}{8} ， \frac{π}{8}]$ 上单调递增；③若某声音甲对应的函数近似为 $g (x) = \sin x + \frac{1}{2} \sin 2 x + \frac{1}{3} \sin 3 x$ ，则声音甲的响度一定比纯音 $h (x) = \frac{1}{2} sin 2 x$ 的响度小；④若某声音乙对应的函数近似为 $φ (x) = \sin x + \frac{1}{2} \sin 2 x$ ，则声音乙一定比纯音 $h (x) = \frac{1}{2} sin 2 x$ 更低沉．

其中错误的是（）

A、①② B、①③ C、②③ D、①③④

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10. 已知点 $A (0 ， 2) ， B (1 ， 1)$ ，且点 $P$ 在圆 $C ： {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4$ 上， $C$ 为圆心，则下列说法错误的是（）

A、 $| P A | + | P B |$ 的最小值为 $\sqrt{2}$ B、当 $∠ P A B$ 最大时， $△ A P B$ 的面积为2 C、 $| P A | - | P C |$ 的最大值为 $2 \sqrt{2}$ D、 $| | P A | - | P B | |$ 的最大值为 $\sqrt{2}$

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11. 已知 $- \frac{π}{2} < a < β < \frac{π}{2}$ ，且 $a β \neq 0 ， 2 \cos (a + β) - \cos (a - β) = \frac{\cos a}{\cos β}$ ，则 $\tan (α + β)$ 的取值范围是（）

A、 $[- \sqrt{3} ， 0)$ B、 $[- \frac{\sqrt{3}}{3} ， 0)$ C、 $(0 ， \sqrt{3}]$ D、 $(0 ， \frac{\sqrt{3}}{3}]$

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12. 已知 $a = 1.2 ， b = \frac{11}{9} ， c = e^{0.2}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < a < b$ C、 $a < c < b$ D、 $c < b < a$

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二、填空题

13. 已知实数 $a ， b$ 满足 $b = \frac{1}{4 a}$ ，则 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为．

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14. 已知实数 $x ， y$ 满足 ${\begin{array}{l} 2 x - 3 y + 7 \leq 0 ， \\ x \geq - 2 \\ y \leq 3 \end{array}$ ，则目标函数 $z = 2 x + y$ 的最小值为．

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15. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 6 ， A C = 6 \sqrt{3} ， B C = 12 ，$ 动点 $P$ 自点 $C$ 出发沿 $C B$ 运动，到达点 $B$ 时停止，动点 $Q$ 自点 $B$ 出发沿 $B C$ 运动，到达点 $C$ 时停止，且动点 $Q$ 的速度是动点 $P$ 的 $3$ 倍．若二者同时出发，且当其中一个点停止运动时．另一个点也停止运动，则该过程中 $\vec{A P} \cdot \vec{A Q}$ 的最大值是．

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16. 已知 $l_{1}$ ： $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ 经过点 $P (1 ， 2)$ ，且与直线 $l_{2}$ ： $2 x + y + m = 0$ 平行，则 $a + b =$ .若这两条平行线之间的距离为 $\sqrt{5}$ ，且 $l_{2}$ 不经过第一象限，则 $m =$ .

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三、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2 ， a_{4} + a_{16} = 40$ ．数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2^{n} - 1$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 与 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = a_{n} b_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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18. 已知函数 $f (x) = 2 x + 1 - 4 \ln x$ ．

(1)、证明： $f (x) \geq - 2 x + 5$ ．

(2)、求 $f (x)$ 在 $[1 ， 3]$ 上的最大值与最小值．

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19. 已知函数 $f (x) = sin (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 满足下列三个条件中的两个：
①函数 $f (x)$ 的图象与 $x$ 轴的任意两个相邻交点之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ﹔

②直线 $x = \frac{π}{6}$ 是函数 $f (x)$ 图象的一条对称轴；

③ $f (\frac{π}{4}) = 0 ，$ 且 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{6} ， \frac{π}{2})$ 上单调．

(1)、请指出这两个条件，说明理由，并求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $x \in [- \frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ ，求函数 $f (x)$ 的值域．

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20. 已知函数 $f (x) = \log_{2} (9^{x} - 4 \times 3^{x + 1} + 43)$ ，函数 $g (x) = x^{2} - 2 m x + \log_{2} 7$ .

(1)、求不等式 $f (x) \leq 4$ 的解集；

(2)、若 $\forall x_{1} \in [1 ， 2] ， \exists x_{2} \in [1 ， 2]$ ，使 $f (x_{1}) \geq g (x_{2})$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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21. 为了测量一个不规则湖泊 $C ， D$ 两端之间的距离，如图，在东西方向上选取相距 $1 km$ 的 $A ， B$ 两点，点 $B$ 在点 $A$ 的正东方向上，且 $A ， B ， C ， D$ 四点在同一水平面上．从点 $A$ 处观测得点 $C$ 在它的东北方向上，点 $D$ 在它的西北方向上；从点 $B$ 处观测得点 $C$ 在它的北偏东 $30 °$ 方向上，点 $D$ 在它的北偏西 $60^{\circ}$ 方向上．

(1)、求 $C ， D$ 之间的距离；

(2)、以点 $D$ 为观测点，求点 $C$ 的方位角．

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22. 已知函数 $f (x) = a e^{x} + b \cos x + \frac{1}{2} x^{2} + 1$ （其中 $a ， b$ 为实数）的图象在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程为 $y = x + 1$ .

(1)、求实数 $a ， b$ 的值；

(2)、求函数 $g (x) = f^{'} (x) - 3 x$ 的最小值；

(3)、若对任意的 $x \in R$ ，不等式 $x f (x) \geq \frac{3}{2} x^{3} + 2 λ x^{2} + x$ 恒成立，求实 $λ$ 数的取值范围､

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