江苏省苏州市2021-2022学年高三上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-12-13 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | - 2 \leq x \leq 3} ， N = {x | \log_{2} x \leq 1}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $[- 2 ， 3]$ B、 $[- 2 ， 2]$ C、 $(0 ， 2]$ D、 $(0 ， 3]$

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2. 若 $a > 0 ， b > 0$ ，则“ $a b < 1$ ”是“ $a + b < 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 若 $\tan α = \frac{3}{4}$ ，则 $\frac{1 + \sin 2 α}{1 - 2 \sin^{2} α} =$ （）

A、 $- \frac{1}{7}$ B、-7 C、 $\frac{1}{7}$ D、7

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4. 函数 $f (x) = (3 x - x^{3}) \sin x$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知 $△ A B C$ 是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边 $A B ， B C$ 的中点，连结 $D E$ 并延长到点F，使得 $D E = 2 E F$ ，则 $\vec{A F} \cdot \vec{B C}$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、1 D、-8

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6. 定义方程 $f (x) = f^{'} (x)$ 的实数根 $x_{0}$ 叫做函数 $f (x)$ 的“躺平点”.若函数 $g (x) = ln x$ ， $h (x) = x^{3} - 1$ 的“躺平点”分别为 $α$ ， $β$ ，则 $α$ ， $β$ 的大小关系为（）

A、 $α \geq β$ B、 $α > β$ C、 $α \leq β$ D、 $α < β$

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7. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x - \frac{π}{6}) (A > 0 ， ω > 0)$ ，直线 $y = 1$ 与 $f (x)$ 的图象在 $y$ 轴右侧交点的横坐标依次为 $a_{1}$ 、 $a_{2}$ 、 $\dots$ 、 $a_{k}$ 、 $a_{k + 1}$ 、 $\dots$ ，（其中 $k \in N^{*}$ ），若 $\frac{a_{2 k + 1} - a_{2 k}}{a_{2 k} - a_{2 k - 1}} = 2$ ，则 $A =$ （）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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8. 设数列 ${a_{m}} (m \in N^{*})$ ，若存在公比为q的等比数列 ${b_{m + 1}} (m \in N^{*})$ ，使得 $b_{k} < a_{k} < b_{k + 1}$ ，其中 $k = 1 ， 2 ， \dots ， m$ ，则称数列 ${b_{m + 1}}$ 为数列 ${a_{m}}$ 的“等比分割数列”，则下列说法错误的是（）

A、数列 ${b_{5}}$ ；2，4，8，16，32是数列 ${a_{4}}$ ：3，7，12，24的一个“等比分割数列” B、若数列 ${a_{n}}$ 存在“等比分割数列” ${b_{n + 1}}$ ，则有 $a_{1} < \dots < a_{k - 1} < a_{k} < \dots < a_{n}$ 和 $b_{1} < \dots < b_{k - 1} < b_{k} < \dots < b_{n} < b_{n + 1}$ 成立，其中 $2 \leq k \leq n ， k \in N^{*}$ C、数列 ${a_{3}}$ ： $- 3$ ， $- 1$ ，2存在“等比分割数列” ${b_{4}}$ D、数列 ${a_{10}}$ 的通项公式为 $a_{n} = 2^{n} (n = 1 ， 2 ， \dots ， 10)$ ，若数列 ${a_{10}}$ 的“等比分割数列” ${b_{11}}$ 的首项为1，则公比 $q \in (2 ， 2^{\frac{10}{9}})$

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二、多选题

9. 已知实数a满足， $\frac{3 + a i}{1 - i} = 2 + i$ （i为虚数单位），复数 $z = (a + 1) + (a - 1) i$ ，则（）

A、z为纯虚数 B、 $z^{2}$ 为虚数 C、 $z + \bar{z} = 0$ D、 $z \cdot \bar{z} = 4$

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10. 已知不等式 $x^{2} + 2 a x + b - 1 > 0$ 的解集是 ${x | x \neq d}$ ，则b的值可能是（）

A、-1 B、3 C、2 D、0

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11. 关于函数 $f (x) = \sin | x | + | \cos x |$ 有下述四个结论，则（）

A、 $f (x)$ 是偶函数 B、 $f (x)$ 的最小值为-1 C、 $f (x)$ 在 $[- 2 π ， 2 π]$ 上有4个零点 D、 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{2} ， π)$ 单调递增

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12. 如图，正方形 $A B C D$ 与正方形 $D E F C$ 边长均为1，平面 $A B C D$ 与平面 $D E F C$ 互相垂直，P是 $A E$ 上的一个动点，则（）

A、 $C P$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、当P在直线 $A E$ 上运动时，三棱锥 $D - B P F$ 的体积不变 C、 $P D + P F$ 的最小值为 $\sqrt{2 - \sqrt{2}}$ D、三棱锥 $A - D C E$ 的外接球表面积为 $3 π$

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三、填空题

13. 已知曲线 $y = m e^{x} + x \ln x$ 在 $x = 1$ 处的切线方程为 $y = 3 x + n$ ，则 $n =$ .

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等差数列， $a_{1} > 0 ， a_{3} + 3 a_{7} = 0$ ，则使 $S_{n} > 0$ 的最大整数n的值为.

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15. 某区域规划建设扇形观景水池，同时紧贴水池周边建设一圈人行步道.要求总预算费用24万元，水池造价为每平方米400元，步道造价为每米1000元（不考虑宽度厚度等因素），则水池面积最大值为平方米.

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16. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且 $f (1 - x) = f (x)$ ，则 $f (x)$ 的最小正周期为；若对任意的 $x_{1} ， x_{2} \in [0 ， \frac{1}{2}]$ ，当时 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > π$ ，则关于x的不等式 $f (x) \leq \sin π x$ 在区间 $[- \frac{3}{2} ， \frac{3}{2}]$ 上的解集为.

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四、解答题

17. 已知向量 $\vec{a} = (2 \sin x ， 2 \sin (x + \frac{π}{4}))$ ，向量 $\vec{b} = (\cos x ， \frac{\sqrt{6}}{2} (\cos x - \sin x))$ ，记 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b} (x \in R)$ .

(1)、求 $f (x)$ 表达式；

(2)、解关于x的不等式 $f (x) \geq 1$ .

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18. 在下列条件：①数列 ${a_{n}}$ 的任意相邻两项均不相等，且数列 ${a_{n}^{2} - a_{n}}$ 为常数列，② $S_{n} = \frac{1}{2} (a_{n} + n + 1) (n \in N^{*})$ ，③ $a_{3} = 2 ， S_{n + 1} = S_{n - 1} + 1 (n \geq 2 ， n \in N^{*})$ 中，任选一个，补充在横线上，并回答下面问题.
已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n} ， a_{1} = 2$ ，___________.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n}$ 和前n项和 $S_{n}$ ；

(2)、设 $b_{k} = \frac{1}{S_{2 k} \cdot S_{2 k + 1}} (k \in N^{*})$ ，数列 ${b_{k}}$ 的前n项和记为 $T_{n}$ ，证明： $T_{n} < \frac{3}{4} (n \in N^{*})$ .

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19. 在等腰直角三角形 $A B C$ 中，已知 $∠ A C B = 90 °$ ，点D，E分别在边 $A B$ ， $B C$ 上， $C D = 4$ .

(1)、若D为 $A B$ 的中点，三角形 $C D E$ 的面积为4，求证：E为 $C B$ 的中点；

(2)、若 $B D = 2 A D$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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20. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A C = 2$ ， $B C = C D = 1$ ， $∠ C A D = 30 °$ ， $∠ A C B = 60 °$ ，M是 $P B$ 上一点，且 $P B = 3 M B$ ，N是 $P C$ 中点.

(1)、求证： $P C ⊥ B D$ ；

(2)、若二面角 $P - B C - A$ 大小为 $45 °$ ，求棱锥 $C - A M N$ 的体积.

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21. 已知函数 $f (x) = a x - \frac{1}{x} - a \ln x (a > 0)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，且不等式 $\frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2} > f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) + \frac{m}{x_{1} x_{2}}$ 恒成立，求实数m的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = \ln x - x + 2 \sin x$ ， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数.

(1)、求证： $f^{'} (x)$ 在 $(0 ， π)$ 上存在唯一零点；

(2)、求证： $f (x)$ 有且仅有两个不同的零点.

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