吉林省长春市重点高中2021-2022学年高三上学期理数第一次月考试卷

试卷更新日期：2021-12-13 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | x^{2} - x - 2 \geq 0} ， B = {x | y = \sqrt{x - 1}}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、R B、 $[1 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 1] \cup [1 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 1] \cup [0 ， + \infty)$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $z (1 + i) = 1 - i$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则 $| z | =$ （）

A、1 B、2 C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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3. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角为 $\frac{π}{2}$ ，则 $\vec{a} \cdot (- 6 \vec{a} - \vec{b}) =$ （）

A、6 B、-6 C、-7 D、7

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4. 下列函数中，既是 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上的增函数，又是以 $π$ 为周期的偶函数的是（）

A、 $y = \tan x$ B、 $y = 1 - 2 \sin^{2} x$ C、 $y = \sin 2 x$ D、 $y = | \sin \frac{x}{2} | | \cos \frac{x}{2} |$

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5. 已知命题 $p$ ：函数 $f (x) = 2 a x^{2} - x - 1$ 在 $(0 ， 1)$ 内恰有一个零点；命题 $q$ ：函数 $y = x^{2 - a}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上是减函数．若 $p \land (\neg q)$ 为真命题，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(1 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， 2]$ C、 $(1 ， 2]$ D、 $(- \infty ， 1]$

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6. 若 $a = e^{0.5}$ ， $b = \sin \frac{22 π}{5}$ ， $c = \log_{2} 0.2$ ，则 $a$ ､ $b$ ､ $c$ 的大小关系为（）

A、 $b > a > c$ B、 $a > b > c$ C、 $c > a > b$ D、 $b > c > a$

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7. 已知函数f(x)＝lg(x²－2x－3)在(－∞，a)单调递减，则a的取值范围是（）

A、(－∞，－1] B、(－∞，2] C、[5，＋∞) D、[3，＋∞)

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} \log_{2} x ， x \geq 1 \\ \frac{1}{1 - x} ， x < 1 \end{matrix}$ 则不等式 $f (x) \leq 1$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， 2]$ B、 $(- \infty ， 0] \cup (1 ， 2]$ C、 $[0 ， 2]$ D、 $(- \infty ， 0] \cup [1 ， 2]$

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9. 2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆．嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似(如图所示)．现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为100 m/s，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的90%，若要使石片的速率低于60 m/s，则至少需要“打水漂”的次数为(参考数据：取ln 0.6≈－0.511，ln 0.9≈－0.105)（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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10. 对于任意的实数 $a$ 、 $b$ ，记 $\max {a ， b} = {\begin{array}{l} a (a \geq b) \\ b (a < b) \end{array}$ .设 $F (x) = \max {f (x) ， g (x)} (x \in R)$ ，其中 $g (x) = \frac{1}{3} x$ ， $y = f (x)$ 是奇函数.当 $x \geq 0$ 时， $y = f (x)$ 的图象与 $g (x)$ 的图象如图所示.则下列关于函数 $y = F (x)$ 的说法中，正确的是（）

A、 $y = F (x)$ 有极大值 $F (- 1)$ 且无最小值 B、 $y = F (x)$ 为奇函数 C、 $y = F (x)$ 的最小值为-2且最大值为2 D、 $y = F (x)$ 在 $(- 3 ， 0)$ 上为增函数

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11. 设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点， $O$ 是坐标原点．过 $F_{2}$ 作 $C$ 的一条渐近线的垂线，垂足为 $P$ ．若 $| P F_{1} | = \sqrt{7} | O P |$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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12. 设 $f (x)$ ， $g (x)$ 是定义在 $R$ 上的两个周期函数， $f (x)$ 的周期为 $4$ ， $g (x)$ 的周期为 $2$ ，且 $f (x)$ 是奇函数，当 $x \in (0 ， 2]$ 时， $f (x) = \sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}$ ， $g (x) = {\begin{array}{l} k (x + 2) ， 0 < x \leq 1 \\ - \frac{1}{2} ， 1 < x \leq 2 \end{array}$ ，其中 $k \in [\frac{1}{3} ， \frac{\sqrt{2}}{4})$ ，则在区间(0，11]上函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 图象交点个数是（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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二、填空题

13. 若变量x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} y \leq x \\ x + y \leq 1 \\ y \geq - 1 \end{matrix}$ ，则目标函数z＝3x+y的最大值为．

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14. 在 ${(a x^{2} - \frac{1}{x^{2}})}^{5}$ 的展开式中，若含 $x^{- 2}$ 项的系数为-40，则正实数 $a =$

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15. 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的立体为“牟合方盖”，如图（1）（2）.刘徽未能求得牟合方盖的体积，直言“欲陋形措意，惧失正理”，不得不说“敢不阙疑，以俟能言者”.约200年后，祖冲之的儿子祖暅提出“幂势既同，则积不容异”，后世称为祖暅原理，即：两等高立体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立体体积相等，如图（3）（4）.

已知八分之一的正方体去掉八分之一的牟合方盖后的剩余几何体与长宽高皆为八分之一正方体棱长的倒四棱锥“等幂等积”，祖暅由此推算出牟合方盖的体积.据此可知，若正方体的棱长为1，则其牟合方盖的体积为.

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16. 如图，某湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台 $D$ ，已知射线 $A B$ ， $A C$ 为湿地两边夹角为 $\frac{π}{3}$ 的公路（长度均超过 $4$ 千米），在两条公路 $A B$ ， $A C$ 上分别设立游客接送点 $E$ ， $F$ ，且 $A E = A F = 2 \sqrt{3}$ 千米，若要求观景台 $D$ 与两接送点所成角 $∠ E D F$ 与 $∠ B A C$ 互补且观景台 $D$ 在 $E F$ 的右侧，并在观景台 $D$ 与接送点 $E$ ， $F$ 之间建造两条观光线路 $D E$ 与 $D F$ ，则观光线路之和最长是（千米）.

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三、解答题

17. 设正项数列{a_n}为等比数列，它的前n项和为S_n ， a₁＝1，且a₁＋S₂＝a₃.

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、已知 ${\frac{b_{n}}{a_{n}}}$ 是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{b_n}的前n项和T_n.

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18. 已知斜率为1的直线 $l$ 过点 $P (2 ， - 1)$ ，以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ \sin^{2} θ = 2 \cos θ$ ，直线 $l$ 和曲线 $C$ 的交点为A， $B$ .

(1)、求曲线 $C$ 的直角坐标方程：

(2)、求 $\frac{1}{| P A |} + \frac{1}{| P B |}$ 的值.

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19. 移动支付在中国大规模推广五年之后，成功在10亿移动互联网用户中获得了九成的渗透率，这大约是中国自宽带和手机之后，普及率最高的一项产品，甚至，移动支付被视为新时代中国的四大发明之一.近日，lpsosChina针对第三方移动支付市场在一家大型超市进行了顾客使用移动支付情况的调查.调查人员从年龄在20岁到60岁的顾客中随机抽取了200人，得到如下数据：

年龄段人数类型	$[20 ， 30)$	$[30 ， 40)$	$[40 ， 50)$	$[50 ， 60]$
使用移动支付	45	40	25	15
不使用移动支付	0	10	20	45

(1)、现从这200人中随机依次抽取2人，已知第1次抽到的人使用移动支付的条件下，求第2次抽到的人不使用移动支付的概率；

(2)、在随机抽取的200人中对使用移动支付的人群采用分层抽样的方式抽取25人做进一步的问卷调查再从这25人中随机选出3人颁发参与奖，设这3人中年龄在

[40 ， 50)

之间的人数为

X

，求

X

的分布列及数学期望.

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，侧棱 $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为长方形，且 $P D = C D = 1$ ， $E$ 是 $P C$ 的中点，作 $E F ⊥ P B$ 交 $P B$ 于点 $F$ ．

(1)、证明： $P B ⊥$ 平面 $D E F$ ；

(2)、若三棱锥 $A - B D P$ 的体积为 $\frac{1}{3}$ ，求二面角 $D - B P - C$ 的余弦值．

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21. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，且 $| F_{1} F_{2} | = 2$ ，点 $M (\sqrt{3} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ 在椭圆 $C$ 上.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程.

(2)、 $P$ 为椭圆 $C$ 上一点，射线 $P F_{1}$ ， $P F_{2}$ 分别交椭圆 $C$ 于点 $A$ ， $B$ ，试问 $\frac{| P F_{1} |}{| A F_{1} |} + \frac{| P F_{2} |}{| B F_{2} |}$ 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

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22. 已知函数f（x）＝﹣αx²+（α﹣2）x+lnx.

(1)、当α＝1时，求函数f（x）的单调区间；

(2)、若 $f (x) \leq (e^{x} - a x - 2 - \frac{1}{x}) x$ 在当x∈（0，+∞）时恒成立，求实数α的取值范围.

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