黑龙江省哈尔滨市重点高中2021-2022学年高三上学期理数第一次阶段考试试卷

试卷更新日期：2021-12-13 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | x > 3} ， N = {x | x^{2} - 7 x + 10 \leq 0}$ ，则M∪N=（）

A、 $[2 ， 3)$ B、 $(3 ， 5]$ C、 $(- \infty ， 5]$ D、 $[2 ， + \infty)$

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2. 设数列 ${a_{n}}$ 是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（）

A、1 B、2 C、±2 D、4

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3. 曲线 $y = \ln x - 2 x$ 在点 $(1 ， - 2)$ 处的切线方程为（）

A、 $x + y + 1 = 0$ B、 $x + y - 1 = 0$ C、 $x - y - 3 = 0$ D、 $x - y + 3 = 0$

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4. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{c} = (m ， - 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - \vec{c})$ ，则实数m的值为（）

A、9 B、7 C、17 D、21

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5. 如图，这是某校高三年级甲、乙两班在上学期的5次数学测试的班级平均分的茎叶图，则下列说法不正确的是（）

A、甲班的数学成绩平均分的平均水平高于乙班 B、甲班的数学成绩的平均分比乙班稳定 C、甲班的数学成绩平均分的中位数高于乙班 D、甲、乙两班这5次数学测试的总平均分是103

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6. 设函数 $f (x) = \cos (2 x + \frac{π}{3})$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $f (x)$ 的一个对称中心为 $(- \frac{5 π}{12} ， 0)$ B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{11 π}{6}$ 对称 C、 $f (x + π)$ 的一个零点为 $x = \frac{π}{12}$ D、 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{3} ， \frac{5 π}{6})$ 单调递减

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7. 现将5张连号的电影票分给甲乙等5个人，每人一张，且甲乙分得的电影票连号，则共有不同分法的种数为（）

A、12 B、24 C、48 D、60

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8. 执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）

A、2 B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\frac{8}{5}$

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9. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）

A、192 里 B、96 里 C、48 里 D、24 里

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10. 已知 $A ， B$ 是球 $O$ 的球面上两点， $∠ A O B = 60 °$ ， $C$ 为该球面上的动点，若三棱锥 $O - A B C$ 体积的最大值为 $\frac{16 \sqrt{3}}{3}$ ，则球 $O$ 的表面积为（）

A、36π B、64π C、144π D、256π

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11. 已知点 $A$ 是抛物线 $x^{2} = 4 y$ 的对称轴与准线的交点，点 $F$ 为抛物线的焦点，点 $P$ 在抛物线上且满足 $| P A | = m | P F |$ ，若 $m$ 取最大值时，点 $P$ 恰好在以 $A ， F$ 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{3} + 1$ B、 $\sqrt{2} + 1$ C、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2} + 1}{2}$

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12. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $2 a_{n + 1} - a_{n} = n + 2 (n \geq 1)$ ， $a_{1} = 5$ ，若 ${a_{n}}$ 前n项之和为 $S_{n}$ ，则满足不等式 $S_{n} > 2021$ 的最小整数n是（）

A、60 B、62 C、63 D、65

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二、填空题

13. 复数 $\frac{2 + i}{1 - i}$ 的虚部为.

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14. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = \log_{2} x + 4^{x}$ ，则 $f (- \frac{1}{2}) =$ .

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15. 已知 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 为△ $A B C$ 的三内角，且角 $A$ 为锐角，若 $\tan B = 2 \tan A$ ，则 $\frac{1}{\tan B} + \frac{1}{\tan C}$ 的最小值为.

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16. 在 $△ A B C$ 中，D是BC的中点，E在边AB上， $B E = 2 E A$ ，AD与CE交于点 $O .$ 若 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 6 \vec{A O} \cdot \vec{E C}$ ，则 $\frac{sin ∠ CAD}{sin ∠ BAD}$ 的值是.

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三、解答题

17. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，且满足 $\cos \frac{A}{2} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ， $\overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{A C} = 3$ ．
（Ⅰ）求 $Δ A B C$ 的面积；

（Ⅱ）若 $b + c = 6$ ，求 $a$ 的值．

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18. 正项等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{n} > 0$ ，若 $S_{2} = \frac{4}{3}$ ， $S_{3} = \frac{13}{9}$ ，且点 $(a_{n} ， b_{n})$ 函数 $y = \log_{3} \frac{3}{x}$ 的图象上．

(1)、求 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 通项公式；

(2)、记 $c_{n} = \frac{1}{b_{2 n - 1} b_{2 n + 1}}$ ，求 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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19. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E为 $B B_{1}$ 的中点．

（Ⅰ）求证： $B C_{1} / /$ 平面 $A D_{1} E$ ；

（Ⅱ）求直线 $A A_{1}$ 与平面 $A D_{1} E$ 所成角的正弦值．

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20. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C₁： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为F₁（-1，0），且点P（0，1）在C₁上．

(1)、求椭圆C₁的方程；

(2)、设直线l同时与椭圆C₁和抛物线C₂： $y^{2} = 4 x$ 相切，求直线l的方程.

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21. 已知函数 $f (x) = x - 1 - a \ln x$ （其中 $a$ 为参数）.

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若对任意 $x \in (0 ， + \infty)$ ，都有 $f (x) \geq 0$ 成立，求实数 $a$ 的取值集合；

(3)、证明： ${(1 + \frac{1}{n})}^{n} < e < {(1 + \frac{1}{n})}^{n + 1}$ （其中 $n \in N^{*}$ ， $e$ 为自然对数的底数）.

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22. 已知曲线 $C ： x^{2} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ .直线 $l ： {\begin{array}{l} x = 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{array}$ （ $t$ 为参数），点 $P$ 的坐标为 $(2 ， 1)$ .

(1)、写出曲线 $C$ 的参数方程，直线 $l$ 的普通方程；

(2)、若直线 $l$ 与曲线 $C$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点，求 $| P A | + | P B |$ 的值.

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