黑龙江省大庆市2021-2022学年高三上学期理数第一次教学质量检测试卷

试卷更新日期：2021-12-13 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | - 3 < x < 1}$ ， $B = {x | x \geq 0}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x | 0 \leq x < 1}$ B、 ${x | x \geq 0}$ C、 ${x | - 3 < x < 1}$ D、 ${x | x > - 3}$

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2. 若复数 $z = \frac{2 - i}{2 + i}$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $\frac{4}{5} i$ B、 $- \frac{4}{5} i$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $- \frac{4}{5}$

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3. 命题“ $\forall x > 1$ ， $2^{x} - 1 > 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x > 1$ ， $2^{x} - 1 \leq 0$ B、 $\forall x \leq 1$ ， $2^{x} - 1 > 0$ C、 $\forall x > 1$ ， $2^{x} - 1 \leq 0$ D、 $\exists x > 1$ ， $2^{x} - 1 > 0$

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4. 某团支部随机抽取甲乙两位同学连续 $9$ 期“青年大学习”的成绩（单位：分），得到如图所示的成绩茎叶图，关于这 $9$ 期的成绩，则下列说法正确的是（）

A、甲成绩的中位数为32 B、乙成绩的极差为40 C、甲乙两人成绩的众数相等 D、甲成绩的平均数高于乙成绩的平均数

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5. 下列函数中，在定义域内既是奇函数又是减函数的是（）

A、 $y = 1 - x^{2}$ B、 $y = x | x |$ C、 $y = e^{x} - e^{- x}$ D、 $y = \lg (\sqrt{x^{2} + 1} - x)$

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6. 与双曲线 $\frac{y^{2}}{2} - x^{2} = 1$ 共焦点，且离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的椭圆的标准方程为（）

A、 $\frac{y^{2}}{2} + x^{2} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ C、 $\frac{y^{2}}{4} + x^{2} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$

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7. 函数 $f (x) = \sin (x + \frac{π}{3}) + s i n x$ 的最大值为（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{2 + \sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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8. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 中， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项的和， $S_{4} = 5$ ， $S_{9} = 20$ ，则 $a_{7} =$ （）

A、-3 B、-5 C、3 D、5

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9. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (m ， 1)$ ，下列说法正确的是（）

A、 $\forall m \in [0 ， + \infty)$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角不小于 $\frac{π}{3}$ B、 $\forall m \in [0 ， + \infty)$ ， $| 2 \vec{a} - \sqrt{3} \vec{b} | > \sqrt{7}$ C、 $\exists m \in (- \infty ， 0)$ ，使得 $(\vec{a} + \vec{b}) // \vec{b}$ D、 $\exists m \in (- \infty ， 0)$ ，使得 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{b}$

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10. 定义新运算“☆”： $a ☆ b = {\begin{array}{l} 2 a - b ， a \leq b \\ 2 b - a ， a > b \end{array}$ ，则下列计算错误的是（）

A、 $3 ☆ 1 = - 1$ B、 $x ☆ y = y ☆ x$ C、 $x ☆ ((x - 1) ☆ (x - 2)) = x - 2$ D、 $(x ☆ (x - 1)) ☆ (x - 2) = x - 2$

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11. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点 $M$ 与两个定点 $A$ ， $B$ 的距离之比为 $λ$ （ $λ > 0$ ，且 $λ \neq 1$ ），那么点 $M$ 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若平面两内定点 $A$ ， $B$ 间的距离为 $2$ ，动点 $P$ 满足 $\frac{| P A |}{| P B |} = \sqrt{3}$ ，则 ${| P A |}^{2} + {| P B |}^{2}$ 的最大值为（）

A、 $16 + 8 \sqrt{3}$ B、 $8 + 4 \sqrt{3}$ C、 $7 + 4 \sqrt{3}$ D、 $3 + \sqrt{3}$

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12. 设 $a = \frac{e + 2}{\ln (e + 2)}$ ， $b = \frac{2}{\ln 2}$ ， $c = \frac{e^{2}}{4 - \ln 4}$ ，其中 $e$ 是自然对数的底数，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $b < c < a$ C、 $a < c < b$ D、 $c < a < b$

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二、填空题

13. 抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点坐标为 $(3 ， 0)$ ，则 $p$ 的值为.

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14. 若实数 $x$ ， $y$ 满足不等式组 ${\begin{array}{l} x - 2 y + 1 \geq 0 \\ x - y \leq 0 \\ y \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = x + y$ 的最大值为.

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15. 锐角 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对边的长分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，设 $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，若 $4 \sin^{2} A = 3 \sin^{2} B + 2 \sin^{2} C$ ，则 $\frac{S}{\vec{A B} \cdot \vec{A C}}$ 的最大值为.

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16. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $M$ 为 $B C$ 的中点， $A B = B M = 1$ ，将 $△ A B M$ 沿直线 $A M$ 翻折成 $A B_{1} M$ （ $B_{1}$ 不在平面 $A M C D$ 内），连结 $B_{1} D$ ， $N$ 为 $B_{1} D$ 的中点，则在翻折过程中，下列说法中正确的是.

① $C N //$ 平面 $A B_{1} M$

②存在某个位置，使得 $C N ⊥ A D$

③线段 $C N$ 长度为定值

④当三棱锥 $B_{1} - A M D$ 的体积最大时，三棱锥 $B_{1} - A M D$ 的外接球的表面积是 $4 π$

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等差数列， $a_{1} = 3$ ， $a_{3} = 7$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = 2^{a_{n}} + a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 国际学生评估项目（PISA），是经济合作与发展组织（OECD）举办的，该项目的内容是对15岁学生的阅读、数学、科学能力进行评价研究．在2018年的79个参测国家（地区）的抽样测试中，中国四省市（北京、上海、江苏、浙江作为一个整体在所有参测国家（地区）取得全部3项科目中第一的好成绩，某机构为了分析测试结果优劣的原因，从参加测试的中国学生中随机抽取了200名参赛选手进行调研，得到如下统计数据：

	成绩优秀	成绩一般	总计
家长高度重视学生教育	90	x	y
家长重视学生教育度一般	30	z	$ω$
总计	120	80	200

若从上表“家长高度重视学生教育”的参测选手中随机抽取一人，则选到的是“成绩一般”的选手的概率为 $\frac{4}{13}$ ．

附 $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ ．

$(P K^{2} \geq k_{0})$	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

(1)、判断是否有99.9%的把握认为“学生取得的成绩情况”与“家长对学生的教育重视程度”有关；

(2)、现从成绩优秀的选手中按照分层抽样的方法抽取20人．进行“家长对学生情感支持”的调查，再从这20人中抽取3人进行“学生家庭教育资源保障”的调查．记进行“学生家庭教育资源保障”调查中抽取到“家长高度重视学生教育”的人数为X，求X的分布列和数学期望．

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19. 如图， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 为直角梯形， $A D = 2 B C = 2 A B = 6$ ， $A D // B C$ ， $A B ⊥ B C$ .

(1)、证明： $P C ⊥ C D$ ；

(2)、若 $P C = A D$ ，点 $E$ 在线段 $C D$ 上，且 $C E = 2 E D$ ，求二面角 $A - P E - C$ 的余弦值的绝对值..

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20. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，其离心率为 $\frac{1}{2}$ .椭圆 $E$ 的左、右顶点分别为 $A$ ， $B$ ，且 $| A B | = 4$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、过 $F_{1}$ 的直线与椭圆相交于 $C$ ， $D$ （不与顶点重合），过右顶点 $B$ 分别作直线 $B C$ ， $B D$ 与直线 $x = - 4$ 相交于 $N$ ， $M$ 两点，以 $M N$ 为直径的圆是否恒过某定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - 2 \ln x (a \in R)$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，证明： $f (x) \geq x - \ln x$ ；

(2)、是否存在不相等的正实数m，n满足 $m = n^{2}$ ，且 $f (m) = f (n)$ ？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由.

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22. 已知曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \sqrt{2} \cos θ \\ y = \sqrt{2} \sin θ \end{array}$ （ $θ$ 为参数），曲线 $C_{2}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y = \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{array}$ （ $t$ 为参数），以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系.

(1)、求曲线 $C_{1}$ 与曲线 $C_{2}$ 公共点的极坐标；

(2)、若点 $A$ 的极坐标为 $(2 ， π)$ ，设曲线 $C_{2}$ 与 $y$ 轴相交于点 $B$ ，点 $P$ 在曲线 $C_{1}$ 上，满足 $P A ⊥ P B$ ，求出点 $P$ 的直角坐标.

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x - 1 | + | 2 x + 3 |$ ．

(1)、求不等式 $f (x) \leq 6$ 的解集；

(2)、设函数 $f (x)$ 的最小值为m，若实数a，b，c满足 $a^{2} + 2 b^{2} + 3 c^{2} = m$ ，求 $a + 2 b + 3 c$ 的最大值．

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