河南省三门峡市2021-2022学年高三上学期理数阶段性检测试卷

试卷更新日期：2021-12-13 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ， $B = {x | x^{2} \leq 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）．

A、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ B、 ${0 ， 1}$ C、 ${- 1 ， 1}$ D、 ${0 ， 1 ， 2}$

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2. “ $θ$ 为第一或第四象限角”是“ $\cos θ > 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} = 3$ ， $a_{4}^{2} = a_{6} + a_{7}$ ，则 $a_{5} =$ （）

A、 $\frac{3}{8}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、12 D、24

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4. 角 $α$ 终边经过点 $P (2 + \sqrt{3} ， 1)$ ，若把 $α$ 逆时针方向旋转 $\frac{π}{4}$ 后得到 $β$ ，则 $\tan β =$ （）

A、3 B、 $\sqrt{3}$ C、-3 D、 $- \sqrt{3}$

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5. 已知函数 $f (x) = x^{2} + \frac{1}{4} ， g (x) = \sin x$ ，则图象为如图的函数可能是（）

A、 $y = f (x) + g (x) - \frac{1}{4}$ B、 $y = f (x) - g (x) - \frac{1}{4}$ C、 $y = f (x) g (x)$ D、 $y = \frac{g (x)}{f (x)}$

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6. 如图，从气球 $A$ 上测得正前方的河流的两岸 $B$ ， $C$ 的俯角分别为75º，30 º，此时气球的高是 $60 m$ ，则河流的宽度 $B C$ 等于（）

A、 $240 (\sqrt{3} - 1) m$ B、 $180 (\sqrt{2} - 1) m$ C、 $120 (\sqrt{3} - 1) m$ D、 $30 (\sqrt{3} + 1) m$

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7. 中国古代数学名著《张邱建算经》中有如下问题：今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之(等差数列)，上三人先人，得金四斤，持出；下四人后人得金三斤，持出；中间三人未到者，亦依等次更给.则第一等人(得金最多者)得金斤数是（）

A、 $\frac{37}{26}$ B、 $\frac{37}{27}$ C、 $\frac{52}{39}$ D、 $\frac{56}{39}$

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8. 设 $0 < x < 1$ ，则 $a = \frac{e^{x}}{x}$ ， $b = {(\frac{e^{x}}{x})}^{2}$ ， $c = \frac{e^{x^{2}}}{x^{2}}$ 的大小关系是（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < a < b$ D、 $b < a < c$

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9. “ $a > 0$ ”是“函数 $f (x) = (x - a) e^{x}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上有极值”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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10. 设四边形ABCD为平行四边形， $| \overset{⇀}{A B} | = 6$ ， $| \overset{⇀}{A D} | = 4$ .若点M，N满足 $\overset{⇀}{B M} = 3 \overset{⇀}{M C} ， \overset{⇀}{D N} = 2 \overset{⇀}{N C}$ ，则 $\overset{⇀}{A M} \cdot \overset{⇀}{N M} =$ （）

A、20 B、15 C、9 D、6

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11. 若不等式 $(a x^{2} + b x + 1) e^{x} ⩽ 1$ 对一切 $x \in R$ 恒成立，其中 $a ， b \in R ， e$ 为自然对数的底数，则 $a + b$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 1]$ B、 $(- 3 ， - 1]$ C、 $(- \infty ， - 3]$ D、 $(- 5 ， - 3]$

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12. 将函数 $f (x) = 3 \cos (x - \frac{π}{3})$ 的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变，再把所得的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，然后再把所得的图象向下平移1个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，若 $g (x_{1}) g (x_{2}) = 16$ ，且 $x_{1} ， x_{2} \in [- 2 π ， 2 π]$ ，则 $2 x_{1} - x_{2}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{13}{3} π$ B、 $\frac{10}{3} π$ C、 $\frac{5}{2} π$ D、 $\frac{25}{6} π$

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二、填空题

13. 曲线 $y = 2 lnx$ 在点 $(1 ， 0)$ 处的切线方程为.

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14. 设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为单位向量，且 $| \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{3}$ ，则 $| 2 \vec{a} + \vec{b} | =$ .

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15. 在 $△ A B C$ 中， $\tan A ： \tan B ： \tan C = 1 ： 2 ： 3$ ，求 $\frac{A B}{A C} =$ .

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16. 在数列 ${p_{n}}$ 中，如果对任意 $n \geq 2 (n \in N^{*})$ ，都有 $\frac{p_{n + 1}}{p_{n}} - \frac{p_{n}}{p_{n - 1}} = k$ （ $k$ 为常数），则称数列 ${p_{n}}$ 为比等差数列， $k$ 称为比公差.则下列结论：①等比数列一定是比等差数列；②等差数列一定不是比等差数列；③若 $a_{n} = n!$ ，则 ${a_{n}}$ 是比等差数列，且比公差为 $1$ ；④若数列 ${a_{n}}$ 是公差不为零的等差数列， ${b_{n}}$ 是等比数列，则数列 ${a_{n} \cdot b_{n}}$ 一定不是比等差数列.其中正确的有.（填序号）

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三、解答题

17. 已知数列 ${\log_{2} (a_{n} - 1)}$ 为等差数列，且 $a_{1} = 3$ ， $a_{3} = 9$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、证明： $\frac{1}{a_{2} - a_{1}} + \frac{1}{a_{3} - a_{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{a_{n + 1} - a_{n}} < 1$ .

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18. 在 $Δ A B C$ 中， $a cos C + \sqrt{3} c sin A = b + c$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = \sqrt{7}$ ， $S_{Δ A B C} = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，求 $b$ ， $c$ .

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19. 已知函数 $f (x) = \cos (x + \frac{π}{2}) \cdot \cos (x + \frac{5 π}{4})$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期及单调增区间；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位，再将横坐标扩大为原来的2倍得到 $g (x)$ 的图象，求函数 $g (x)$ 在 $[0 ， π]$ 上的值域.

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20. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为2，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{1} ， S_{2} ， S_{4}$ 成等比数列．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = {(- 1)}^{n - 1} \frac{4 n}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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21. 对于定义域为 $D$ 的函数 $y = f (x)$ ，若同时满足以下条件：① $y = f (x)$ 在 $D$ 上单调递增或单调递减；②存在区间 $[a ， b] \subseteq D$ ，使 $y = f (x)$ 在 $[a ， b]$ 上的值域是 $[a ， b]$ ，那么我们把函数 $y = f (x) (x \in D)$ 叫做闭函数.

(1)、判断函数 $g (x) = \ln x - x$ 是不是闭函数？若是，请找出区间 $[a ， b]$ ；若不是，请说明理由；

(2)、若 $h (x) = \ln (e^{2 x} + m)$ 为闭函数，求实数 $m$ 的取值范围（ $e$ 为自然对数的底数）.

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22. 设函数 $f (x) = \ln x - \frac{1}{2} - a x^{2} - b x$ .

(1)、当 $a = 0$ ， $b = - 1$ 时，方程 $f (x) = p x$ 在区间 $[1 ， e^{2}]$ 内有唯一实数解，求实数 $p$ 的取值范围；

(2)、 $a < - e$ ，若 $f (x)$ 有极大值 $M$ ，极小值 $m$ ，求证： $M + m < - 3$ .

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