河南省名校联盟2021-2022学年高三上学期理数11月月考试卷

试卷更新日期：2021-12-13 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | (x + 1) (3 - x) < 0}$ ， $B = {x | \frac{1}{x} \leq 1}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、 $(- 1 ， 0) \cup [1 ， 3]$ B、 $[- 1 ， 0) \cup [1 ， 3]$ C、 $0 < A < π$ D、 $[1 ， 3]$

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2. “ $\sqrt{x - 1} < 1$ ”是“ $x < 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} + a_{3} = 2 (a_{1} + a_{2})$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的公比 $q =$ （）

A、2 B、1 C、-1或1 D、-1或2

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4. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $△ A B C$ 的面积等于 $\frac{1}{4} (a^{2} + c^{2} - b^{2})$ ，则角 $B$ 的大小为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{6}$

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5. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x + y - 4 \leq 0 ， \\ x - y + 1 \leq 0 ， \\ 4 x - y + 4 \geq 0 ， \end{matrix}$ 则目标函数 $z = 2 x - y$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、2 C、-2 D、-4

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6. 对于向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，定义“ $\vec{a} \times \vec{b}$ ”运算： $\vec{a} \times \vec{b}$ 的运算结果是一个向量，且 $| \vec{a} \times \vec{b} | = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \sin 〈 \vec{a} ， \vec{b} 〉$ ，其中 $〈 \vec{a} ， \vec{b} 〉$ 表示向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角．在锐角 $△ A B C$ 中， $B C = 8$ ， $A C = 5$ ， $| \vec{B C} \times \vec{C A} | = 24$ ，则 $\vec{B C} \cdot \vec{C A} =$ （）

A、21 B、32 C、-21 D、-32

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7. 《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果墙足够厚，第 $n$ 天后大老鼠打洞的总进度是小老鼠的4倍，则 $n$ 的值为（）

A、5 B、4 C、3 D、2

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8. 若 $a < b < 0$ ，则下列不等式中，一定不成立的是（）

A、 $\frac{1}{a - b} > \frac{1}{a}$ B、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ C、 $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} > 2$ D、 $| a | > | b |$

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9. 对于函数 $f (x)$ ， $x_{1} + x_{2} = 2 a$ 时， $f (x_{1}) + f (x_{2}) = 2 b$ ，则函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(a ， b)$ 成中心对称．探究函数 $f (x) = \frac{2 \cdot 3^{x}}{3^{x} + \sqrt{3}}$ 图象的对称中心，并利用它求 $f (\frac{1}{2022}) + f (\frac{2}{2022}) + f (\frac{3}{2022}) + \cdot \cdot \cdot + f (\frac{2021}{2022})$ 的值为（）

A、4042 B、 $2021 \sqrt{3}$ C、2022 D、2021

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10. 在公差为 $1$ 的等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = t$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = \frac{1 + a_{n}}{a_{n}}$ ．若对任意的 $n \in N^{*}$ ， $b_{n} \leq b_{9}$ 恒成立，则实数 $t$ 的取值范围为（）

A、 $[- 8 ， - 7]$ B、 $(- 8 ， - 7)$ C、 $[- 9 ， - 8]$ D、 $(- 9 ， - 8)$

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11. 定义 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，如 $[- 0.5] = - 1$ ， $[2.3] = 2$ ．若数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = [\log_{2} n]$ $(n \in N^{*})$ ，则 $\sum_{n = 1}^{4095} a_{n} =$ （）

A、 $10 \times 2^{12} + 2$ B、 $9 \times 2^{11} + 2$ C、 $2^{10} - 2$ D、78

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12. 函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin (ω x + φ) + \cos (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ）的图象过点 $(0 ， \sqrt{3})$ ，且相邻两对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ，设 $g (x) = f (x) - \sqrt{3}$ ，若 $\forall x \in [0 ， \frac{π}{3}]$ ， $g^{2} (x) - (2 + m) g (x) + 2 + m \geq 0$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， \frac{- 1 + 3 \sqrt{3}}{2}]$ B、 $(- \infty ， \frac{1 - 3 \sqrt{3}}{2}]$ C、 $[- 2 ， + \infty)$ D、 $[2 ， + \infty)$

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二、填空题

13. 已知等比数列{a_n}中，a₁=1，a₅=9，则a₃= ．

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14. 若 $\sin (\frac{π}{2} + \frac{α}{2}) = \sqrt{2} \sin \frac{α}{2}$ ，则 $\tan (α - 3 π) =$ .

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15. 已知等差数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n}$ ， $T_{n}$ ，若 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{3 n - 1}{2 n + 3}$ ，则 $\frac{a_{9}}{b_{11}} =$ ．

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16. 已知 $a > 0$ ， $b \neq 0$ ，且 $a + | b | = 3$ ，则 $\frac{9}{a} + \frac{b + 3}{| b |}$ 的最小值为．

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三、解答题

17. 已知 $f (x) = a x^{2} + b (4 - b) x - 3$ .

(1)、若不等式 $f (x) > 0$ 的解集为 $(1 ， 3)$ ，求实数 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、解关于 $b$ 的不等式 $f (1) - a b < 0 (a \in R)$ .

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18. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} + a_{4} = 14$ ， $a_{1} + a_{3} + a_{5} + a_{7} = 36$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = \frac{2}{a_{n} - 1}$ ，求数列 ${b_{n} b_{n + 2}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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19. 面对全球能源､资源危机，环境污染日益严重等一系列难题，世界各国都在积极寻找应对措施，努力开发新能源.对于汽车行业来说，传统的燃油汽车耗能大，污染大，因此发展新能源汽车有着非常积极的作用，这也与我国所提出的环境保护､节能减排理念相一致.我国在积极推进新能源汽车研发生产工作，某大型公司对新推出的新能源汽车市场调研，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，生产 $x$ 百辆，需另投入成本 $C (x)$ 万元，且 $C (x) = {\begin{array}{l} 10 x^{2} + 200 x ， 0 < x < 50 ， \\ 601 x + \frac{10000}{x} - 9000 ， x \geq 50 ， \end{array}$ 由市场调研知，每辆车售价为6万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.

(1)、求出年利润 $L (x)$ （万元）关于年产量 $x$ （百辆）的函数关系式；

(2)、当年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.

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20. 北京2022年冬奥会将于2022年2月4日在北京和张家口开幕，运动员休息区本着环保、舒适、温馨这一出发点，进行精心设计．如图，道路 $A B$ 长为4百米，现在 $A B$ 的同一侧设计四边形 $A B C D$ ， $C$ ， $D$ 在以 $A B$ 为直径的半圆上设 $∠ C O B = θ$ ，（ $O$ 为圆心）．

(1)、若在四边形 $A B C D$ 内种植花卉，且 $∠ C O D = \frac{π}{3}$ ，当 $θ$ 为何值时，花卉种植面积最大？

(2)、若为了景观错落有致，沿着 $B C$ ， $C D$ 和 $D A$ 设置景观花带，且 $B C = C D$ ，则当 $θ$ 为何值时，景观花带总长 $L$ 最长？并求 $L$ 的最大值．

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21. 已知 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $a_{2} = 3$ 且 $2 S_{n} = n (a_{n} + 1)$ $(n \in N^{*})$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = S_{n} \sin \frac{n π}{2} + S_{n + 1} \sin \frac{(n + 1) π}{2}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{50}$ ．

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22. 已知 $f (x) = e^{x} - a x^{2} - x - 1$ $(a > 0)$

(1)、当 $a = \frac{e}{2}$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、设 $F (x) = f (x) + 2$ ，若当 $a \in (t ， + \infty)$ 时， $F (x)$ 有三个不同的零点，求实数 $t$ 的最小值．

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