全国甲卷地区高考数学专项训练——导数

试卷更新日期：2021-12-12 类型：二轮复习

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一、解答题

1. 已知曲线 $f (x) = x e^{x} - \frac{2}{3} a x^{3} - a x^{2}$ ， $a \in R$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $y = f (x)$ 有三个极值点 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} (x_{1} < x_{2} < x_{3})$ ，求实数 $a$ 的取值范围，并证明： $0 < f (x_{2}) < \frac{e}{6}$ .

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2. 已知函数 $f (x) = e^{x - 1}$ .

(1)、设函数 $h (x) = x f (x)$ ，求 $h (x)$ 的单调区间；

(2)、判断函数 $y = f (x)$ 与 $g (x) = \ln x$ 的图象是否存在公切线，若存在，这样的切线有几条，为什么？若不存在，请说明理由.

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3. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{e^{x}}$ ， $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数.

(1)、求 $f (x)$ 的极值；

(2)、当 $x_{0} < 1$ 时，证明： $f (x) \leq f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + f (x_{0})$ .

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4. 已知函数 $f (x) = x e^{x} - b x \ln x - \frac{1}{2} x^{2}$ $(b \in R)$ ，其图象在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线斜率为 $2 e - 3$ .

(1)、证明：当 $x > 1$ 时， $f (x) > x e^{x} - \frac{3}{2} x^{2} + 1$ ；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) + (4 - a) x - 1$ 在定义域上无极值，求正整数 $a$ 的最大值.

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5. 已知函数 $f (x) = \ln x - \frac{a (x - 1)}{x + 1}$ ， $(a \in R)$

(1)、试讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、求证： $\frac{4}{\ln 2} + \frac{8}{\ln 3} + \frac{12}{\ln 4} + \dots + \frac{4 n}{\ln (n + 1)} < n (n + 5)$ .

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6. 已知函数 $f (x) = x^{2} \ln x - x + 1$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间及单调性；

(2)、当 $x \geq 1$ 时， $f (x) \geq a {(x - 1)}^{2}$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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7. 已知函数 $f (x) = a x - a - \ln x ， a \in R$

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 在 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x) \geq 0$ ，求实数 $a$ 取值的集合；

(3)、当 $a = 0$ 时，对任意 $x_{1} ， x_{2} \in (0 ， + \infty) ， x_{1} < x_{2}$ ，令 $x_{3} = \frac{x_{2} - x_{1}}{f (x_{1}) - f (x_{2})}$ ，证明： $x_{1} < x_{3} < x_{2}$ .

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8. 已知函数 $u (x) = \frac{a}{x} - \ln x (a \in R)$
（Ⅰ）若曲线 $u (x)$ 与直线 $y = 0$ 相切，求 $a$ 的值.

（Ⅱ）若 $e + 1 < a < 2 e$ 设 $f (x) = | u x | - \frac{\ln x}{x}$ 求证： $f (x)$ 有两个不同的零点 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $| x_{2} - x_{1} | < e$ .（ $e$ 为自然对数的底数）

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9. 已知函数 $f (x) = x \cdot \sin x$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(\frac{π}{2} ， f (\frac{π}{2}))$ 处的切线方程；

(2)、当 $x \in (- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2})$ 时，求证： $f (x) \geq 1 - \cos x$ ；

(3)、求证：当 $x \in (0 ， \frac{π}{2})$ 时，方程 $f (x) - \frac{1}{3} \tan x = 0$ 有且仅有2个实数根.

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10. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} + a x + a$ ．

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， a)$ 处的切线 $l$ 与曲线 $x^{2} + y^{2} = \frac{1}{2}$ 相切，求 $a$ 的值；

(2)、若函数 $f (x)$ 的图象与 $x$ 轴有且只有一个交点，求 $a$ 的取值范围．

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11. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x - \ln 2 (a \in R)$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a = 2$ 时，求函数 $g (x) = f (x) + \ln 2 - \cos x$ 在 $(- \frac{π}{2} ， + \infty)$ 上的零点个数．

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12. 已知函数 $f (x) = \ln x$ ， $g (x) = a x - 1 (a \in R)$ .

(1)、若方程 $f (x) - g (x) = 0$ 存在两个不等的实根，求a的取值范围.

(2)、设函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ ， $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是函数 $h (x)$ 的两个零点，证明： $h' (x_{1} x_{2}) < 1 - a$ .

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13. 已知函数 $f (x) = \ln x - a x + a$ $(a \neq 0)$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的零点的个数；

(2)、当 $a > 0$ 时，若 $f (x) \leq b + 2 a$ 恒成立，证明： $\frac{b}{a} \geq - 2$ ．

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14. 已知函数 $f (x) = x e^{x} - a x^{2} - 2 a x$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 恰有三个零点，求 $a$ 的取值范围．

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15. 已知函数 $f (x) = x e^{x} - a x^{2} - 2 a x$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x)$ 有且仅有一个零点，求 $a$ 的取值范围．

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16. 已知函数 $f (x) = 2 \ln x + 4 a x - x^{2} - 1$ $(a \in R)$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，试判断函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $a > 0$ ，且当 $x \in (1 ， + \infty)$ 时， $f (x) \leq 0$ 恒成立. $f (x) = 0$ 有且只有一个实数解，证明： $0 < a < \frac{3}{4}$ .

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17. 已知函数 $f (x) = x e^{x + 1} + x^{2} + 2 x + 2$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、证明∶对任意的 $x \in R$ ，都有 $f (x) \geq 0$ .

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18. 已知函数 $f (x) = e^{x} - \cos x - a x (a \in R)$ .

(1)、若 $f (x)$ 在 $[0 ， + \infty)$ 上单调递增，求 $a$ 的取值范围；

(2)、证明： $\forall x \in [0 ， + \infty)$ ， $x e^{x} \geq \sin^{2} x + 2 \sin x - \sin x \cos x$ .

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19. 已知函数 $f (x) = e^{a x} - x$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处切线的斜率为1，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若不等式 $f (x) \geq e^{a x} \ln x - a x^{2}$ 对 $x \in (0 ， e]$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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20. 已知函数 $f (x) = x^{2} + a x$ ， $g (x) = \ln x + b$ ， $a ， b \in R$ ，且 $f (x)$ 的最小值为 $f (g' (1))$ ．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、若不等式 $b f (x) \leq x g (x)$ 对任意 $x \in [\frac{1}{e} ， e^{2}]$ 恒成立，其中 $e$ 是自然对数的底数，求 $b$ 的取值范围；

(3)、设曲线 $y = f (x)$ 与曲线 $y = g (x)$ 交于点 $P (x_{0} ， y_{0}) (x_{0} > 1)$ ，且两曲线在点 $P$ 处的切线分别为 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ．试判断 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 与 $x$ 轴是否能围成等腰三角形？若能，确定所围成的等腰三角形的个数；若不能，请说明理由．

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} - m x ， g (x) = - x^{2} - m$

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、设函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ ，若 $h (x)$ 在 $[0 ， + \infty)$ 上有且只有一个零点，求m的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = x^{3} + a x - x + c$ ，且 $a = f' (\frac{2}{3})$ ．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、设函数 $g (x) = (f (x) - x^{3}) \cdot e^{x}$ ，若函数 $g (x)$ 在 $x \in [- 3 ， 2]$ 上单调递增，求实数 $c$ 的取值范围．

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