广东省揭阳市揭东区2022届高三上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-12-11 类型：期中考试

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一、单选题

1. 集合 $P = {x \in Z | 0 \leq x < 3}, M = {x \in Z | x^{2} \leq 9}$ ，则 $P \cap M$ =（）

A、{1,2} B、{0,1,2} C、{x|0≤x<3} D、{x|0≤x≤3}

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2. 命题 $p ： \exists x_{0} \in (0 ， + \infty)$ ， $x_{0}^{2} \leq x_{0} - 2$ ，则 $\neg p$ 是（）

A、 $\exists x_{0} \in (0 ， + \infty)$ ， $x_{0}^{2} > x_{0} - 2$ B、 $\forall x \in (0 ， + \infty)$ ， $x^{2} \leq x - 2$ C、 $\exists x_{0} \in (0 ， + \infty)$ ， $x_{0}^{2} \geq x_{0} - 2$ D、 $\forall x \in (0 ， + \infty)$ ， $x^{2} > x - 2$

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3. 已知 $\sin α + \cos α = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则sinacosa=（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $- \frac{3}{4}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $- \frac{1}{4}$

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4. 如图所示，矩形 $A B C D$ 中，若 $\vec{B C} = 6 \vec{e_{1}}$ ， $\vec{D C} = 4 \vec{e_{2}}$ ，则 $\vec{O C}$ 等于（）

A、 $3 \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ B、 $3 \vec{e_{1}} - 2 \vec{e_{2}}$ C、 $2 \vec{e_{1}} + 3 \vec{e_{2}}$ D、 $2 \vec{e_{1}} - 3 \vec{e_{2}}$

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5. 集合 $A = {x | y = \log_{2} (x - 1)}$ ，设 $x \in A$ ，则 $f (x) = 3 x - 1$ 的值域为（）

A、 $[- 2 ， + \infty)$ B、 $[2 ， + \infty)$ C、 $(- 2 ， + \infty)$ D、 $(2 ， + \infty)$

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6. 设x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - y + 1 \geq 0 \\ x + y - 1 \geq 0 \\ x \leq 3 \end{array}$ ，该约束条件所表示的区域面积为（）

A、18 B、9 C、16 D、4

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7. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， x - 1)$ ， $\vec{b} = (x ， 2)$ ，则（）

A、 $\vec{a} = \vec{b}$ B、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $x = 2$ C、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x = - \frac{2}{3}$ D、 $| \vec{a} - \vec{b} | \geq \sqrt{2}$

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8. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (- x) = f (x)$ ，且当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = {\begin{array}{l} - x + 2 ， 0 \leq x < 3 \\ 1 - \log_{2} (x + 1) ， x \geq 3 \end{array}$ ，若对任意的 $x \in [t ， t + 1]$ ，不等式 $f (x - 1) \leq f (x + t) + f (- 2)$ 恒成立，则实数 $t$ 的最小值为（）

A、-1 B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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二、多选题

9. 下列各组函数表示同一函数的是（）

A、 $y = \lg 10^{x}$ ， $y = 10^{\lg x}$ B、 $y = x^{2}$ ， $y = {(\sqrt{x})}^{4}$ C、 $y = \frac{x (x - 2)}{x^{2}}$ ， $y = 1 - \frac{2}{x}$ D、 $y = \sqrt{2} \cos (2 x + \frac{π}{4})$ ， $y = \cos 2 x - \sin 2 x$

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10. $△ A B C$ 中，若角 $A$ 是钝角，则（）

A、 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} < 0$ B、 $A B^{2} + A C^{2} > B C^{2}$ C、 $\sin B < \cos C$ D、 $\sin B < \sin C$

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11. 下图是函数 $y = \sin (ω x + φ) (0 < φ < 2 π)$ 的部分图像，下面说法正确的是（）

A、 $ω = 2$ ， $φ = \frac{5 π}{3}$ B、 $ω = - 2$ ， $φ = \frac{π}{3}$ C、对称轴方程为 $x = - \frac{π}{12}$ D、函数在区间 $[- π ， - \frac{7 π}{12}]$ 上单调递增

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12. 在归国包机上，孟晚舟写下《月是故乡明，心安是归途》，其中写道“过去的1028天，左右踟躇，千头万绪难抉择；过去的1028天，日夜徘徊，纵有万语难言说；过去的1028天，山重水复，不知归途在何处．”“感谢亲爱的祖国，感谢党和政府，正是那一抹绚丽的中国红，燃起我心中的信念之火，照亮我人生的至暗时刻，引领我回家的漫长路途．”下列数列 ${a_{n}} (n \in N^{*})$ 中，其前 $n$ 项和可能为1028的数列是（）
(参考公式： $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \cdot \cdot \cdot + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$ )

A、 $a_{n} = 10 n + 28$ B、 $a_{n} = 4 n^{2} - 12 n + \frac{74}{5}$ C、 $a_{n} = {(- 1)}^{n + 1} n^{2} - \frac{7}{45}$ D、 $a_{n} = 2^{n - 1} + \frac{1}{2}$

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三、填空题

13. $\sin 20^{\circ} \cos 10^{\circ} - \cos 160^{\circ} \sin 10^{\circ} =$ ．

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14. 若函数 $f (x) = \ln x + x - 3$ 的零点在区间 $(k ， k + 1)$ ， $k \in Z$ 内，则 $k =$ ．

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15. 若正实数 $a ， b$ 满足 $\log_{2} a + \log_{2} b = 3$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值.

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16. 若定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f^{'} (x) - 3 f (x) > 0$ ， $f (\frac{1}{3}) = e$ ，则不等式 $f (x) > e^{3 x}$ 的解集为．

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四、解答题

17. 已知△ $A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a \sin C = \sqrt{3} c \cos A$ ．

(1)、求角 $A$ ．

(2)、若 $a = \sqrt{7}$ ， $c = 2$ 求△ $A B C$ 的面积．

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18. 已知： $f (x) = 2 \cos^{2} x + \sqrt{3} \sin 2 x + a$ （ $a \in R$ ， $a$ 为常数）．

(1)、若 $x \in R$ ，求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、若 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{6}$ ， $\frac{π}{4}]$ 上最大值与最小值之和为3，求 $a$ 的值．

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19. 已知等差数列 ${a_{n}}$ ，若 $a_{6} = 11$ ，且 $a_{2}$ ， $a_{5}$ ， $a_{14}$ 成等比数列．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $a_{1} < 2$ ，设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，证明： $S_{n} < \frac{1}{2}$ ．

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20. 在推导很多三角恒等变换公式时，我们可以利用平面向量的有关知识来研究，在一定程度上可以简化推理过程．如我们就可以利用平面向量来推导两角差的余弦公式： $\cos (α - β) = \cos α \cos β + \sin α \sin β$ ．具体过程如下：
如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 内作单位圆 $O$ ，以 $O x$ 为始边作角 $α$ ， $β$ ．它们的终边与单位圆 $O$ 的交点分别为A，B．

则 $\vec{O A} = (\cos α ， \sin α)$ ， $\vec{O B} = (\cos β ， \sin β)$ ，由向量数量积的坐标表示，有 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = \cos α \cos β + \sin α \sin β$ ．

设 $\vec{O A}$ ， $\vec{O B}$ 的夹角为 $θ$ ，则 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = | \vec{O A} | \cdot | \vec{O B} | \cos θ = \cos θ = \cos α \cos β + \sin α \sin β$ ，

另一方面，由图（1）可知， $α = 2 k π + β + θ$ ；

由图（2）可知 $α = 2 k π + β - θ$ ，于是 $α - β = 2 k π \pm θ$ ， $k \in Z$ ．

所以 $\cos (α - β) = \cos θ$ ，也有 $\cos (α - β) = \cos α \cos β + \sin α \sin β$ ；

所以，对于任意角 $α$ ， $β$ 有： $\cos (α - β) = \cos α \cos β + \sin α \sin β (C_{α - β})$ ．

此公式给出了任意角 $α$ ， $β$ 的正弦、余弦值与其差角 $α - β$ 的余弦值之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作 $C_{α - β}$ ．有了公式 $C_{α - β}$ 以后，我们只要知道 $\cos α$ ， $\cos β$ ， $\sin α$ ， $\sin β$ 的值，就可以求得 $\cos (α - β)$ 的值了．

阅读以上材料，利用图（3）单位圆及相关数据（图中M是AB的中点），采取类似方法（用其他方法解答正确同等给分）

解决下列问题：

(1)、判断 $\vec{O C} = \frac{1}{| \vec{O M} |} \vec{O M}$ 是否正确？（回答“正确”，“不正确”，不需要证明）

(2)、证明： $\cos α + \cos β = 2 \cos \frac{α + β}{2} \cos \frac{α - β}{2}$ ．

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21. 设函数 $f (x) = x^{2}$ ，过点 $B_{1} (4 ， 0)$ 作 $x$ 轴的垂线交函数 $f (x)$ 图像于点 $A_{1}$ ，以 $A_{1}$ 为切点作函数 $f (x)$ 图像的切线交 $x$ 轴于点 $B_{2}$ ，再过 $B_{2}$ 作 $x$ 轴的垂线交函数 $f (x)$ 图像于点 $A_{2}$ ，以此类推得点 $A_{n}$ ， $A_{n + 1}$ ， $\cdot \cdot \cdot$ ，记点 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $\cdot \cdot \cdot$ ， $A_{n}$ ， $\cdot \cdot \cdot$ 的横坐标分别为 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $\cdot \cdot \cdot$ ， $a_{n}$ ， $\cdot \cdot \cdot$ ， $(n \in N^{*})$ ．

(1)、证明： $a_{n + 1} = \frac{1}{2} a_{n}$ ，并求 $a_{n}$ ；

(2)、求数列 ${(2 n - 1) a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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22. 已知 $f (x) = x \ln x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、证明：对一切 $x \in (0 ， + \infty)$ ，都有 $\ln x \geq \frac{x + 1 - \frac{1}{e}}{x e^{x + 1 - \frac{1}{e}}} - \frac{2}{e x}$ 成立．

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