高中数学人教A版（2019）选修二第五章一元函数的导数及其应用

试卷更新日期：2021-12-11 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知函数 $f (x) = 2 x^{2} + a \ln x$ 的图象在点 $(1 ， 2)$ 处的切线过点 $(0 ， - 5)$ ，则实数 $a$ 的值为（）

A、3 B、-3 C、2 D、-2

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2. 已知 $a > b > 0$ ，函数 $y = e^{a x}$ 在 $x = 0$ 处的切线与直线 $2 x - b y = 0$ 平行，则 $\frac{a^{2} + b^{2}}{a - b}$ 的最小值是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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3. 函数 $y = f (x)$ 在定义城 $[- \frac{3}{2} ， 3]$ 内可导，其函数图象如图所示.记 $y = f (x)$ 的导函数为 $y = f^{'} (x)$ ，则不等式 $f^{'} (x) \geq 0$ 的解集为（）

A、 $[- \frac{1}{3} ， 1] \cup [2 ， 3]$ B、 $[- 1 ， \frac{1}{2}] \cup (\frac{4}{3} ， \frac{8}{3}]$ C、 $[- \frac{3}{2} ， - \frac{1}{3}] \cup [1 ， 2]$ D、 $[- \frac{3}{2} ， - \frac{1}{3}] \cup [\frac{1}{2} ， \frac{4}{3}] \cup (\frac{4}{3} ， 3]$

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4. 已知 $a ， b \in R$ ，若 $x = b$ 是函数 $f (x) = a (x - a) {(x - b)}^{2}$ 的极小值点，则（）

A、 $a < b$ B、 $a > b$ C、 $a b < a^{2}$ D、 $a b > a^{2}$

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5. 已知函数 $f (x) = \frac{a}{x} + x \ln x$ ， $g (x) = x^{3} - x^{2} - 3$ ，若 $\forall x_{1} ， x_{2} \in [\frac{1}{2} ， 2] ，$ 都有 $f (x_{1}) - g (x_{2}) \geq 0$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[0 ， + \infty)$ B、 $[1 ， + \infty)$ C、 $[2 ， + \infty)$ D、 $[3 ， + \infty)$

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6. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + \cos x$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $f (\frac{π}{4}) < f (- \frac{π}{6})$ B、 $f (- \frac{π}{6}) > f (1)$ C、 $f (\frac{π}{4}) < f (\frac{π}{6})$ D、 $f (- \frac{π}{3}) > f (\frac{π}{6})$

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7. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $\frac{1}{2} f (x) + f^{'} (x) > 0$ 且有 $f (2) = \frac{1}{e}$ ，则 $f (x) > \frac{1}{\sqrt{e^{x}}}$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， \frac{1}{2})$ B、 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 2)$ D、 $(2 ， + \infty)$

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8. 已知函数 $f (x) = 2 x^{3} - 2 x + 4 + e^{x} - \frac{1}{e^{x}}$ ，其中 $e$ 是自然对数的底数，若 $f (a - 6) + f (a^{2}) > 8$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(2 ， + \infty)$ B、 $(- 3 ， 2)$ C、 $(- \infty ， - 3)$ D、 $(- \infty ， - 3) \cup (2 ， + \infty)$

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = \ln x - \frac{x + 1}{x - 1}$ ，下列结论成立的是（）

A、函数 $f (x)$ 在定义域内无极值 B、函数 $f (x)$ 在点 $A (2 ， f (2))$ 处的切线方程为 $y = \frac{5}{2} x + \ln 2 - 8$ C、函数 $f (x)$ 在定义域内有且仅有一个零点 D、函数 $f (x)$ 在定义域内有两个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} \cdot x_{2} = 1$

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10. 定义在 $[0 ， + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且 $f (x) + (x^{2} + x) f^{'} (x) < 0$ 恒成立，则必有（）

A、 $3 f (3) < 2 f (1)$ B、 $4 f (2) < 5 f (5)$ C、 $3 f (1) > 5 f (5)$ D、 $2 f (3) > 3 f (7)$

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11. 已知函数 $f (x) = e^{x}$ ， $g (x) = \ln x$ ，下列结论正确的是（）

A、函数 $y = f (x) - g (x)$ 在 $(0 ， \frac{1}{e})$ 上单调递减 B、函数 $y = f (x) - g (x)$ 的最小值为2 C、若 $P$ ， $Q$ 分别是曲线 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 上的动点，则 $| P Q |$ 的最小值为 $\sqrt{2}$ D、若 $f (x) - g (m x) \geq (m - 1) x$ 对 $x \in (0 ， + \infty)$ 恒成立，则 $0 < m \leq e$

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12. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{e^{x}}$ （ $e$ 为自然对数的底数），过点 $(a ， b)$ 作曲线 $f (x)$ 的切线.下列说法正确的是（）

A、当 $a = 0$ 时，若只能作两条切线，则 $b = \frac{4}{e^{2}}$ B、当 $a = 0$ ， $b > \frac{4}{e^{2}}$ 时，则可作三条切线 C、当 $0 < a < 2$ 时，可作三条切线，则 $\frac{a}{e^{a}} < b < \frac{4 - a}{e^{2}}$ D、当 $a = 2$ ， $b > 0$ 时，有且只有一条切线

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三、填空题

13. 曲线 $y = \ln x - \sqrt{x}$ 在 $[1 ， 5]$ 上的最大值为.

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14. 曲线 $y = e^{x}$ 在 $x = 0$ 处的切线方程为；若该切线也是曲线 $y = \ln x + b$ 的切线，则 $b =$ .

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15. 若存在 $x \in [0 ， 1]$ ，使得 $3^{x} + \frac{1}{3^{x}} \geq 7 m + 1$ 成立，则实数 $m$ 的取值范围是.

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16. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \ln x ， x > 0 ， \\ e^{x} (x + 1) ， x \leq 0 ， \end{array}$ 若函数 $y = f (x) - b$ 有两个零点，则实数b的取值集合为．

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = \ln x - a x$ 在 $x = 2$ 处的切线与直线 $x + 2 y - 3 = 0$ 平行.

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) + m = 2 x - x^{2}$ 在 $[\frac{1}{2} ， 2]$ 上恰有两个不相等的实数根，求实数 $m$ 的取值范围.

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18. 已知函数 $f (x) = {(x - a)}^{2} \ln x ， a \in R$ ．

(1)、若 $a = 3 \sqrt{e}$ ，其中 $e$ 为自然对数的底数，求函数 $g (x) = \frac{f (x)}{x}$ 的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 既有极大值，又有极小值，求实数 $a$ 的取值范围．

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19. 已知函数 $f (x) = \ln (4^{x} + k \cdot 2^{x} + 1) (k \in R)$ ， $g (x) = x \ln 2$ ．

(1)、若 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，求 $k$ 的取值范围；

(2)、若不等式 $f (x) < g (x)$ 有解，求 $k$ 的取值范围．

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20. 已知函数 $f (x) = x e^{- x}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、令 $g (x) = \frac{a}{f (x)} + \ln f (x) (a \in R)$ ，对任意 $x \geq 1$ ， $g (x) \geq - 1$ ．求 $a$ 的取值范围．

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - (a + 1) \ln x - \frac{1}{2} (a \in R ， a \neq 0)$ ．

(1)、讨论函数的单调性；

(2)、若对任意的 $x \in [1 ， + \infty)$ ，都有 $f (x) \geq 0$ 成立，求 $a$ 的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} + x - \ln x - 1$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的极值点；

(2)、若 $g (x) = f (x) - m \frac{e^{2 x}}{x}$ 在 $[1 ， + \infty)$ 上单调递减，求实数 $m$ 的取值范围．

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高中数学人教A版（2019） 选修二 第五章 一元函数的导数及其应用

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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