福建省福州市八县（市、区）一中2022届高三上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2021-12-10 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下面是关于复数 $z = \frac{2 i}{1 - i}$ （ $i$ 为虚数单位）的命题，其中真命题为（）

A、 $| z | = 2$ B、复数 $z$ 在复平面内对应点在直线 $y = x$ 上 C、 $Z$ 的共轭复数为 $- 1 - i$ D、 $z$ 的虚部为-1

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2. 如图，平行四边形ABCD中，点G在AC上，且满足 $\vec{A C} = 4 \vec{A G}$ ，若 $\vec{A B} = \vec{a} ， \vec{A D} = \vec{b}$ ，则 $\overset{⇀}{D G} =$ （）

A、 $\frac{1}{4} \vec{a} - \frac{3}{4} \vec{b}$ B、 $- \frac{1}{4} \vec{a} + \frac{3}{4} \vec{b}$ C、 $- \frac{1}{4} \vec{a} - \frac{3}{4} \vec{b}$ D、 $\frac{1}{4} \vec{a} + \frac{3}{4} \vec{b}$

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3. 在 $△ A B C$ 中，边 $a ， b ， c$ 分别为角A，B，C所对的边，如果 $s i n^{2} A + s i n^{2} B + s i n A s i n B = s i n^{2} C$ ，且 $a = b$ ，则角A的大小为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{π}{12}$

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4. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.观察以下四个图象的特征，试判断与函数 $f (x) = (x - \frac{1}{x}) s i n | x | ，（ - π \leq x \leq π ， x \neq 0 ）$ 相对应的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知 $m$ ， $n$ 是两条不同直线， $α$ ， $β$ ， $γ$ 是三个不同平面，则下列命题正确的是（）

A、若 $m // α$ ， $n // α$ ，则 $m // n$ B、若 $α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ$ ，则 $α // β$ C、若 $m // α$ ， $m // β$ ，则 $α // β$ D、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ α$ ，则 $m // n$

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6. 已知 $α$ ， $β$ 为锐角，且 $\cos α = \frac{7 \sqrt{2}}{10}$ ， $\cos (α + β) = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，则 $\cos 2 β =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$

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7. 意大利数学家斐波那契（1770--1250），以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1､1､2､3､5､8､13､21 $\dots \dots$ 在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿简等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛得应用.已知斐波那契数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = 1 ， a_{2} = 1 ， a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n}$ ，若 $a_{3} + a_{5} + a_{7} + a_{9} + a_{11} + a_{13} = a_{k} - a_{2}$ ，则 $a_{k}$ 等于（）

A、15 B、14 C、608 D、377

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8. 已知函数 $f （ x ） = {\begin{matrix} | 3^{x} - 1 | ， x \leq 1 \\ - x + 2 ， x > 1 \end{matrix}$ ，若实数 $a ， b ， c$ 满足 $a < b < c$ 且 $f (a) = f (b) = f (c)$ ，则 $3^{a + c} + 3^{b + c}$ 的取值范围为（）

A、（6，16） B、（6，18） C、（8，16） D、（8，18）

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二、多选题

9. 下列命题为真命题的是（）

A、命题“ $\forall x < 1 ， x^{2} < 1$ ”的否定是“ $\exists x < 1 ， x^{2} \geq 1$ ”； B、函数 $f (x) = \sqrt{x - 1} \cdot \sqrt{x + 1}$ ，与函数 $g (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$ 是同一个函数； C、已知命题“ $\forall x \in [1 ， 3] ，$ 不等式 $x^{2} - a x + 4 \geq 0$ 为真命题”，则 $a$ 取值范围为 $a \leq 4$ ； D、设a， $b \in R$ ，则“ $a \neq 0$ 或 $b \neq 2$ ”的充要条件是“ $a + b \neq 2$ ”.

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10. 下列命题中正确的是（）

A、若 $\vec{a} = (3 ， m)$ ， $\vec{b} = (2 ， 3)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 所成的夹角为锐角，则实数 $m$ 的取值范围是 $m > - 2$ ； B、若非零向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ 则 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 的夹角是 $30^{\circ}$ . C、已知 $\vec{c} \neq \vec{0}$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ ； D、若点G为 $△ A B C$ 内一点，满足 $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ ，则点G是 $Δ A B C$ 的重心

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11. 若正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面是边长为2，侧棱长为4，E是 $D D_{1}$ 的中点，则（）

A、三棱锥 $C_{1} - B_{1} C E$ 的体积为 $\frac{8}{3}$ B、 $B_{1} E ⊥ A_{1} B$ C、三棱锥 $B_{1} - C_{1} C E$ 的外接球的半径是 $\sqrt{5}$ D、过点 $B_{1} ， E ， C$ 三点平面与该棱柱各个面的交线围成的平面图形面积为 $3 \sqrt{6}$

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12. 已知函数 $f (x)$ 的定义域、值域都是 $(0 ， + \infty)$ ，且满足 $\frac{1}{2} f (x) < f^{'} (x)$ ，则下列结论一定正确的是（）

A、若 $f (1) = e$ ，则 $f (2) > e^{\frac{3}{2}}$ B、 $f (2) < f (3)$ C、 $3 f (2) > 2 f (4)$ D、 $7 f (\frac{1}{4}) < 6 f (\frac{1}{3}) e^{\frac{1}{8}}$

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三、填空题

13. 若一个圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为．

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14. 设 $a > 0 ， b > 0$ ，若 $\ln \sqrt{3}$ 是 $\ln 9^{a}$ 与 $\ln 3^{b}$ 的等差中项，则 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为.

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15. 为了参加校教职工运动会，某校高三年级组准备为本年级教师订制若干件文化衫，经与厂家协商，可按出厂价结算，同时厂家也承诺超过50件就可以每件比出厂价低22元给予优惠.如果按出厂价购买年级组总共应付 $a$ 元，但若再多买15件就可以达到优惠条件并恰好也是共付 $a$ 元（ $a$ 为整数），则 $a$ 的值为.

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + 3 a_{2} + 5 a_{3} + \dots \dots + (2 n - 1) a_{n} = 3^{n} - 1$ ，则 $a_{2} =$ .设 $b_{n} = \frac{a_{n}}{（ 2 n + 1 ） 3^{n - 1}} ， S_{n}$ 为数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{n} < t$ 对任意 $n \in N^{*}$ 恒成立，则实数 $t$ 取值范围是.

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四、解答题

17. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， ▲ 从① $S_{n} = 2 a_{n} - 2$ ；② $S_{n} = 2^{n + 1} - 2$ ；③数列 ${a_{n}}$ 是各项和均为正数递增数列， $a_{n + 1}^{2} = a_{n + 2} \cdot a_{n}$ ， $a_{3} = 8 ， a_{2} ， a_{3} ， a_{4} - 4$ 成等差数列；这三个条件中任选一个，补充在上面的横线中，并解答以下两个问题.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = l o g_{2} a_{n}$ ，求数列 ${a_{2 n + 1} + b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$

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18. 已知函数 $\vec{a} = （ 2 ， \sqrt{3} ）， \vec{b} = (\sin^{2} (x + \frac{π}{6}) ， \sin (2 x + \frac{π}{3})) ， f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b} - 1$

(1)、求函数 $f (x)$ 的对称轴方程；

(2)、将函数 $f (x)$ 图象先向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，再将横坐标缩小为原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变），得到函数 $y = g (x)$ 的图象，当 $x \in [0 ， \frac{π}{4}]$ 时，求函数 $g (x)$ 的单调区间

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19. 如图在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD是矩形，AB=2BC=2，PC=PD，E为CD的中点，平面PCD⊥平面ABCD，

(1)、证明：PA⊥BE

(2)、若直线PA与平面ABCD所成角的正切值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，求二面角B-PD-C的平面角余弦值

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20. 已知函数 $f (x) = x - 2 \sin x ， g (x) = a e^{x}$

(1)、求函数 $f (x)$ 在区间 $(0 ， π)$ 的极值；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $点 (0 ， f (0))$ 处切线与函数 $g (x)$ 图象有两个交点，求实数 $a$ 的取值范围

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21. 福建省平潭综合实验区澳前68小镇的猴研岛，是祖国大陆距宝岛台湾最近的地方，直线距离仅68海里.为了更好地完善硬件设施提升小镇旅游面貌，68小镇管理处在水泥路边安装路灯，路灯的设计如图所示， $O M$ 为地面， $O A$ ､ $A B$ 为路灯灯杆， $O A ⊥ O M$ ， $∠ O A B = \frac{3 π}{4}$ ，在 $B$ 处安装路灯，路灯采用可旋转灯口方向的锥形灯罩，灯罩的照明张角 $∠ C B D = \frac{π}{4}$ ，已知 $O A = 6 \sqrt{2}$ ， $A B = 2$ ， $∠ A B C = θ$

(1)、若 $θ = \frac{π}{4}$ ，求此路灯在路面OM上的照明宽度 $C D$ ；

(2)、为了控制的路灯照明效果，令 $\tan θ \in [\frac{3}{4} ， \frac{4}{3}]$ ，求此路灯在路面OM上的照明宽度 $C D$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = \ln x + m x - x e^{n x}$

(1)、当 $n = 0$ 时，讨论函数 $f (x)$ 在区间 $(0 ， 3)$ 的单调性

(2)、当 $n = \frac{1}{3}$ 时，若 $\forall x \in (0 ， + \infty)$ ，都有 $f (x) \leq - 1$ 成立，求 $m$ 的取值范围.

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