北京市通州区2022届高三上学期数学期中质量检测试卷

试卷更新日期：2021-12-10 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 1 < x < 3}$ ， $B = {x | 0 < x < 4}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 1 ， 0)$ B、 $(0 ， 3)$ C、 $(3 ， 4)$ D、 $(- 1 ， 4)$

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2. 在复平面内，与复数 $\frac{1}{1 + i}$ 对应的点位于 ( )

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 下列函数中， $y$ 的最小值是2的是（）

A、 $y = x + \frac{1}{x}$ B、 $y = x - \ln x$ C、 $y = e^{x} - x + 1$ D、 $y = \cos x + \frac{1}{\cos x} (0 < x < \frac{π}{2})$

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4. 某单位有男职工56人，女职工42人，按性别分层，用分层随机抽样的方法从全体职工中抽出一个样本，如果样本按比例分配，男职工抽取的人数为16人，则女职工抽取的人数为（）

A、12 B、20 C、24 D、28

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5. 在 ${(x - 2)}^{5}$ 的展开式中， $x^{4}$ 的系数为（）

A、5 B、-5 C、10 D、-10

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6. 已知函数 $f (x) = \tan x$ ，则 $f^{'} (\frac{π}{4})$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、1 D、2

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7. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{3} = 9$ ， $S_{6} = 63$ ，则 $a_{7} + a_{8} + a_{9}$ 等于（）

A、63 B、71 C、99 D、117

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8. 若函数 $f (x)$ 的定义域是区间 $[a ， b]$ ，则“ $f (a) f (b) < 0$ ”是“函数 $f (x)$ 在区间 $(a ， b)$ 内存在零点”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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9. 中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学．某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每周安排一次讲座，共讲六次．讲座次序要求“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（）

A、408种 B、240种 C、192种 D、120种

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10. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (5) = 4$ ， $f (x + 3)$ 是偶函数， $\forall x_{1} ， x_{2} \in [3 ， + \infty)$ ，有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ，则（）

A、 $f (0) < 4$ B、 $f (1) = 4$ C、 $f (2) > 4$ D、 $f (3) < 0$

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二、填空题

11. 函数 $f (x) = \ln (x + 1) + \sqrt{x}$ 的定义域是．

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12. 关于 $x$ 的不等式 $- x^{2} + x + 42 > 0$ 的解集为

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13. 已知 $2^{x} = 3^{y} = a$ ，若 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1$ ，则 $a =$ ．

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14. 已知函数 $f (x) = \frac{\sin x}{\cos x - \sqrt{2}}$ ，则函数 $f (x)$ 的值域是．

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15. 设首项是1的数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n} = {\begin{matrix} a_{n - 1} + 1 ， n = 2 k ， k \in N^{*} ， \\ 2 a_{n - 1} + 1 ， n = 2 k + 1 ， k \in N^{*} ， \end{matrix}$ 则 $a_{3} =$ ；若 $S_{m} < 2021$ ，则正整数 $m$ 的最大值是．

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三、解答题

16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 12$ ， $A C =3 \sqrt{6}$ ， $B C =5 \sqrt{6}$ ，点 $D$ 在边 $B C$ 上，且 $∠ A D C = 60^{\circ}$ ．

(1)、求 $\cos C$ ；

(2)、求线段AD的长．

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17. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin x \cos x + \sin^{2} x - \cos^{2} x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间．

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18. 已知函数 $y = a x^{3} + b x^{2}$ ，当 $x = 1$ 时，有极大值3．

(1)、求 $a ， b$ 的值；

(2)、求函数y的极小值．

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19. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和是 $S_{n}$ ， ${b_{n}}$ 是各项均为正数的等比数列，且 $a_{1} = b_{1} = 1$ ， $a_{5} = 3 b_{2}$ ．在① $a_{3} + b_{3} = 14$ ，② $a_{1} b_{5} = 81$ ，③ $S_{4} = 4 S_{2}$ 这三个条件中任选一个，解下列问题：

(1)、分别求出数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = \frac{1}{(a_{n} + 3) \log_{3} 3 b_{n}}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分．

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20. 某蔬菜批发商分别在甲、乙两个市场销售某种蔬菜（两个市场的销售互不影响），已知该蔬菜每售出1吨获利500元，未售出的蔬菜降价处理，每吨亏损100元．现分别统计该蔬菜在甲、乙两个市场以往100个周期的市场需求量，制成频数分布条形图如下：

以市场需求量的频率代替需求量的概率．设批发商在下个销售周期购进 $n$ 吨该蔬菜，在甲、乙两个市场同时销售，以 $X$ （单位：吨）表示下个销售周期两个市场的总需求量， $T$ （单位：元）表示下个销售周期两个市场的销售总利润．

(1)、求变量 $X$ 概率分布列；

(2)、当 $n = 19$ 时，求 $T$ 与 $X$ 的函数解析式，并估计销售利润不少于8900元的概率；

(3)、以销售利润的期望作为决策的依据，判断 $n = 19$ 与 $n = 18$ 应选用哪一个．

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21. 设函数 $f (x) = e^{x} (a x^{2} + 1)$ ， $a > 0$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{3}{2} ， - \frac{1}{4})$ 单调，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、若函数 $f (x)$ 有极小值，求证： $f (x)$ 的极小值小于1．

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