“四省八校”2021-2022学年高三上学期理数期中质量检测考试试卷

试卷更新日期：2021-12-10 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $S = {x | x \leq - 3}$ ， $T = {x | x^{2} < - x}$ ，则 $(∁_{R} S) \cap T =$ （）

A、 ${x | x < - 3}$ B、 ${x | x > 1}$ C、 ${x | - 1 < x < 0}$ D、 ${x | - 3 < x < - 1}$

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2. 已知命题 $p$ ：设 $x_{0}$ 为实数， $\exists x_{0} > 0$ ， $\ln (x_{0} + 1) < 0$ ；，命题 $q$ ： $a$ ， $b$ 为实数，若 $a > | b |$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ ，则下列命题为真命题的是（）

A、 $p \land q$ B、 $\neg p \land \neg q$ C、 $p \lor q$ D、 $p \lor \neg q$

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3. 函数 $f (x) = \frac{a}{x - 1}$ （ $a \in R$ 且 $a \neq 0$ ），设甲： $f (x)$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上递减，乙： $a > 1$ ，则甲是乙的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知曲线 $y = x + \frac{\ln x}{k}$ 在点 $(1 ， 1)$ 处的切线与直线 $x + 2 y = 0$ 垂直，则 $k$ 的值为（）

A、1 B、-1 C、 $\frac{1}{2}$ D、- $\frac{1}{2}$

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5. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足 ${\begin{array}{l} 2 x - y \leq 0 \\ x - 3 y + 5 \geq 0 \\ x > 0 \\ y > 0 \end{array}$ ，则 $z = {(\frac{1}{4})}^{x} {(\frac{1}{2})}^{y}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{16}$ C、1 D、2

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6. 若 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 是方程 $\ln^{2} x - \ln a \ln x - \ln b = 0$ 的两个不相等的实数根，则 $x_{1} \cdot x_{2}$ 的值为（）

A、 $a$ B、 $b$ C、 $e^{a}$ D、 $e^{b}$

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7. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{m + n} = a_{m} + a_{n}$ 对任意 $m$ ， $n \in N^{*}$ 恒成立，且 $a_{1}$ 为常数，若 $S_{n}$ 是 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且 $S_{10} = 4$ ， $S_{100} - S_{90} = 30$ ，则 $S_{100} =$ （）

A、150 B、160 C、170 D、180

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8. 已知 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{6}) + \cos ω x$ （ $ω > 0$ ），将 $f (x)$ 图象上的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变时），得到 $g (x)$ 的图象． $g (x)$ 的部分图象如图所示（ $D$ 、 $C$ 分别为函数的最高点和最低点）：其中 $\vec{C A} \cdot \vec{C B} = \frac{{| \vec{A D} |}^{2}}{2}$ ，则 $ω =$ （）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、π D、2π

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9. 若倾斜角为锐角的直线 $L ： y = k x + \sqrt{2} + 1$ 与圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y - 2 = 0$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，当三角形 $A B C$ 的面积最大时，直线 $L$ 的斜率为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{2} + 1$ D、1

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10. 过双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的右焦点 $F$ 作双曲线渐近线的垂线段 $F M$ ，垂足为 $M$ ，线段 $F M$ 与双曲线交于点 $A$ ，且满足 $\vec{F A} = 2 \vec{A M}$ ，则双曲线离心率 $e$ 等于（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$

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11. 若 $n > 3$ 且 $n \in N$ ，则下列选项中正确的是（）

A、 $\log_{n} (n + 1) < \log_{n + 1} (n + 2)$ B、 ${(\frac{n + 1}{n})}^{n} > {(\frac{n + 2}{n + 1})}^{n + 1}$ C、 $n \cdot \sin \frac{2 π}{n} < (n + 1) \cdot \sin \frac{2 π}{n + 1}$ D、 $\frac{n^{n} + 1}{n^{n + 1} + 1} < \frac{n^{n + 1} + 1}{n^{n + 2} + 1}$

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二、多选题

12. 已知实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $a > b > 1 > c > 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $c^{a} > c^{b}$ B、 $\log_{a} c > \log_{b} c$ C、 $\log_{\frac{1}{3}} a < a^{\frac{1}{3}}$ D、 $a^{\frac{2}{3}} < b^{\frac{2}{3}}$

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三、填空题

13. 已知 $\tan (π + θ) = 2$ ，则 $\sin (2 θ + \frac{π}{4}) =$ ．

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14. 已知向量 $\vec{a} = (x ， 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， - 2)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $| \vec{a} - 2 \vec{b} | =$ ．

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15. 已知函数 $f (x)$ 在区间 $M$ 上有定义，如果对于任意的 $x_{1}$ 、 $x_{2} \in M$ ，都有 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \geq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ ，则称 $f (x)$ 为上凸函数，若 $f (x)$ 为上凸函数，则 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \geq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2} \Leftrightarrow f (\frac{x_{1} + x_{2} + \cdot \cdot \cdot + x_{n}}{n})$ $\geq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2}) + \cdot \cdot \cdot f (x_{n})}{n}$ （ $n$ 为任意大于 $2$ 的正整数），① $f (x) = \sin x$ 在 $(0 ， π)$ 上为上凸函数；②在 $△ A B C$ 中， $\sin A + \sin B + \sin C \geq \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ；③ $f (x) = \ln x$ 为上凸函数；④ $\frac{n + 1}{2} > \sqrt[n]{n}$ （ $n \geq 2$ ， $n \in N$ ）．上述四个命题为真命题的为．

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16. 过点 $M (- 1 ， 2)$ 作抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的两条切线，切点分别为 $A$ 、 $B$ 两点，则 $A B$ 的中点到抛物线准线的距离为．

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四、解答题

17. 1.已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别是 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边， $3 a (b \cos A + a \cos B) = 4 (c \cos A + a \cos C) c$ ，再从下面条件①与②中任选1个作为已知条件，完成以下问题．

(1)、证明： $△ A B C$ 为锐角三角形；

(2)、若 $\vec{C A} \cdot \vec{C B} = 8$ ， $C D$ 为 $△ A B C$ 的内角平分线，且与 $A B$ 边交于 $D$ ，求 $C D$ 的长．
① $\cos C = \frac{2}{3}$ ；② $\cos A = \frac{1}{9}$ ．

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18. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = 3 S_{n} + 1$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $a_{1} = b_{1}$ ，点 $P (b_{n} ， b_{n + 1})$ 在直线 $x - y + 2 = 0$ 上， $n \in N^{*}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $C_{n} = a_{n} b_{n}$ ，求数列 ${C_{n}}$ 的前 $n$ 项和．

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19. 在直角坐标系 $x o y$ 中，椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左右焦点分别为 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ ，若 $A$ 为椭圆上动点，直线 $A F_{2}$ 与椭圆交于另一点 $B$ ，若三角形 $A B F_{1}$ 的周长为为8，且点 $(1 ， - \frac{3}{2})$ 在椭圆上．

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、设直线 $F_{1} A$ 、 $F_{1} B$ 与直线 $x = 4$ 分别交于点 $M$ 、 $N$ ，记直线 $M F_{2}$ 和直线 $N F_{2}$ 的斜率分别为 $k_{1}$ 和 $k_{2}$ ，若 $k_{1} k_{2} = \frac{5}{4}$ ，试求直线 $A B$ 的斜率．

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 2 x + m$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若存在区间 $[a ， b]$ ，使得 $f (x)$ 的值域为 $[\frac{a^{3}}{3} + 4 \ln (a + 1) ， \frac{b^{3}}{3} + 4 \ln (b + 1)]$ ，求实数 $m$ 的取值范围．

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} + x \ln x - k {(x + 1)}^{2} - x + 1$ ．

(1)、证明： $e^{x} \geq e x$

(2)、若对任意 $x > 0$ 都有 $f (x) \geq 0$ ，求 $k$ 的最大值．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 以中，直线 $l_{1}$ ： $x = 0$ ，圆 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + \cos α \\ y = 1 + \sqrt{2} + \sin α \end{array}$ ， $α$ 为参数，以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)、求直线 $l_{1}$ 和圆 $C$ 的极坐标方程；

(2)、若直线 $l_{2}$ 的极坐标方程为 $θ = \frac{π}{4}$ （ $ρ \in R$ ），设 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 与圆 $C$ 的公共点分别为 $A$ ， $B$ ，求 $| A B |$ 的值．

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23. 设函数 $f (x) = | 2 x - 1 | + | x + 1 |$ ．

(1)、求不等式 $f (x) < 3$ 的解集；

(2)、设 $a$ ， $b$ 是两正实数，若函数 $f (x)$ 的最小值为 $m$ ，且 $a + 2 b = m$ ．求证： $\sqrt{a} + \sqrt{2 b} \leq \sqrt{3}$ ．

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