湘教版初中数学九年级上学期期末复习专题12 正弦和余弦

试卷更新日期：2021-12-10 类型：复习试卷

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一、单选题

1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，那么∠B的余弦值是（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{4}{3}$

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2. 在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，则锐角A的三角函数值（）

A、也扩大3倍 B、缩小为原来的 $\frac{1}{3}$ C、都不变 D、有的扩大，有的缩小

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3. 如图，边长为10的等边 $△ A B C$ 中，点 $D$ 在边 $A C$ 上，且 $A D = 3$ ，将含30°角的直角三角板（ $∠ F = 30 °$ ）绕直角顶点 $D$ 旋转， $D E$ 、 $D F$ 分别交边 $A B$ 、 $B C$ 于 $P$ 、 $Q$ .连接 $P Q$ ，当 $E F / / P Q$ 时， $D Q$ 长为（）

A、6 B、 $\sqrt{39}$ C、10 D、 $6 \sqrt{3}$

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4. 如图，△ABC中，cosB $= \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，sinC $= \frac{3}{5}$ ，AC＝5，则△ABC的面积是（）

A、 $\frac{21}{2}$ B、12 C、14 D、21

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5. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是CD边上的一点，点F是点D关于直线AE对称的点，连接AF、BF，若tan∠ABF＝2，则DE的长是（）

A、1 B、 $\frac{6}{5}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{5}{3}$

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6. 如图，点A、B、C均在小正方形的顶点上，且每个小正方形的边长均为1，则cos∠BAC的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

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7. 在△ABC中，若|sinA- $\frac{1}{2}$ |+( $\frac{\sqrt{2}}{2}$ -cosB)²=0，则∠C的度数是（）

A、45° B、75° C、105° D、120°

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8. 如图是一张高脚木凳，AC∥EF∥GH，AB=CD，点E，G是AB的三等分点，已知EF与GH之间的距离为25cm，∠EGH=80°，则椅脚AB的长度为 cm（）

A、 $\frac{25}{\sin 80 °}$ B、75sin80° C、 $\frac{75}{\sin 80 °}$ D、 $\frac{75}{\tan 80 °}$

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9. 已知 $△ A B C$ 是锐角三角形，若 $A B > A C$ ，则（）

A、 $\sin A < \sin B$ B、 $\sin B < \sin C$ C、 $\sin A < \sin C$ D、 $\sin C < \sin A$

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10. 已知在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ B = α$ ， $A C = 2$ ，则 $A B$ 的长为（）

A、 $\frac{2}{\sin α}$ B、 $2 \sin α$ C、 $\frac{2}{\cos α}$ D、 $2 \cos α$

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11. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），那么cosα的值是（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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12. 西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表.如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC高为a.已知，冬至时北京的正午日光入射角∠ABC约为26.5°，则立柱根部与圭表的冬至线的距离(即BC的长)约为（　）

A、 $\frac{a}{\tan 26.5 °}$ B、asin26.5° C、acos26.5° D、 $\frac{a}{\cos 26.5 °}$

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二、填空题

13. 在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，若cos∠BAD= $\frac{2}{3}$ ，BD= $\sqrt{5}$ ，则CD的长为．

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14. 在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，若cos∠BAD= $\frac{2}{3}$ ，BD= $\sqrt{5}$ ，则CD为

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15. 如图，在边长为6的等边△ABC中，点D在边AB上，且AD＝2，长度为1的线段PQ在边AC上运动，则线段DP的最小值为，四边形DPQB面积的最大值为．

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16. 如图，已知在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 6$ ， $\sin B = \frac{3}{5}$ ，点 $D$ 在边 $B C$ 上，将 $△ A B C$ 沿着过点 $D$ 的一条直线翻折，使点 $B$ 落在边 $A B$ 上的点 $E$ 处，连结 $C E$ ， $D E$ ，若 $∠ B D E = ∠ A E C$ ，则 $B E$ 的长是.

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17. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，AD=3，AB=5， $\sin A = \frac{4}{5}$ ，将 $▱ A B C D$ 绕着点B顺时针旋转 $θ (0 ° < θ < 90 °)$ 后，点A的对应是点 $A'$ ，联结 $A' C$ ，如果 $A' C ⊥ B C$ ，那么 $\cos θ$ 的值是．

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18. 如图，O是坐标原点，边长为2的菱形OABC的顶点C在x轴的负半轴上，cos∠AOC＝ $\frac{1}{2}$ ，函数 $y = \frac{k}{x} (x < 0)$ 的图象经过顶点B，则k的值为.

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三、作图题

19. 如图，在平面直角坐标系中，已知 $△ A B C$ 三个顶点的坐标分别是 $A (2 ， 2)$ ， $B (4 ， 0)$ ， $C (4 ， - 4)$ .

（ 1 ）画出 $△ A B C$ 向左平移6个单位长度后得到的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

（ 2 ）以点 $O$ 为位似中心，将 $△ A B C$ 缩小为原来的 $\frac{1}{2}$ ，得到 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，请在y轴右侧画出 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，并直接写 $\sin ∠ A_{2} C_{2} B_{2}$ 的值.

（不写解答过程，直接写结果，保留作图痕迹.）

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四、解答题

20. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 12$ ， $B C = 5$ ．求 $∠ A$ 的三个三角函数值．

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21. 已知：如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于E，BE＝16cm， $\sin A = \frac{12}{13} \cdot$
求此菱形的周长．

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五、综合题

22. 如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，∠B＝45°，tan∠ACB＝3，AC＝ $\sqrt{10}$ .
求：

(1)、△ABC的面积；

(2)、sin∠ACD的值．

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23. 我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图①，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA $= \frac{底边}{腰} = \frac{B C}{A B}$ ，容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：

(1)、sad60°＝， sad120°＝

(2)、如图②，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，已知sinA $= \frac{3}{5}$ ，试求sadA的值．

(3)、直线y $= - \frac{2}{3}$ x+6与x轴，y轴分别交于点A，B，点M，N分别在线段AB，OA上，且△MON是等腰三角形，设△MON的顶角为θ，当sadθ $= \frac{6}{5}$ 时，求点M的坐标．（请直接㝍出结果）

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24.

(1)、计算：3tan30°-(cos60°)^-1+ $\sqrt{8}$ cos45°+ $\sqrt{(1 - \tan 60 °)}$

(2)、先化简，再求代数式 $(1 - \frac{2}{x + 1}) \div \frac{x^{2} - 1}{2 x + 2}$ 的值，其中x=4cos30°-tan45°

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