湘教版初中数学九年级上学期期末复习专题8 相似图形

试卷更新日期：2021-12-10 类型：复习试卷

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一、单选题

1. 四边形ABCD相似四边形A'B'C'D'，且AB：A'B'=1：2，已知BC=8，则B'C'的长是（）

A、4 B、16 C、24 D、64

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2. 下列图形中不一定是相似图形的是（）

A、两个等边三角形 B、两个顶角相等的等腰三角形 C、两个等腰直角三角形 D、两个矩形

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3. 如图，一张矩形纸片沿它的长边AD对折（折痕为EF），得到两个全等的小矩形，若小矩形与原来的矩形相似，那么原来矩形的长边与短边之比为（）

A、1：1 B、 $\sqrt{2}$ ：1 C、 $\sqrt{3}$ ：1 D、2：1

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4. 若四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，AB与A′B′，AD与A′D′分别是对应边，AB＝8cm，A′B′＝6cm，AD＝5cm，则A′D′等于（）

A、 $\frac{15}{2}$ cm B、 $\frac{15}{4}$ cm C、 $\frac{20}{3}$ cm D、 $\frac{48}{5}$ cm

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5. 用一个2倍放大镜照菱形ABCD，下面说法中，错误的是（）

A、放大后，边长是原来的2倍 B、放大后，∠B的大小是原来的2倍 C、放大后，周长是原来的2倍 D、放大后，面积是原来的4倍

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6. 如图，一块矩形绸布的长AB＝am，宽AD＝2m，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即 $\frac{A E}{A D} = \frac{A D}{A B}$ ，那么a的值为（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{6}$

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7. 若两个相似多边形的面积比为25：36则它们的对应边的比是（　　）

A、5：6 B、6：5 C、25：36 D、36：25

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8. 如图，矩形EFGH的四个顶点分别在菱形ABCD的四条边上，BE=BF，将△AEH， △CFG分别沿EH，FG折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD面积的 $\frac{1}{16}$ 时，则 $\frac{A E}{E B}$ 为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、2 C、 $\frac{5}{3}$ D、4

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9. 如图，矩形EFGH的四个顶点分别在菱形ABCD的四条边上，BE＝BF.将△AEH，△CFG分别沿边EH，FG折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD面积的 $\frac{1}{16}$ 时，则 $\frac{A E}{E B}$ 为（　　）

A、 $\frac{5}{3}$ B、2 C、 $\frac{5}{2}$ D、4

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10. 如图，一张长为a宽为b的矩形纸片（a>b），将纸片沿较长边的中点对折，得到的两个小矩形都和原来的矩形相似，则a：b的值是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

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二、填空题

11. 复印纸型号多样，而各型号复印纸之间存在这样的关系：将其中一型号纸张（如A3纸）沿较长边中点的连线对折，就能得到下一型号（A4纸）的纸张，且对折得到的两个矩形和原来的矩形相似（即A3纸与A4纸相似），则这些型号的复印纸宽与长之比为．

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12. 如图，一张矩形纸片ABCD的长AB=a，宽BC=b．将纸片对折，折痕为EF，所得矩形AFED与矩形ABCD相似，则 $\frac{a}{b}$ 的值为

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13. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若四边形EFGH与四边形ABCD相似，则四边形EFGH的面积是．

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14. 如图，在平面直角坐标系中，点 $A$ 是反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象在第一象限上的一点，连结 $O A$ 并延长使 $A B = O A$ ，过点 $B$ 作 $B C / / x$ 轴，交反比例函数图象于点 $C$ ，交 $y$ 轴于点 $D$ .连结 $A C$ ，且 $Δ A B C$ 的面积为 $2$ ，则 $k$ 的值为.

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15. 如图（1），将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形 $A F B D C E$ ，它的面积为1；取 $△ A B C$ 和 $△ D E F$ 各边中点，连接成正六角星形 $A_{1} F_{1} B_{1} D_{1} C {}_{1}E_{1}$ ，如图（2）中阴影部分；取 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 和 $△ D_{1} E_{1} F_{1}$ 各边中点，连接成正六角星形 $A_{2} F_{2} B_{2} D_{2} C {}_{2}E_{2}$ ，如图（3）中阴影部分；如此下去……，则正六角星形 $A_{4} F_{4} B_{4} D_{4} C_{4} E_{4}$ 的面积为 .

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16. 已知平行四边形 $A B C D$ 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点 $D$ 的坐标为 $(- 12 ， 9)$ ，点 $A$ 的坐标为 $(- 15 ， 0)$ ．以 $B$ 为位似中心，作平行四边形 $A B C D$ 的位似图形平行四边形 $E B F G$ ，位似图形与原图形的位似比为 $2 ： 3$ ，点 $C$ 的对应点为点 $F$ ，则点 $F$ 的坐标为．（写出一个即可）

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三、解答题

17. 学生会要举办一个校园书画艺术展览会，为国庆献礼，小华和小刚准备将长AD为400cm，宽AB为130cm的矩形作品四周镶上彩色纸边装饰，如图所示，两人在设计时要求内外两个矩形相似，矩形作品面积是总面积的 $\frac{25}{36}$ ，他们一致认为上下彩色纸边要等宽，左右彩色纸边要等宽，这样效果最好，请你帮助他们设计彩色纸边宽度.

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18. 如图，点 $E$ 是菱形 $A B C D$ 对角线 $C A$ 的延长线上任意一点，以线段 $A E$ 为边作一个菱形 $A E F G$ ，且菱形 $A E F G ∽$ 菱形 $A B C D$ ，连接 $E B ， G D$ ，求证： $G D = E B$ .

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19. 如图，四边形 $A B C D ∽$ 四边形 $A' B' C' D'$ ，求边 $x$ 、 $y$ 的长度和角 $α$ 的大小．

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四、综合题

20. 探究：是否存在一个新矩形，使其周长和面积为原矩形的2倍、 $\frac{1}{2}$ 倍、k倍．

(1)、若该矩形为正方形，是否存在一个正方形，使其周长和面积都为边长为2的正方形的2倍？（填“存在”或“不存在”）．

(2)、继续探究，是否存在一个矩形，使其周长和面积都为长为3，宽为2的矩形的2倍？
同学们有以下思路：

①设新矩形长和宽为x、y ，则依题意 $x + y = 10$ ， $x y = 12$ ，

联立 ${\begin{array}{l} x + y = 10 \\ x y = 12 \end{array}$ 得 $x^{2} - 10 x + 12 = 0$ ，再探究根的情况：

根据此方法，请你探究是否存在一个矩形，使其周长和面积都为原矩形的 $\frac{1}{2}$ 倍；

②如图也可用反比例函数与一次函数证明 $l_{1}$ ： $y = - x + 10$ ， $l_{2}$ ： $y = \frac{12}{x}$ ，那么，

a ．是否存在一个新矩形为原矩形周长和面积的2倍？

b ．请探究是否有一新矩形周长和面积为原矩形的 $\frac{1}{2}$ ，若存在，用图像表达；

c ．请直接写出当结论成立时k的取值范围：．

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21. 如图，已知矩形 $O A B C$ 的顶点 $B (- 8 ， 6)$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上，点 $A$ 在 $x$ 轴上，点 $C$ 在 $y$ 轴上，点 $P$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上，其横坐标为 $a (a < - 8)$ ，过点 $P$ 作 $P E ⊥ x$ 轴于点 $E$ ， $P F ⊥ y$ 轴于点 $F$ ，交 $A B$ 于点 $G$ ．

(1)、求反比例函数的解析式；

(2)、若四边形 $P E A G$ 为正方形，求点 $P$ 的坐标；

(3)、连接 $O P$ 交 $A B$ 于点 $M$ ，若 $B M ： M A = 3 ： 2$ ，求四边形 $P E A M$ 与四边形 $B M O C$ 的面积比．

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22. 如图，矩形 $O B C D$ 的一个顶点与原点重合，两边分别在坐标轴上，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象与该矩形相交于 $E$ ， $F$ 两点，以这两点为顶点作矩形 $C E A F$ ，我们约定这个矩形 $C E A F$ 为反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的“相伴矩形”．

(1)、已知点 $C$ 的坐标为 $(8 ， 6)$ ， $B E = 2$ ．
①求点 $F$ 的坐标；

②求证：“相伴矩形” $C E A F$ 与原矩形 $O B C D$ 相似．

(2)、在矩形 $O B C D$ 中， $O B = 2 k$ ， $O D = 3 k$ ，反比例函数 $y = \frac{2 k^{2}}{x}$ 交 $B C$ 于点 $E$ ， $B E = k$ ，以 $C E$ 为边作矩形 $C E A F ∽$ 矩形 $C B O D$ ．
求证：矩形 $C E A F$ 是反比例函数 $y = \frac{2 k^{2}}{x}$ 的“相伴矩形”

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