高中数学人教A版（2019）选修二第四章数列

试卷更新日期：2021-12-09 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{3} + a_{4} = 19$ ， $S_{8} = 100$ ，则 ${a_{n}}$ 的公差为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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2. 设 ${a_{n}}$ 是等比数列，且 $a_{5} - a_{3} = 12$ ， $a_{6} - a_{4} = 24$ ，则 $a_{n} =$ （）

A、 $2^{n} - 1$ B、 $2^{1 - n}$ C、 $2^{n - 1}$ D、 $2^{1 - n}$

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3. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{6} = 11$ ， $S_{9} = 17$ ，则 $S_{15} =$ （）

A、15 B、23 C、28 D、30

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4. 等差数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和分别记为 $S_{n}$ 与 $T_{n}$ ，若 $\frac{S_{2 n}}{T_{n}} = \frac{8 n}{3 n + 5}$ ，则 $\frac{a_{2} + a_{9}}{b_{3}} =$ （）

A、 $\frac{12}{7}$ B、 $\frac{32}{17}$ C、 $\frac{16}{7}$ D、2

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5. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = a_{2} = 1$ ， $a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n} (n \in N^{*})$ ．记 $S_{n}$ 为数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 的前n项和，则（）

A、 $\frac{5}{2} < S_{2021} < 3$ B、 $3 < S_{2021} < \frac{7}{2}$ C、 $\frac{7}{2} < S_{2021} < 4$ D、 $4 < S_{2021} < \frac{9}{2}$

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6. 已知数列{an}满足：a1＝1， $a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{a_{n} + 2}$ (n∈N*)．若 ${}^{b}n ＋ 1 ＝ (n － 2 λ) (\frac{1}{a_{n}} + 1)$ (n∈N*)，b1＝－ $\frac{3}{2}$ λ，且数列{bn}是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（）

A、λ< $\frac{4}{5}$ B、λ<1 C、λ< $\frac{3}{2}$ D、λ< $\frac{2}{3}$

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7. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，公差为 $d$ ．已知 $a_{3} = 12$ ， $S_{10} > 0$ ， $a_{6} < 0$ ，则选项不正确的是（）

A、数列 ${\frac{S_{n}}{a_{n}}}$ 的最小项为第6项 B、 $- \frac{24}{5} < d < - 4$ C、 $a_{5} > 0$ D、 $S_{n} > 0$ 时， $n$ 的最大值为5

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8. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n} = 2^{n} - 1 (n \in N^{*})$ ，则 $a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{n}^{2}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{3} (4^{n} - 1)$ B、 $\frac{1}{3} (2^{n} - 1)$ C、 $4^{n} - 1$ D、 ${(2^{n} - 1)}^{2}$

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二、多选题

9. 设数列 ${a_{n}}$ 是公差为 $d$ 等差数列， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和， $a_{1} > 0$ ，且 $S_{6} = S_{9}$ ，则（）

A、 $d < 0$ B、 $a_{8} = 0$ C、 $S_{6} < S_{5}$ D、 $S_{7}$ ， $S_{8}$ 为 $S_{n}$ 的最大值

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10. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{8} = 31$ ， $S_{10} = 210$ ，则（）

A、 $S_{19} = 19 a_{9}$ B、数列 ${2^{a_{2 n}}}$ 是公比为8的等比数列 C、若 $b_{n} = {(- 1)}^{n} \cdot a_{n}$ ，则数列 ${b_{n}}$ 的前2020项和为4040 D、若 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，则数列 ${b_{n}}$ 的前2020项和为 $\frac{2020}{24249}$

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11. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 0$ ， $e^{a_{n + 1} + a_{n}} = e^{a_{n}} + 1 (n \in N^{*})$ ，前n项和为 $S_{n}$ ，则下列选项中正确的是（）（参考数据： $\ln 2 \approx 0.693$ ， $\ln 3 \approx 1.099$ ）

A、 $a_{n} + a_{n + 1} \geq \ln 2$ B、 $S_{2020} < 666$ C、 $\ln \frac{3}{2} \leq a_{n} \leq \ln 2 (n \geq 2)$ D、 ${a_{2 n - 1}}$ 是单调递增数列， ${a_{2 n}}$ 是单调递减数列

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12. 在数列 ${a_{n}}$ 中，若 $\sqrt{a_{n}} - \sqrt{a_{n - 1}} = p$ （ $n \geq 2$ ， $n \in N^{*}$ ， $p$ 为常数），则称数列 ${a_{n}}$ 为“开方差数列”，则下列判断正确的是（）

A、 ${3^{2 n}}$ 是开方差数列 B、若 ${a_{n}}$ 是开方差数列，则 ${a_{n}}$ 是等差数列 C、若 ${a_{n}}$ 是开方差数列，则 ${a_{k n}}$ 也是开方差数列（ $k \in N^{*}$ ， $k$ 为常数） D、若 ${a_{n}}$ 既是开方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列

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三、填空题

13. 数列 ${a_{n}}$ 的前五项是 $1 ， 2 ， \sqrt{7} ， \sqrt{10} ， \sqrt{13}$ ，则 ${a_{n}}$ 的一个通项公式为．

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = \frac{2 a_{n}}{a_{n} + 2}$ ，则 $a_{5}$ 的值为．

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15. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $3 a_{4} - a_{6} + 3 a_{8} = 15$ ，则 $S_{11} =$ ．

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16. 记 $S_{n}$ 为等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项，若 $a_{1} = 2$ 且 $3 S_{1} 、 2 S_{2} 、 S_{3}$ 成等差数列，则 $S_{10}$ ．

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四、解答题

17. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2^{n + 1} + a$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足： $b_{n + 1} - b_{n} = \log_{2} a_{n} + 1$ ， $b_{1} = 1$ ，求 ${\frac{1}{b_{n}}}$ 的前 $n$ 项和.

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18. 设 ${a_{n}}$ 是公比大于0的等比数列，其前n项和为 $S_{n}$ ， ${b_{n}}$ 是公差为1的等差数列，已知 $a_{2} = 2$ ， $a_{4} = a_{3} + 4$ ， $a_{3} = b_{3} + b_{1}$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${a_{n} + b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{n}$ ．

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19. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 2$ ，且 $S_{6} = 3 S_{3} + a_{3}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记数列 ${\frac{a_{n}}{2^{n + 1}}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，求数列 ${(2 - T_{n}) a_{n}}$ 中最大项的值．

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n - 1} = a_{n} (3 a_{n - 1} + 1)$ （ $n \geq 2$ ， $n \in N^{*}$ ），且 $a_{2} = - 1$ ， $a_{n} \neq 0$ ．

(1)、证明数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 为等差数列，并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = {(- 1)}^{n} \cdot \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ ，求 $b_{n}$ 的最小值．

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1 ， a_{n}_{+ 1} = 2 a_{n} + 1$ .

(1)、证明 ${a_{n} + 1}$ 是等比数列，并求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 落入区间 $(10 ， 2021)$ 的所有项的和.

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22. 已知 ${a_{n}}$ 为等比数列， $a_{1} + a_{2} = 4$ ，记数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = \log_{3} a_{n + 1}$ ，且 $b_{n + 1} - b_{n} = 1$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、对任意的正整数 $n$ ，设 $c_{n} = {\begin{array}{l} \frac{(2 - 8 b_{n}) a_{n}}{b_{n} b_{n + 2}} ， n 为奇数 \\ a_{n} b_{n} ， n 为偶数 \end{array}$ ，求 ${c_{n}}$ 的前 $2 n$ 项的和 $S_{2 n}$ .

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一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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