2021-2022学年浙教版数学八下第一章二次根式优生综合题特训

试卷更新日期：2021-12-09 类型：复习试卷

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一、综合题

1. 先阅读下列的解答过程，然后再解答：
形如 $\sqrt{m \pm 2 \sqrt{n}}$ 的化简，只要我们找到两个正数a、b，使 $a + b = m$ ， $a - b = 72$ ，使得 ${(\sqrt{a})}^{2} + {(\sqrt{b})}^{2} = m$ ， $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{n}$ ，那么便有：

$\sqrt{m \pm 2 \sqrt{n}} = \sqrt{{(\sqrt{a} \pm \sqrt{b})}^{2}} = \sqrt{a} \pm \sqrt{b} (a > b)$

例如：化简 $\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$

解：首先把 $\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$ 化为 $\sqrt{7 + 2 \sqrt{12}}$ ，这里 $m = 7$ ， $n = 12$ ，由于 $4 + 3 = 7$ ， $4 \times 3 = 12$

即 ${(\sqrt{4})}^{2} + {(\sqrt{3})}^{2} = 7$ ， $\sqrt{4} \times \sqrt{3} = \sqrt{12}$

∴ $\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} = \sqrt{7 + 2 \sqrt{12}} = \sqrt{{(\sqrt{4} + \sqrt{3})}^{2}} = 2 + \sqrt{3}$

(1)、填空： $\sqrt{6 - 2 \sqrt{5}}$ = ， $\sqrt{10 + 4 \sqrt{6}}$ = ；

(2)、化简： $\sqrt{29 - 8 \sqrt{13}}$ ．

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2. 观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：
化简： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1)} = \frac{\sqrt{2} - 1}{{(\sqrt{2})}^{2} - 1} = \frac{\sqrt{2} - 1}{1} = \sqrt{2} - 1$ ，

则 $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ ， $\frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} = \sqrt{4} - \sqrt{3}$ ， $\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{4}} = \sqrt{5} - \sqrt{4} \dots$

(1)、请直接写出下列式子的值： $\frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}} =$ ； $\frac{1}{\sqrt{100} + \sqrt{99}} =$ ．

(2)、请利用材料给出的结论，计算： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{100} + \sqrt{99}}$ 的值；

(3)、请利用材料提供的方法，计算 $\frac{1}{\sqrt{3} + 1} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{101} + \sqrt{99}}$ 的值．

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3. 三角形的周长为 $(5 \sqrt{5} + 2 \sqrt{10}) cm$ ，面积为 $(20 \sqrt{6} + 4 \sqrt{5}) {cm}^{2}$ ，已知两边的长分别为 $\sqrt{45} cm$ 和 $\sqrt{40} cm$ ，求：

(1)、第三边的长；

(2)、第三边上的高．

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4. 现有一组有规律的数： $1$ ， $- 1$ ， $\sqrt{2}$ ， $- \sqrt{2}$ ， $\sqrt{3}$ ， $- \sqrt{3}$ ， $1$ ， $- 1$ ， $\sqrt{2}$ ， $- \sqrt{2}$ ， $\sqrt{3}$ ， $- \sqrt{3}$ ， $\cdot \cdot \cdot$ ，其中 $1$ ， $- 1$ ， $\sqrt{2}$ ， $- \sqrt{2}$ ， $\sqrt{3}$ ， $- \sqrt{3}$ 这六个数按此规律重复出现.

(1)、求第 $15$ 个数和第 $16$ 个数的和；

(2)、从第 $1$ 个数起，把连续若干个数的平方相加起来，如果和为 $360$ ，那么一共是多少个数的平方相加？

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5. 计算

(1)、 $\frac{\sqrt{6} \times \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

(2)、 $\sqrt{12} - \sqrt{27} + \sqrt{75}$

(3)、 $\sqrt{24} + 6 \sqrt{\frac{1}{6}}$

(4)、 $2 \sqrt{12} \times \frac{\sqrt{3}}{4} + \sqrt[3]{- 27}$

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6. 先化简，再求值： $a + \sqrt{1 - 2 a + a^{2}}$ ，其中a＝2020．如图是小亮和小芳的解答过程．

(1)、的解法是错误的，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：；

(2)、先化简，再求值： $a + 2 \sqrt{a^{2} - 6 a + 9}$ ，其中a＝﹣2；

(3)、有理数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示，化简 $\sqrt{a^{2}} + \sqrt{b^{2}} - \sqrt{c^{2}} - \sqrt{{(a - b)}^{2}} + \sqrt{{(a - c)}^{2}}$ ．

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7. 观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题：
$\frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \sqrt{2} - 1$ ，

$\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ ，

$\frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} = \sqrt{4} - \sqrt{3}$ ，

$\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{4}} = \sqrt{5} - \sqrt{4}$ ，……

(1)、 $\sqrt{7} + \sqrt{6}$ 的倒数是．

(2)、请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律（不必证明）；

(3)、利用上面的结论，求下列式子的值： $(\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2021} + \sqrt{2020}}) \cdot (\sqrt{2021} + 1)$ ．

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8. 阅读下列材料，然后回答问题，在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 $\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ 一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
$\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2 \times (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{{(\sqrt{3})}^{2} - 1^{2}} = \sqrt{3} - 1$ ①

以上这种化简的步骤叫做分母有理化．

$\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ 还可以用以下方法化简：

$\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{3 - 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{{(\sqrt{3})}^{2} - 1^{2}}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)}{\sqrt{3} + 1} = \sqrt{3} - 1$ ②

(1)、请参照①②的方法用两种方法化简： $\frac{2}{\sqrt{7} + \sqrt{5}}$

(2)、直接写出化简结果： $\frac{2}{\sqrt{13} + \sqrt{11}} =$ ； $\frac{2}{\sqrt{15} + \sqrt{13}} =$ ．

(3)、计算： $\frac{3}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} + \frac{3}{\sqrt{8} + \sqrt{5}} + \frac{3}{\sqrt{11} + \sqrt{8}} + \dots + \frac{3}{\sqrt{32} + \sqrt{29}} + \frac{3}{\sqrt{35} + \sqrt{32}}$

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9. 阅读下列材料，然后回答问题：
在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如 $\frac{5}{\sqrt{3}}$ 、 $\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ 这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： $\frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{5}{3} \sqrt{3}$ ； $\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2 \times (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)} = \frac{2 \times (\sqrt{3} - 1)}{{(\sqrt{3})}^{2} - 1} = \sqrt{3} - 1$ .

以上这种化简过程叫做分母有理化.

$\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ 还可以用以下方法化简： $\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{3 - 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{{(\sqrt{3})}^{2} - 1^{2}}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)}{\sqrt{3} + 1} = \sqrt{3} - 1$ .

(1)、请用其中一种方法化简 $\frac{4}{\sqrt{15} - \sqrt{11}}$ ；

(2)、化简： $\frac{2}{\sqrt{3} + 1} + \frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{2}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} + \dots + \frac{2}{\sqrt{99} + \sqrt{97}}$ .

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10. 阅读材料：
黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌.这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比.

在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”.如： $(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3}) = 1$ ， $(\sqrt{5} + \sqrt{2}) (\sqrt{5} - \sqrt{2}) = 3$ ，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样理解：如： $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ， $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = \frac{(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = 7 + 4 \sqrt{3}$ .像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化.

解决问题：

(1)、 $4 - \sqrt{7}$ 的有理化因式可以是， $\frac{3}{2 \sqrt{3}}$ 分母有理化得.

(2)、计算：
①已知 $x = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}$ ， $y = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}$ ，求 $x^{2} + y^{2}$ 的值；

② $\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{\sqrt{1999} + \sqrt{2000}}$ .

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11. 先阅读下列解答过程，再解答．

(1)、形如 $\sqrt{m \pm 2 \sqrt{n}}$ 的化简，只要我们找到两个数 $a$ 、 $b$ ，使 $a + b = m$ ， $a b = n$ ，
即 ${(\sqrt{a})}^{2} + {(\sqrt{b})}^{2} = m$ ， $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{n}$ ，那么便有： $\sqrt{m \pm 2 \sqrt{n}} = \sqrt{{(\sqrt{a} \pm \sqrt{b})}^{2}} = \sqrt{a} \pm \sqrt{b} (a > b)$ ．

例如：化简 $\sqrt{8 + 2 \sqrt{15}}$ ．

解：只要我们找到两个数 $a$ 、 $b$ ，使 $a + b = m$ ， $a b = n$ ，这里 $m = 8$ ， $n = 15$ ，

由于 $5 + 3 = 8$ ， $5 \times 3 = 15$ ，

即 ${(\sqrt{5})}^{2} + {(\sqrt{3})}^{2} = 8$ ， $\sqrt{5} \times \sqrt{3} = \sqrt{15}$ ，

所以 $\sqrt{8 + 2 \sqrt{15}} = \sqrt{{(\sqrt{5} + \sqrt{3})}^{2}} = \sqrt{5} + \sqrt{3}$ ．

根据上述例题的方法化简： $\sqrt{12 - 2 \sqrt{35}}$ ．

(2)、小明在解决问题：已知， $a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ ，求 $2 a^{2} - 8 a + 1$ 的值，他是这样分析与解答的：
$∵ a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3}$ ．

$∴ a - 2 = - \sqrt{3}$ ．

$∴ {(a - 2)}^{2} = 3$ ，即 $a^{2} - 4 a + 4 = 3$ ． $∴ a^{2} - 4 a = - 1$ ．

$∴ 2 a^{2} - 8 a + 1 = 2 (a^{2} - 4 a) + 1 = 2 \times (- 1) + 1 = - 1$ ．

请你根据小明的分析过程，解决如下问题：

①计算： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} =$ ▲ ；

②计算： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2020} + \sqrt{2019}}$ = ▲

③若 $a = \frac{1}{\sqrt{5} - 2}$ ，求 $2 a^{2} - 8 a + 1$ 的值

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12.

(1)、已知x ， y ， z满足 $\sqrt{2 y + z} +$ |x﹣y|+z²﹣z $+ \frac{1}{4} =$ 0，求2x﹣y+z的算术平方根．

(2)、已知实数a ， b ， c满足：b $= \sqrt{- {(a - 3)}^{2}} +$ 4，c的平方根等于它本身．求a $+ \sqrt{b - c}$ 的值．

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13. 用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n $= m^{2} n - m n - 3 n$ ，如：1※2 $= 1^{2} \times 2 - 1 \times 2 - 3 \times 2 = - 6$ .

(1)、求（﹣2）※ $\sqrt{3}$ ；

(2)、若3※m＜－6，化简 $\sqrt{（ 2 - m)^{2}} + {(\sqrt{- m - 2})}^{2}$ .

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14. 阅读材料：把根式 $\sqrt{x \pm 2 \sqrt{y}}$ 进行化简，若能找到两个数m、n ，是m²+n²＝x且mn＝ $\sqrt{y}$ ，则把x±2 $\sqrt{y}$ 变成m²+n²±2mn＝(m±n)²开方，从而使得 $\sqrt{x \pm 2 \sqrt{y}}$ 化简．
例如：化简 $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$

解：∵3+2 $\sqrt{2}$ ＝1+2+2 $\sqrt{2}$ ＝1²+( $\sqrt{2}$ )²+2×1× $\sqrt{2}$ ＝(1+ $\sqrt{2}$ )²

∴ $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} = \sqrt{{(1 + \sqrt{2})}^{2}} = 1 + \sqrt{2}$ ；

请你仿照上面的方法，化简下列各式：

(1)、 $\sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}$ ；

(2)、 $\sqrt{7 - 4 \sqrt{3}}$ .

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15. 若矩形的长a＝ $\sqrt{6} + \sqrt{5}$ ，宽b＝ $\sqrt{6} - \sqrt{5}$ ．

(1)、求矩形的面积和周长；

(2)、求a²＋b²﹣20＋2ab的值．

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16. 小明在学习二次根式时，碰到这样一道题，他尝试着运用分类讨论的方法解题如下：
题目：若代数式 $\sqrt{{(m - 1)}^{2}} + \sqrt{{(m - 2)}^{2}}$ 的值是1，求 $m$ 的取值范围.

解：原式 $= | m - 1 | + | m - 2 |$ ，

当 $m < 1$ 时，原式 $= (1 - m) + (2 - m) = 3 - 2 m = 1$ ，解得 $m = 1$ （舍去）；

当 $1 \leq m \leq 2$ 时，原式 $= (m - 1) + (2 - m) = 1$ ，符合条件；

当 $m > 2$ 时，原式 $= (m - 1) + (m - 2) = 2 m - 3 = 1$ ，解得 $m = 2$ （舍去）；

所以， $m$ 的取值范围是 $1 \leq m \leq 2$ .

请你根据小明的做法，解答下列问题：

(1)、当 $3 \leq m \leq 5$ 时，化简： $\sqrt{{(m - 3)}^{2}} + \sqrt{{(m - 5)}^{2}} =$ ；

(2)、若代数式 $\sqrt{{(2 - m)}^{2}} - \sqrt{{(m - 6)}^{2}}$ 的值是4，求 $m$ 的取值范围.

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17. 解答下列各题

(1)、计算： $\sqrt{8} + \sqrt{27} - (\sqrt{2} + 2 \sqrt{3})$

(2)、已知一次函数 $y = k x + b$ 的图象经过点 $(3 ， 5)$ 与 $(- 4 ， - 9)$ ，求一次函数的解析式.

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18. 已知 $x = \frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ ， $y = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ ， $m = x y$ ， $n = x^{2} - y^{2}$ .

(1)、求m，n的值；

(2)、若 $\sqrt{a} - \sqrt{b} = m + \frac{7}{2}$ ， $\sqrt{a b} = n^{2}$ ，求 $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ 的值.

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19. 已知：a＝ $\sqrt{2}$ ﹣1，b＝ $\sqrt{2}$ +1.
求：

(1)、ab的值；

(2)、 $\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ 的值.

(3)、a﹣b的值；

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20. 高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t(单位：s)和高度h(单位：m)近似满足公式t= $\sqrt{\frac{h}{5}}$ (不考虑风速的影响)．

(1)、从50m高空抛物到落地所需时间t₁是多少s，从100m高空抛物到落地所需时间t₂是多少s；

(2)、t₂是t₁的多少倍？

(3)、经过1.5s，高空抛物下落的高度是多少？

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21.

(1)、已知a为实数，求代数式： $\sqrt{a + 2016} - \sqrt{2016 - a} + \sqrt{- a^{2}}$ 的值.

(2)、已知m是 $\sqrt{2}$ 的小数部分.①求m²+2m+1的值；②求 $\sqrt{m^{2} + \frac{1}{m^{2}} - 2}$ 的值.

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22. 阅读材料：基本不等式 $\sqrt{a b} \leq \frac{a + b}{2} (a > 0 ， b > 0)$ ，当且仅当 $a = b$ 时，等号成立.其中我们把 $\frac{a + b}{2}$ 叫做正数a、b的算术平均数， $\sqrt{a b}$ 叫做正数a、b的几何平均数，它是解决最大 $($ 小 $)$ 值问题的有力工具.
例如：在 $x > 0$ 的条件下，当x为何值时， $x + \frac{1}{x}$ 有最小值，最小值是多少？

解 $∵ x > 0$ ， $\frac{1}{x} > 0$

$∴ \frac{x + \frac{1}{x}}{2} \geq \sqrt{x \cdot \frac{1}{x}}$ ，即是 $x + \frac{1}{x} \geq 2 \sqrt{x \cdot \frac{1}{x}}$

$∴ x + \frac{1}{x} \geq 2$ ，

当且仅当 $x = \frac{1}{x}$ 时，即 $x = 1$ 时， $x + \frac{1}{x}$ 有最小值，最小值为2.

请根据阅读材料解答下列问题：

(1)、若 $x > 0$ ，函数 $y = 2 x + \frac{1}{x}$ ，当x为何值时，函数有最值，并求出其最值，

(2)、当 $x > 0$ 时，式子 $x^{2} + 1 + \frac{1}{x^{2} + 1} \geq 2$ 成立吗？请说明理由.

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23. 已知不等式组 ${\begin{matrix} 5 x + 4 > 3 x + 1 \\ \frac{2}{3} + \frac{1}{3} x \geq x \end{matrix}$ .

(1)、解这个不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来.

(2)、若a是这个不等式组的最小整数解，求 $\sqrt{{(a - 2)}^{2}}$ 的值.

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24. 已知： $a = \sqrt{2 n} + \sqrt{6}$ ， $b = \sqrt{2 n} - \sqrt{6}$ （n为正整数）.

(1)、求 $a^{2} - b^{2}$ 的值（结果用含n的代数式表示）；

(2)、若（1）中代数式的值是整数，求正整数n的最小值.

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2021-2022学年浙教版数学八下第一章 二次根式 优生综合题特训

一、综合题

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