浙江省温州市十校联合体2021-2022学年高二上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2021-12-08 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知空间向量 $\vec{a} = (2 ， - 3 ， 4)$ ， $\vec{b} = (- 4 ， m ， n)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则实数 $m + n =$ （）

A、2 B、-2 C、1 D、-1

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2. 直线 $\sqrt{3} x - 3 y + 7 = 0$ 的倾斜角为（）

A、30° B、60° C、120° D、150°

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3. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的焦距为10 ，则双曲线 $C$ 的浙近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{9}{16} x$ B、 $y = \pm \frac{16}{9} x$ C、 $y = \pm \frac{4}{3} x$ D、 $y = \pm \frac{3}{4} x$

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4. 已知 $m \in R$ ，则“ $3 < m < 6$ ”是“曲线 $\frac{x^{2}}{m - 2} + \frac{y^{2}}{6 - m} = 1$ 表示椭圆”的（）

A、充分不必要条件 B、充要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 在平面直角坐标系中，坐标原点 $O$ 到过点 $A (cos 100^{\circ} ， sin 100^{\circ}) ， B (cos 40^{\circ} ， sin 40^{\circ})$ 的直线距离为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、1

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6. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为3，点 $P$ 在棱 $A A_{1}$ 上，且 $P A_{1} = 1$ ，则直线 $D_{1} P$ 与 $D B_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{30}}{15}$ C、 $\frac{\sqrt{195}}{15}$ D、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$

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7. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $P$ 为抛物线 $C$ 上一点，点 $A (2 ， 2)$ ，则 $| P A | + | P F |$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、2 C、 $\sqrt{10}$ D、3

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8. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A D = 3 ， A A_{1} = 5 ， A B = 4 ， E ， F ， G$ 分别是棱 $C_{1} D_{1} ， B C ， C C_{1}$ 的中点， $M$ 是平面 $A B C D$ 内一动点，若直线 $D_{1} M$ 与平面 $E F G$ 平行，则 $\vec{M B_{1}} \cdot \vec{M D_{1}}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{75}{4}$ B、25 C、 $10 \sqrt{2}$ D、 $\frac{25}{4} \sqrt{3}$

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二、多选题

9. 下列四个结论正确的有（）

A、对于任意两个向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ ，若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ，则 $\vec{a} = \vec{0}$ 或 $\vec{b} = \vec{0}$ 或 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ B、若空间中点 $P ， A ， B ， C$ 满足 $\vec{P C} = \frac{1}{4} \vec{P A} + \frac{3}{4} \vec{P B}$ ，则 $A ， B ， C$ 三点共线 C、空间中任意三个向量 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 都满足 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} - \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c}) = 0$ D、对于任意两个向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ ，都有 $| \vec{a} \cdot \vec{b} | = | \vec{a} | | \vec{b} |$

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10. 已知直线 $y = x + b$ 与曲线 $x - \sqrt{1 - y^{2}} = 0$ 有且仅有一个公共点，则 $b$ 的取值可以是（）

A、 $- \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、1

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11. 已知双曲线 $C$ 过点 $(\sqrt{2} ， \sqrt{3})$ ，且渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{3} x$ ，则下列结论正确的是（）

A、双曲线 $C$ 的离心率为 $\sqrt{3}$ B、左焦点到浙近线的距离为 $\sqrt{3}$ C、双曲线的实轴长为1 D、过右焦点截双曲线 $C$ 所得弦长为6的直线只有三条

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12. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷．他发现平面内到两个定点的距离之比为定值 $λ (λ \neq 1)$ 的点所形成的图形是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A (- 1 ， 0) ， B (1 ， 0)$ ．点 $P$ 满足 $\frac{| P A |}{| P B |} = \frac{1}{2}$ ，设点 $P$ 所构成的曲线为 $E$ ，下列结论正确的是（）

A、曲线 $E$ 的圆心坐标为 $(- \frac{5}{3} ， 0)$ B、 $\frac{4}{3} \leq | P B | \leq 4$ C、曲线 $E$ 的周长为 $π$ D、曲线 $E$ 上的点到直线 $x + y - 1 = 0$ 的最小距离为 $\frac{4}{3} (\sqrt{2} - 1)$

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三、填空题

13. 若 $\vec{a} = (2 ， 3 ， 5) ， \vec{b} = (3 ， 1 ， - 4)$ ，则 $| \vec{a} - 2 \vec{b} | =$

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14. 设直线 $l_{1} ： (2 - m) x + 3 y + 4 = 0 ， l_{2} ： 2 x + m y - 1 = 0$ ，若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $m =$

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15. 已知某隧道内设双行线公路，车辆只能在道路中心线一侧行驶，隧道截面是半径为4米的半圆，若行驶车辆的宽度为2.5米，则车辆的最大高度为米．

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16. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，过椭圆在第二象限上的任意一点 $P$ 作椭圆的切线与 $y$ 轴相交于 $Q$ 点， $O$ 是坐标原点，过点 $Q$ 作 $Q R ⊥ O P$ ，垂足为 $R$ ，则 $| O R | + | O P |$ 的取值范围是

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四、解答题

17. 已知点 $A (2 ， 1)$ ，直线 $l ： (a - 1) x + y + 2 + a = 0 (a \in R)$ ．不论 $a$ 取何值，直线 $l$ 过定点 $P$ ．

(1)、求点 $P$ 的坐标，及点 $A (2 ， 1)$ 到直线 $l$ 距离的最大值；

(2)、若直线 $l$ 在两坐标轴上的截距相等，求 $a$ 的值．

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18. 已知点 $P (- 1 ， 2)$ ，圆 $C ： {(x - 3)}^{2} + y^{2} = 16$ ．

(1)、若直线 $l$ 过点 $P$ ，且圆 $C$ 上任意一点关于直线 $l$ 的对称点也在圆 $C$ 上，求直线 $l$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ 过点 $P$ ，且直线 $l$ 与圆 $C$ 交于 $M 、 N$ 两点，若 $M C ⊥ N C$ ，求直线 $l$ 的方程．

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19. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x$ ，点 $A (\frac{1}{2} ， 1)$ 是抛物线 $C$ 上的点．

(1)、求抛物线的方程及 $p$ 的值；

(2)、直线 $l$ 与抛物线交于 $P (x_{1} ， y_{1}) ， Q (x_{2} ， y_{2})$ 两点， $y_{1} y_{2} < 0$ ，且 $\vec{O P} \cdot \vec{O Q} = 3$ ，求 $| y_{1} | + 2 | y_{2} |$ 的最小值并证明直线 $l$ 过定点．

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的菱形， $∠ A D C = 60^{\circ}$ ，平面 $P B C ⊥$ 平面 $A B C D$ ，且侧面 $P B C$ 为等边三角形． $E$ 为线段 $B C$ 的中点．

(1)、求证：直线 $B C ⊥ P A$ ；

(2)、在线段 $A P$ 上是否存在点 $F$ ，使得直线 $E F$ 与平面 $P A C$ 所成角的余弦值为 $\frac{4}{5}$ ．

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21. 已知 $P$ 是平面上的动点，且点 $P$ 与 $F_{1} (- 1 ， 0) 、 F_{2} (1 ， 0)$ 的距离之和为 $2 \sqrt{3}$ ．点 $P$ 的轨迹为曲线 $E$ ．

(1)、求动点 $P$ 的轨迹 $E$ 的方程；

(2)、不与 $y$ 轴垂直的直线 $l$ 过点 $F_{1}$ 且交曲线 $E$ 于 $M ， N$ 两点，曲线 $E$ 与 $x$ 轴的交点为 $A ， B$ ，当 $| M N | \geq \frac{8}{5} \sqrt{3}$ 时，求 $\vec{A M} \cdot \vec{N B} + \vec{A N} \cdot \vec{M B}$ 的取值范围．

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