浙江省绿谷高中联盟2021-2022学年高二上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2021-12-08 类型：期中考试

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一、单选题

1. 直线 $x - y - 1 = 0$ 的倾斜角是（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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2. 圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 2$ 的圆心C的坐标为（）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(- 1 ， 2)$ C、 $(1 ， - 2)$ D、 $(- 1 ， - 2)$

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3. 双曲线 $\frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ B、 $y = \pm 2 x$ C、 $y = \pm \sqrt{2} x$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$

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4. $\vec{a} = (1 ， - 1 ， 2)$ ， $\overset{⇀}{b} = (- 2 ， 1 ， 0)$ ， $\overset{⇀}{c} = (5 ， - 3 ， k)$ ，若 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 共面，则实数 $k$ 为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 直线 $l ： 3 x + 2 y - 6 = 0$ 的截距式方程为（）

A、 $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 1$ B、 $\frac{x}{2} + \frac{y}{- 3} = 1$ C、 $\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 1$ D、 $\frac{x}{3} + \frac{y}{- 2} = 1$

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6. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ A C ， A B = A C = 2 ，$ $A A_{1} = \sqrt{7}$ ， $E ， F$ 分别是棱 $B_{1} C_{1} ， A_{1} C_{1}$ 的中点，则异面直线 $B E$ 与 $C F$ 所成角的大小为（）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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7. 已知圆C： ${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = \frac{25}{4}$ ，直线 $l ： x - y + 1 = 0$ ，则圆C上与直线 $l$ 距离为 $1$ 的点的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 小明同学在一个宽口半径为1，高度为1的抛物面杯子做小球放入实验，要求小球能与杯底接触，他能放入小球的最大半径是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、1

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二、多选题

9. 已知直线 $a$ ，b和平面 $α$ ，若 $a ⊥ α$ ， $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则直线b与平面 $α$ 的位置关系可能是（）

A、 $b // α$ B、b与 $α$ 相交 C、 $b \subset α$ D、 $b ⊥ α$

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10. 已知 $\vec{a} = (x^{2} + x ， 1 ， 3) ， \vec{b} = (2 ， y ， 3)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $x + y$ 的值可能为（）

A、-2 B、-1 C、1 D、2

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11. 圆 $C_{1} ： {(x - a)}^{2} + y^{2} = 4$ 与圆 $C_{2} ： x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ 有且仅有两条公切线，实数 $a$ 的值可以取（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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12. 如图，已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ ，从直线 $l ： x = - 1$ 上一点 $P$ 向抛物线 $C$ 引两条切线 $P A 、 P B$ ，切点分别为 $A 、 B$ .直线 $y = x + m$ 过线段 $A B$ 的中点 $M$ ，则 $P$ 点到直线 $y = x + m$ 的距离可以为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{5}$

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三、填空题

13. 空间两点 $A (1 ， - 2 ， 0)$ ， $B (- 3 ， 1 ， 2)$ 中点坐标为.

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14. 直线 $l_{1} ： x + 2 y - 3 = 0$ ， $l_{2} ： 2 x + 4 y + a = 0$ 之间距离为 $\sqrt{5}$ ，则实数 $a =$ .

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15. 在平面直角坐标系 $x o y$ 内，点 $M (1 ， 1)$ ，集合 $P = {(x ， y) | x \cos θ - y \sin θ = 2 ， θ \in R}$ ，任意的点 $N \in P$ ，则 $| M N |$ 的取值范围是.

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16. 如图，在棱长为 $1$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E ， F$ 分别为棱 $A_{1} D_{1} ， C_{1} D_{1}$ 的中点，若点 $P ， M ， N$ 分别为线段 $B D_{1} ， E F ， B C_{1}$ 上的动点，则 $P M + P N$ 的最小值为.

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四、解答题

17. 已知点 $A (1 ， - 2 ， 0)$ ， $B (2 ， k ， - 3)$ ， $C (0 ， 1 ， 2)$ ，向量 $\vec{a} = (- 3 ， 4 ， 5)$ .

(1)、若 $\vec{A B} ⊥ \vec{a}$ ，求实数 $k$ 的值；

(2)、求向量 $\vec{A C}$ 在向量上 $\vec{a}$ 上的投影向量.

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18. 已知直线 $l ： a x - y + 2 a + 1 = 0 (a \in R)$ ，圆 $C ： {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 4$ .

(1)、（i）当实数 $a$ 变化时，求直线 $l$ 经过的定点 $P$ 的坐标；
（ii）若直线 $l$ 与圆 $C$ 相切于点 $T$ ，求 $P T$ 的长；

(2)、若直线 $l$ 与圆 $C$ 相交于 $A 、 B$ 两点，且△ $A B C$ 为钝角三角形，求 $a$ 的取值范围.

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19. 如图，三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 120^{\circ}$ ， $△ P B C$ 为正三角形.

(1)、证明： $P A ⊥ B C$ ；

(2)、若平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C$ ，求二面角 $P - B C - A$ 的余弦值.

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20. 如图，四棱台中，底面 $A B C D$ 为正方形， $A B ⊥$ 平面 $A D D_{1} A_{1}$ ，且 $A A_{1} = D D_{1}$ ， $A B = 4$ ， $A_{1} B_{1} = 2$ .

(1)、证明： $D D_{1} / /$ 平面 $A B_{1} C$ ；

(2)、若直线 ${CC}_{1}$ 与平面 $A B_{1} C$ 所成角的正弦值为 $\frac{4}{9}$ ，求 $C C_{1}$ 的长.

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21. 如图，点 $A$ 是抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上的动点，过点 $M (2 ， 1)$ 的直线 $A M$ 与抛物线交于另一点 $B$ .

(1)、当 $A$ 的坐标为 $(1 ， 2)$ 时，求点 $B$ 的坐标；

(2)、已知点 $P (2 ， 0)$ ，若 $M$ 为线段 $A B$ 的中点，求 $△ P A B$ 面积的最大值.

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22. 如图，已知椭圆的标准方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，斜率为k且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A､B两点.

(1)、若 $\vec{O A} + \vec{O B}$ 与 $\vec{a} = (3 k ， - 1)$ 共线.
（i）求椭圆的离心率；

（ii）设P为椭圆上任意一点，且 $\vec{O P} = λ \vec{O A} + μ \vec{O B}$ （λ，μ∈R），当 $| k | \geq 1$ 时，求证： $λ^{2} + μ^{2} > \frac{3}{4}$ .

(2)、已知椭圆的面积 $S_{0} = π a b$ ，当k=1时，△AOB的面积为 $S$ ，求 $\frac{S_{0}}{S}$ 的最小值.

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