浙江省金华市兰溪市五湖联盟2021-2022学年高二上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2021-12-08 类型：期中考试

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一、单选题

1. 直线 $l$ 的倾斜角为 $\frac{π}{3}$ ，则直线 $l$ 的斜率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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2. 过点 $(4 ， 0)$ 和 $(0 ， - 3)$ 的直线方程为（）

A、 $3 x - 4 y - 1 = 0$ B、 $\frac{x}{4} - \frac{y}{3} = 0$ C、 $\frac{x}{4} - \frac{y}{3} - 1 = 0$ D、 $y = \frac{4}{3} x + 3$

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3. 下列方程表示圆的是（）

A、 $x^{2} + y^{2} + x y - 1 = 0$ B、 $x^{2} + y^{2} + 2 x + 2 y + 2 = 0$ C、 $x^{2} + y^{2} - 3 x + y + 4 = 0$ D、 $2 x^{2} + 2 y^{2} + 4 x + 5 y + 1 = 0$

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4. 若直线 $l$ 的一个方向向量 $\vec{a} = (1 ， - 2 ， - 1)$ ，平面 $α$ 的一个法向量为 $\vec{b} = (5 ， 2 ， 1)$ ，则（）

A、 $l ⊥ α$ B、 $l ∥ α$ C、 $l \subset α$ D、 $l ∥ α$ 或 $l \subset α$

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5. 直线 $m x + (m + 1) y - 2 = 0 (m \in R)$ 与圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ 相切，则 $m =$ （）

A、1 B、3 C、0或1 D、0或3

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6. 在四面体OABC中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，点M为 $△ A B C$ 的重心，则 $\vec{O M} =$ （）

A、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$ B、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$ D、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{2}{3} \vec{c}$

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7. 已知棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，E，F分别为 $A_{1} B$ 和 $B_{1} D_{1}$ 的中点，则点B到EF的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\sqrt{6}$

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8. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 1$ ， $A D = 2$ ，点 $P$ 在以点 $C$ 为圆心且与 $B D$ 相切的圆上， $∠ B C P = \frac{3 π}{4}$ .若 $\vec{A P} = λ \vec{A B} + μ \vec{A D}$ ，则 $λ + μ$ 的值为（）

A、2 B、 $2 - \frac{\sqrt{10}}{10}$ C、3 D、 $3 - \frac{\sqrt{10}}{10}$

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二、多选题

9. 已知圆 $C_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} = 16$ 和圆 $C_{2}$ ： ${(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = r^{2} (r > 0)$ ，则（）

A、 $r = 2$ 时，两圆相交 B、 $r = 1$ 时，两圆内切 C、 $r = 9$ 时，两圆外切 D、 $r = 10$ 时，两圆内含

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10. 已知直线 $l_{1}$ ： $a x + 2 y + 1 = 0$ .直线 $l_{2}$ ： $x + (a - 1) y + 2 = 0$ ，则下列命题正确的是（）

A、若 $l_{1} // l_{2}$ ，则 $a = 2$ B、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $a = \frac{2}{3}$ C、直线 $l_{1}$ 过定点 $(0 ， - \frac{1}{2})$ D、直线 $l_{2}$ 过定点 $(- 2 ， 0)$

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11. 在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等， $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D$ ，则有（）

A、 $A_{1} M // B_{1} Q$ B、 $A A_{1} ⊥ P Q$ C、 $A_{1} M //$ 面 $D_{1} P Q B_{1}$ D、 $P Q ⊥$ 面 $A_{1} A C C_{1}$

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12. 设点 $M (x_{0} ， 1)$ ，若在圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 1$ 上存在点N，使得 $∠ O M N = \frac{π}{6}$ ，则 $x_{0}$ 的值可以是（）

A、 $- \sqrt{3}$ B、-2 C、 $\sqrt{3}$ D、2

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三、填空题

13. 两平行直线 $5 x + 12 y - 15 = 0$ 与 $5 x + 12 y + 11 = 0$ 间的距离为.

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14. 如图所示，一圆形钟的时针长 $5 cm$ ，2021年11月9日上午 $7 ： 00$ 至 $11 ： 00$ ，时针的针头自点 $A$ 处转动到点 $B$ 处，则线段 $A B$ 的长为.

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15. 圆 ${(x + 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 1$ 关于y轴对称的圆的标准方程为.

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16. 棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD中，M为BC的中点；则直线AM和CD夹角的余弦值为.

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17. 已知圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 3$ ，直线 $l$ ： $x \cos θ + y \sin θ = 1 (0 < θ < \frac{π}{2})$ ，设圆 $O$ 上到直线 $l$ 的距离等于1的点的个数为k，则 $k =$ .

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四、解答题

18. 已知 $△ A B C$ 的三个顶点是 $A (4 ， 0)$ ， $B (6 ， 7)$ ， $C (0 ， 3)$ .

(1)、求AC上的高所在直线的方程；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积.

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19. 已知点 $P (3 ， 1)$ 和圆 $C$ ： ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ ，点P作圆 $C$ 的.两条切线，切点分别为A和B.

(1)、求以点P为圆心，以PA长为半径的圆的标准方程；

(2)、求直线AB的方程.

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是正方形，侧棱 $P D ⊥$ 底面ABCD， $P D = D C$ ，E是PC的中点.

(1)、求证： $A C ⊥$ 平面PBD；

(2)、求PB与平面BDE所成角的正弦值；

(3)、求点A到平面BDE的距离.

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21. 如图，已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $A A_{1} = 6$ ，点D为AC的中点，点E在 $A A_{1}$ 上， $A E = \frac{1}{3} A A_{1}$ .

(1)、求ED与 $B C_{1}$ 所成角的余弦值；

(2)、求平面DBE与平面BEA夹角的余弦值.

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22. 已知圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 4$ ，点 $A (x_{1} ， y_{1})$ 和点 $B (x_{2} ， y_{2})$ 在圆 $O$ 上， $x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} = 0$ ， $M$ 为 $A B$ 的中点.

(1)、求点 $M$ 的轨迹方程；

(2)、求 ${(x_{1} - 1)}^{2} + {(y_{1} - 3)}^{2}$ 的最小值；

(3)、求 $\frac{| x_{1} - y_{1} - 4 |}{\sqrt{2}} + \frac{| x_{2} - y_{2} - 4 |}{\sqrt{2}}$ 的最大值.

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