浙江省A9协作体2021-2022学年高二上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2021-12-08 类型：期中考试

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一、单选题

1. 直线 $m x - y + 2 m + 1 = 0$ 恒过一定点，则此定点为（）

A、 $(- 2 ， 1)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(1 ， 2)$ D、 $(2 ， 1)$

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2. 已知 $\vec{a} = (- 3 ， 2 ， 5) ， \vec{b} = (1 ， x ， - 1) ，$ 且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2$ ，则x的值是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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3. 若直线 $(a + 1) x + y - 2 = 0$ 与 $a x + (2 a + 2) y + 1 = 0$ 互相垂直，则 $a =$ （）

A、-2 B、1 C、-1或2 D、-1或-2

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4. 已知中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线方程是 $y = \frac{3}{4} x$ ，则它的离心率为（）

A、 $\frac{5}{4}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{5}{4}$ 或 $\frac{5}{3}$ D、不确定

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5. 若直线 $m x + n y = 9$ 和圆 $x^{2} + y^{2} = 9$ 没有公共点，则过点 $P (m ， n)$ 的直线与椭圆 $\frac{x^{2}}{10} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的交点个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、不确定

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6. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $B C_{1}$ 与 $B_{1} C$ 相交于点 $O$ ， $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A C = 60 °$ ， $∠ B A C = 90 °$ ， $A_{1} A = 3$ ， $A B = A C = 2$ ，则线段 $A O$ 的长度为（）

A、 $\frac{\sqrt{29}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{33}}{2}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{23}}{2}$

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7. 设 $A = {(x ， y) | 5 x + 12 y + 16 \leq 0}$ ，点 $P \in A$ ，过点 $P$ 引圆 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 的两条切线 $P A$ ， $P B$ ，若 $∠ A P B$ 的最大值为 $\frac{2 π}{3}$ ，则 $r$ 的值为（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、1

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8. 已知抛物线 $E$ ： $x^{2} = 4 y$ 和圆 $F$ ： $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ ，过 $F$ 点作直线 $l$ 与上述两曲线自左而右依次交于点 $A$ ， $C$ ， $D$ ， $B$ ，则 $| A C | + 2 | B D |$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、3 D、 $2 \sqrt{2}$

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二、多选题

9. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ ，下列对双曲线C判断正确的是（）

A、实轴长是虚轴长的2倍 B、焦距为4 C、离心率为 $\sqrt{3}$ D、渐近线方程为 $x \pm \sqrt{3} y = 0$

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10. 点 $P$ 在圆 $C_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} = 1$ 上，点 $Q$ 在圆 $C_{2}$ ： $x^{2} + y^{2} - 6 x + 8 y + 9 = 0$ 上，则（）

A、两圆有且仅有两条公切线 B、 $| P Q |$ 的最大值为10 C、两个圆心所在直线斜率为 $- \frac{4}{3}$ D、两个圆相交弦所在直线方程为 $3 x - 4 y - 5 = 0$

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11. 下列命题中，正确的有（）

A、若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 与空间任意向量都不能构成基底，则 $\vec{a} // \vec{b}$ ； B、若非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ， $\vec{b} ⊥ \vec{c}$ ，则有 $\vec{a} // \vec{c}$ ； C、在四面体 $P - A B C$ 中，若 $\vec{P A} \cdot \vec{B C} = 0$ ， $\vec{P C} \cdot \vec{A B} = 0$ ，则 $\vec{P B} \cdot \vec{A C} = 0$ ； D、若向量 $\vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{b} + \vec{c}$ ， $\vec{c} + \vec{a}$ 是空间一组基底，则 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 也是空间的一组基底.

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12. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 上有一点 $P$ ， $F_{1}$ ､ $F_{2}$ 分别为左､右焦点， $∠ F_{1} P F_{2} = θ$ ， $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为 $S$ ，则下列选项正确的是（）

A、若 $S = 9$ ，则 $θ = 90 °$ B、若 $S = 3$ ，则满足题意的点 $P$ 有四个 C、椭圆 $C$ 内接矩形周长的最大值为20 D、若 $△ P F_{1} F_{2}$ 为钝角三角形，则 $S \in (0 ， \frac{9 \sqrt{7}}{4})$

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三、填空题

13. 已知直线 $l$ 的向上方向与 $x$ 轴正向所成的角为60°，则直线的斜率为.

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14. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{8} = 1$ 的左右焦点，点 $P$ 在双曲线上，满足 $| P F_{1} | = 2 | P F_{2} |$ ，求 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为.

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15. 已知实数 $a$ ， $b$ 满足 $a = \sqrt{2 a - b} + 4 \sqrt{b}$ ，则 $a$ 的最大值为.

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16. 已知A、B是抛物线 $y^{2} = 2 p x$ 上异于坐标原点O的两点，满足 $| \vec{O A} + \vec{O B} | = | \vec{A B} ∣$ ，且 $△ O A B$ 面积的最小值为36，则正实数P＝；若OD⊥AB交AB于点D，若 $| D Q |$ 为定值，则点Q的坐标为．

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四、解答题

17. 直线 $l$ 经过两直线 $l_{1}$ ： $x + y = 0$ 和 $l_{2}$ ： $2 x + 3 y - 2 = 0$ 的交点.

(1)、若直线 $l$ 与直线 $3 x + y - 1 = 0$ 平行，求直线 $l$ 的方程；

(2)、若点 $A (3 ， 1)$ 到直线 $l$ 的距离为5，求直线 $l$ 的方程.

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18. 已知点 $A (1 ， a)$ ，圆 $O$ ： ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4$ .

(1)、若过点 $A$ 的圆 $O$ 的切线只有一条，求实数 $a$ 的值及切线方程；

(2)、若过点 $A$ 且在两坐标轴上截距相等的直线被圆 $O$ 截得的弦长为 $2 \sqrt{2}$ ，求实数 $a$ 的值.

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19. 如图，已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧棱与底面垂直，且 $A A_{1} = A B = A C = 2$ ， $A B ⊥ A C$ ， $M$ ､ $N$ 分别是 $C C_{1}$ ､ $B C$ 的中点，点 $P$ 在线段 $A_{1} B_{1}$ 上，且 $\vec{A_{1} P} = \vec{P B_{1}}$ .

(1)、求证： $P N //$ 面 $A C C_{1} A_{1}$ ；

(2)、求平面 $P M N$ 与平面 $A B C$ 所成二面角的余弦值.

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20. 如图，椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，点 $P (0 ， 1)$ 在短轴 $C D$ 上，且 $\vec{P C} \cdot \vec{P D} = - 1$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、设 $O$ 为坐标原点，过点 $P$ 的动直线与椭圆交于 $A$ ､ $B$ 两点，求 $△ A O B$ 面积的最大值.

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21. 如图，在棱长为 $a$ 的正方体 $O A B C - O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ 中， $E$ ， $F$ 分别是棱 $A B$ ， $B C$ 上的动点，且 $A E = B F$ .

(1)、求证： $A^{'} F ⊥ C^{'} E$ ；

(2)、当三棱锥 $B^{'} - B E F$ 的体积取得最大值时，求 $A^{'} F$ 与面 $B^{'} E F$ 所成角的正弦值.

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22. 已知点 $P$ 是曲线 $C$ 上任意一点，点 $P$ 到点 $F (1 ， 0)$ 的距离与到直线 $y$ 轴的距离之差为1.

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、设直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 为曲线 $C$ 的两条互相垂直切线，切点为A， $B$ ，交点为点 $M$ .
（i）求点 $M$ 的轨迹方程；

（ii）求证：直线 $A B$ 过定点，并求出定点坐标.

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