四川省乐山市十校2021-2022学年高二上学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2021-12-08 类型：期中考试

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一、单选题

1. 直线 $\sqrt{3} x + y + 2 = 0$ 的倾斜角是（）

A、 $\frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $- \frac{π}{3}$

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2. 下列说法中正确的是（）

A、四边相等的四边形确定一个平面 B、垂直于同一条直线的两条直线平行 C、直线 mx+2y-m=0过定点 $(0 ， 1)$ D、梯形可以确定一个平面

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3. 长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = \sqrt{5}$ ， $A D = 1$ ， $A A_{1} = \sqrt{2}$ ，则异面直线 $A D_{1}$ 与 $A_{1} C_{1}$ 成角余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$

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4. 已知直线 $l_{1} ： x + a y + 7 = 0$ 和 $l_{2} ： (a - 2) x + 3 y + 1 = 0$ 互相平行，则（）

A、 $a = 3$ B、 $a = - 1$ C、 $a = - 1$ 或 $a = 3$ D、 $a = 1$ 或 $a = - 3$

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5. 已知l，m为两条不同直线， $α$ ， $β$ 为两个不同平面，则下列命题中真命题的是（）

A、若 $l // m$ ， $m \subset α$ ，则 $l // α$ B、若 $l ⊥ m$ ， $m \subset α$ ，则 $l ⊥ α$ C、若 $α // β$ ， $m \subset α$ ，则 $m // β$ D、若 $α ⊥ β$ ， $m \subset α$ ，则 $m ⊥ β$

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6. 三棱锥的三条侧棱两两相等，则顶点在底面的射影为底面三角形的（）

A、内心 B、重心 C、外心 D、垂心

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7. 已知 $A (1 ， 0 ， 0)$ ， $B (0 ， - 1 ， 1)$ ，O是坐标原点， $\vec{O A} + λ \vec{O B}$ 与 $\vec{O B}$ 的夹角为 $120^{\circ}$ ，则 $λ$ 的值为（）

A、 $\pm \frac{\sqrt{6}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ C、 $- \frac{\sqrt{6}}{6}$ D、 $\pm \sqrt{6}$

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8. 已知一个几何体的正视图和侧视图如图1所示，其俯视图用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个直角边长为1的等腰直角三角形(如图2所示)，则此几何体的体积为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、2 $\sqrt{2}$

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9. 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(1，0)，B(0，2)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为（）

A、4x＋2y＋3＝0 B、2x－4y＋3＝0 C、x－2y＋3＝0 D、2x－y＋3＝0

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10. 公元前 $3$ 世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（ $V$ ）与它的直径（ $D$ ）的立方成正比”，此即 $V = k D^{3}$ ，欧几里得未给出 $k$ 的值． $17$ 世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公式 $V = k D^{3}$ 中的常数 $k$ 称为“立圆率”或“玉积率”．类似地，对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）、正方体也可利用公式 $V = k D^{3}$ 求体积（在等边圆柱中， $D$ 表示底面圆的直径；在正方体中， $D$ 表示棱长）．假设运用此体积公式求得球（直径为 $a$ ）、等边圆柱（底面圆的直径为 $a$ ）、正方体（棱长为 $a$ ）的“玉积率”分别为 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ 、 $k_{3}$ ，那么 $k_{1} ： k_{2} ： k_{3}$ （）

A、 $\frac{1}{4} ： \frac{1}{6} ： \frac{1}{π}$ B、 $\frac{π}{6} ： \frac{π}{4} ： 2$ C、 $2 ： 3 ： 2 π$ D、 $\frac{π}{6} ： \frac{π}{4} ： 1$

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11. 棱长为1的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，P，Q分别为C₁D₁ ， BC的中点，现有下列结论：①PQ∥BD₁；②PQ∥平面BB₁D₁D；③PQ⊥平面AB₁C；④四面体D₁﹣PQB的体积等于 $\frac{1}{24}$ .其中正确的是（）

A、①③ B、②③ C、②④ D、③④

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12. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E ， F ， M$ 分别为棱 $B C ， C D ， C C_{1}$ 的中点，P是线段 $A_{1} C_{1}$ 上的动点(含端点)，则下列结论正确的个数（）
① $P M ⊥ B D$ ② $A C_{1} / /$ 平面 $E F M$ ③ $P E$ 与平面 $A B C D$ 所成角正切值的最大值为 $2 \sqrt{2}$ ④当P位于 $C_{1}$ 时，三棱锥 $P - C E F$ 的外接球体积最小

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

13. 已知一个圆锥的底面半径为2，高为1，则该圆锥的侧面积为.

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14. 平面直角坐标系中，过点 $(3 ， - 4)$ ，且在且倾斜角α满足 $sin α + cos α = - \frac{1}{5}$ ，则直线的点斜式方程为.

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15. 有一光线从点 $A (- 3 ， 5)$ 射到直线 $l ： x - y + 4 = 0$ 以后，再反射到点 $B (2 ， 7)$ ，则这条光线的反射光线所在直线的方程为.

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16. 已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的各棱长都是4，点 $E$ 是棱 $B C$ 的中点，动点 $F$ 在侧棱 $C C_{1}$ 上，且不与点 $C$ 重合，设二面角 $C - A F - E$ 的大小为 $θ$ ，则 $\tan θ$ 的最小值为.

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三、解答题

17. 已知直线 $l_{1} ： 2 x + y + 3 = 0 ， l_{2} ： x - 2 y = 0$

(1)、求直线 $l_{1}$ 关于 $x$ 轴对称的直线 $l_{3}$ 的方程，并求 $l_{2}$ 与 $l_{3}$ 的交点P；

(2)、若直线 $l$ 过点P且与直线 $l_{3}$ 垂直，求直线 $l$ 的方程.

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18. 某同学在劳动实践课上制作了一个如图所示的容器，其上半部分是一个正四棱锥，下半部分是一个长方体，已知正四棱锥 $S - A B C D$ 的高是长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 高的 $\frac{1}{2}$ ，且底面正方形 $A B C D$ 的边长为4， $A A_{1} = 2$ ．

(1)、求 $A C_{1}$ 的长及该长方体的外接球的体积；

(2)、求正四棱锥的斜高和体积．

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19. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 满足 $∠ A D C = ∠ B C D = 90 °$ ， $A D = 2 B C$ ， $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ .

(1)、设点 $E$ 为 $P A$ 的中点，证明： $B E / /$ 平面 $P D C$ ；

(2)、设平面 $P A D$ 与平面 $P B C$ 的交线为 $l$ ，证明： $l ⊥$ 平面 $P D C$ .

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20. 已知直线l： $k x - 3 y + 2 k + 3 = 0$ （k∈R）．

(1)、证明：直线l过定点；

(2)、若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；

(3)、若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．

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21. 如图：已知△PAB所在的平面与菱形ABCD所在的平面垂直，且PA＝PB＝ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ AB，∠ABC＝60°，E为AB的中点．

（Ⅰ）证明：CE⊥PA；

（Ⅱ）若F为线段PD上的点，且EF与平面PEC的夹角为45°，求平面EFC与平面PBC夹角的余弦值．

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22. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是圆内接四边形. $A D = C D = D P = 1$ ， $A B = B C = B P = \sqrt{3}$ ， $D P ⊥ A C$ .

(1)、求证：平面 $A C P ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若点 $E$ 在 $△ B C P$ 内运动，且 $A E //$ 平面 $C D P$ ，求直线 $A E$ 与平面 $B C P$ 所成角的正弦值的最大值.

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