四川省成都市郫都区2021-2022学年高二上学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2021-12-08 类型：期中考试

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一、单选题

1. 如图所示，点 $A$ 、线 $m$ 、面 $α$ 之间的数学符号语言关系为（）

A、 $m \subset α$ ， $A \in m$ B、 $m \subset α$ ， $A \notin m$ C、 $m \in α$ ， $A \notin m$ D、 $m \in α$ ， $A \in m$

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2. 已知直线l的方程为 $\sqrt{3} x + 3 y - 1 = 0$ ，则直线的倾斜角为（）

A、-30° B、60° C、150° D、120°

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3. 已知 $l ， m ， n$ 为三条不同的直线， $α ， β$ 为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）

A、若 $l ⊥ m$ ， $l ⊥ n$ ，且 $m ， n \subset α$ ，则 $l ⊥ α$ ； B、若 $m // β$ ， $n // β$ ，且 $m ， n \subset α$ ，则 $α // β$ ； C、若 $m // n$ ， $n \subset α$ ，则 $m // α$ ； D、若 $l ⊥ β$ ， $l \subset α$ ，则 $α ⊥ β$ .

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4. 在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G．该正方体截去三棱锥 $A - E F G$ 后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 圆 $A ： {(x - 3)}^{2} + y^{2} = 9$ 与圆 $B ： x^{2} + y^{2} - 8 x - 12 y + 27 = 0$ 的位置关系是（）

A、内切 B、外切 C、相交 D、相离

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6. 已知两直线 $l_{1} ： 3 x - 4 y + 4 = 0$ 和 $l_{2} ： 6 x + m y - 2 = 0$ ，若 $l_{1} / / l_{2}$ ，则 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的距离为（）

A、1 B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{6}{5}$ D、2

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7. 双曲线 $\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{24} = 1$ 的两个焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，双曲线上一点 $P$ 到 $F_{1}$ 的距离为11，则点 $P$ 到 $F_{2}$ 的距离为（）

A、1 B、21 C、1或21 D、2或21

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8. 已知直线 $a x + y - 2 + a = 0$ 在两坐标轴上的截距相等，则实数 $a =$ （）

A、1 B、-1 C、2或1 D、-2或1

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9. 如图是一个无盖的正方体盒子展开图， $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 是展开图上的四点，则在正方体盒子中， $A D$ 与平面 $A B C$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$

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10. 唐代诗人李欣的是 $《$ 古从军行 $》$ 开头两句说“百日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学故事“将军饮马”的问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为 $x^{2} + y^{2} \leq 1$ ，若将军从 $A (2 ， 0)$ 出发，河岸线所在直线方程 $x + y - 4 = 0$ ，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $2 \sqrt{5} - 1$ C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $\sqrt{10} - 1$

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11. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 在线段 $B_{1} C$ 上运动，则下列结论中不正确的是（）

A、直线 $A D_{1} ⊥$ 直线 $A_{1} P$ B、直线 $B D_{1}$ 过 $△ A_{1} C_{1} D$ 的垂心 C、三棱锥 $P - A_{1} C_{1} D$ 的体积为定值 D、异面直线 $A P$ 与 $A_{1} D$ 所成角的取值范围为 $[\frac{π}{4} ， \frac{π}{2}]$

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12. 已知定点 $F_{1} (- 2 ， 0)$ ， $F_{2} (2 ， 0)$ ， $N$ 是圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 1$ 上任意一点，点 $F_{1}$ 关于点 $N$ 的对称点为 $M$ ，线段 $F_{1} M$ 的中垂线与直线 $F_{2} M$ 相交于点 $P$ ，则点 $P$ 的轨迹是（）

A、直线 B、圆 C、椭圆 D、双曲线

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二、填空题

13. 已知 $x$ ， $y$ 满足 ${\begin{array}{l} y \leq 1 \\ x - 2 y - 2 \leq 0 \\ 2 x + y + 2 \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = 3 x - y$ 的最大值为．

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14. 过点 $A (- 5 ， - 1)$ 的直线 $l$ 与圆 ${(x + 3)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 4$ 相切，则直线 $l$ 的方程为．

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15. 在平面直角坐标系中，有 $A (0 ， 1)$ ， $B (2 ， 1)$ ， $C (3 ， 4)$ ， $D (- 1 ， a)$ 四点，若它们在同一个圆周上，则 $a =$ ．

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16. 如图所示四棱锥 $P - A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $A B / / C D$ ， $A D ⊥ A B$ ， $A B = A D = \frac{1}{2} C D = 1$ ， $\vec{A M} = 2 \vec{M P}$ ， $O \in$ 面 $A B C D$ ， $P O / /$ 平面 $M B D$ ，则 $O$ 点轨迹长度为．

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = n^{2} + 2 n$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ， ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{n}$ ．

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18.

(1)、求焦点在 $x$ 轴上，焦距等于 $4$ ，并且经过点 $(3 ， - 2 \sqrt{6})$ 的椭圆方程；

(2)、已知点 $A (- 5 ， 0)$ ， $B (5 ， 0)$ ，直线 $A M$ ， $B M$ 相交于点 $M$ ，且它们斜率之积为 $\frac{4}{9}$ ，试求点 $M$ 的轨迹方程．

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19. 设常数 $ω > 0$ ，已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin ω x \cdot \cos ω x + \cos^{2} ω x$ 的最小正周期为 $π$ .

(1)、求 $ω$ 的值；

(2)、在 $△ A B C$ 中，若 $f (C) = 1$ ，求 $\cos A + \sin (B + \frac{π}{6})$ 的取值范围.

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20. 在坐标平面 $x O y$ 中， $△ A B C$ 三个顶点坐标分别为 $A (1 ， 1)$ ， $B (2 ， 3)$ ， $C (4 ， 2)$ ．

(1)、求 $△ A B C$ 中 $B C$ 边上中垂线的一般方程；

(2)、求 $△ A B C$ 中角 $B$ 平分线的一般方程．

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21. 如图，已知 $E$ 、 $F$ 分别是正方形 $A B C D$ 边 $B C$ 、 $C D$ 的中点， $E F$ 与 $A C$ 交于点 $O$ ， $P A$ 、 $N C$ 都垂直于平面 $A B C D$ ，且 $P A = A B = 4$ ， $N C = 2$ ， $M$ 是线段 $P A$ 上一动点.

(1)、求证： $E F ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、若 $P C / /$ 平面 $M E F$ ，试求 $P M ： M A$ 的值；

(3)、当 $M$ 是 $P A$ 中点时，求二面角 $M - E F - N$ 的余弦值.

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22. 如图，已知圆 $A$ ： ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 16$ ，点 $B (1 ， 0)$ 是圆A内一个定点，点P是圆上任意一点，线段BP的垂直平分线 $l_{1}$ 和半径AP相交于点Q.当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为曲线C.

(1)、求曲线C的方程；

(2)、已知经过A的直线 $l_{2}$ 与曲线 $C$ 相交于M，N两点，求 $△ B M N$ 面积的最大值，并求出此时直线 $l_{2}$ 的方程.

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