山西省太原市2021-2022学年高二上学期数学期中质量监测试卷

试卷更新日期：2021-12-08 类型：期中考试

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一、单选题

1. 直线 $y = - x + 1$ 的倾斜角为（）

A、-45º B、45 º C、-135 º D、135 º

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2. 在空间直角坐标系中，点 $M (0 ， 1 ， 1)$ 与 $N (1 ， 2 ， - 1)$ 之间的距离为（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $\sqrt{5}$ C、2 D、 $\sqrt{3}$

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3. 椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的长轴长为（）

A、4 B、8 C、6 D、18

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4. 圆 $x^{2} + y^{2} + 6 x - 4 y = 0$ 的圆心坐标为（）

A、 $(6 ， - 4)$ B、 $(3 ， - 2)$ C、 $(- 6 ， 4)$ D、 $(- 3 ， 2)$

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5. 已知 $\vec{a} = (2 ， - 1 ， 4)$ ， $\vec{b} = (- 4 ， 2 ， x)$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则实数 $x =$ （）

A、-2 B、2 C、-8 D、8

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6. 已知直线 $A x + 3 y - 1 = 0$ 与直线 $2 x + (A - 1) y = 0$ 平行，则实数 $A =$ （）

A、-2或2 B、-3或3 C、-3或2 D、3或-2

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7. 已知平面 $α$ 经过点 $A (1 ， 1 ， 1)$ 和 $B (- 1 ， 1 ， z)$ ， $\vec{n} = (1 ， 0 ， - 1)$ 是平面 $α$ 的法向量，则实数 $z =$ （）

A、3 B、-1 C、-2 D、-3

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8. 圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 1$ 关于直线 $y = - x$ 对称的圆的方程为（）

A、 ${(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 1$ B、 ${(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ C、 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ D、 ${(x + 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 1$

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9. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $C A = 2 C C_{1} = 2 B C = 2$ ，则直线BC到平面 $A B_{1} C_{1}$ 的距离为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$

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10. 过点 $M (2 ， - 1)$ ，且经过圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y + 4 = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 4 = 0$ 的交点的圆的方程为（）

A、 $x^{2} + y^{2} + x + y - 6 = 0$ B、 $x^{2} + y^{2} + x - y - 8 = 0$ C、 $x^{2} + y^{2} - x + y - 2 = 0$ D、 $x^{2} + y^{2} - x - y - 4 = 0$

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11. 平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的各棱长均相等， $∠ B A D = 90 °$ ， $∠ D A A_{1} = ∠ A_{1} A B = 60 °$ ，则异面直线 $B D_{1}$ 与 $D A_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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12. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，其左焦点F且斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线与椭圆C相交于两点A，B，若 $\vec{A F} = 2 \vec{F B}$ ，则橢圆C的离心率为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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二、填空题

13. 直线 $x + y + 1 = 0$ 在y轴上的截距为.

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14. 椭圆 $\frac{y^{2}}{4} + \frac{x^{2}}{3} = 1$ 的焦点坐标为.

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15. 如图， $△ A D C$ 和 $△ D B C$ 所在平面垂直，且 $A D = B D = C D$ ， $∠ A D C = ∠ B D C = 120^{\circ}$ ，则直线 $A B$ 与平面 $A D C$ 所成角的正弦值为.

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16. 已知点P是直线 $3 x - 2 y - 6 = 0$ 上的动点，过点P作圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 的切线，切点分别是A，B，则直线AB恒过定点的坐标为.

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三、解答题

17. 已知 $△ A B C$ 的三个顶点 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (2 ， 0)$ ， $C (0 ， 4)$ .

(1)、求边BC上的中线所在直线的斜截式方程；

(2)、求边BC上的高所在直线的一般式方程.

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18. 如图，四面体OABC各棱的棱长都是1，D，E分别是OC，AB的中点，记 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ .

(1)、用向量 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 表示向量 $\vec{D E}$ ；

(2)、求证 $D E ⊥ A B$ .

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19. 已知圆M经过点 $A (0 ， 0)$ ， $B (2 ， 0)$ ， $C (2 ， 2)$ .

(1)、求圆M的一般方程；

(2)、求圆M与圆 $x^{2} + y^{2} = 2$ 的公共弦长.

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20. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $2$ ， $O$ 是正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的中心， $E$ 、 $F$ 分别是 $A D$ 、 $C D$ 的中点.

(1)、求证： $D_{1} F //$ 平面 $O B C$ ；

(2)、求直线 $D_{1} E$ 与平面 $O B C$ 所成角的正弦值.

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21. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，O是正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的中心，E，F分别是AD，CD的中点.

(1)、求证： $D_{1} F / /$ 平面 $O B C$ ；

(2)、求平面 $D_{1} E F$ 与平面 $O B C$ 夹角的余弦值.

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22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的短轴长为 $2 \sqrt{3}$ ，其离心率是 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求橢圆 $C$ 的方程；

(2)、若过点 $P (0 ， 1)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于两个不同的点 $M$ 、 $N$ ，且 $| M N | = \frac{24}{7}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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23. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率是 $\frac{1}{2}$ ，且点 $E (1 ， \frac{3}{2})$ 在椭圆 $C$ 上.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若过点 $P (0 ， 1)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于两个不同的点 $M$ 、 $N$ ，且 $| M N | = \frac{24}{7}$ ，求 $△ O M N$ （ $O$ 是坐标原点）的面积.

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