山西省怀仁市2021-2022学年高二上学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2021-12-08 类型：期中考试

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一、单选题

1. 过两点 $A (0 ， y)$ ， $B (2 \sqrt{3} ， - 3)$ 的直线的倾斜角为60°，则 $y =$ （）

A、-9 B、-3 C、5 D、6

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2. 过点 $M (2 ， - 3)$ 且与直线 $x + 2 y - 9 = 0$ 垂直的直线方程是（）

A、 $2 x - y + 8 = 0$ B、 $2 x - y - 7 = 0$ C、 $x + 2 y + 4 = 0$ D、 $x + 2 y - 1 = 0$

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3. 已知圆的方程为 $x^{2} + y^{2} - 4 x - 1 = 0$ 则下列选项不正确的是（）

A、关于点 $(2 ， 0)$ 对称 B、关于直线 $y = 0$ 对称 C、关于直线 $x + 3 y - 2 = 0$ 对称 D、关于直线 $x - y + 2 = 0$ 对称

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4. 如果向量 $\vec{a} = (2 ， - 1 ， 3)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， 4 ， 2)$ ， $\vec{c} = (1 ， - 1 ， m)$ 共面，则实数 $m$ 的值是（）

A、-1 B、1 C、-5 D、5

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5. 若平面α∥β，且平面α的一个法向量为 $\vec{n}$ ＝ $(- 2 ， 1 ， \frac{1}{2})$ ，则平面β的法向量可以是（）

A、 $(- 1 ， \frac{1}{2} ， \frac{1}{4})$ B、(2，－1，0) C、(1，2，0) D、 $(\frac{1}{2} ， 1 ， 2)$

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6. 设双曲线 $C ： \frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的实轴长为8，一条渐近线为 $y = \frac{4}{3} x$ ，则双曲线的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{64} - \frac{y^{2}}{36} = 1$ B、 $\frac{y^{2}}{36} - \frac{x^{2}}{64} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ D、 $\frac{y^{2}}{16} - \frac{x^{2}}{9} = 1$

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7. 已知直线 $\sqrt{3} x + y - 1 = 0$ 与直线 $2 \sqrt{3} x + m y + 3 = 0$ 平行，则它们之间的距离是（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、1 C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{3}{2}$

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8. 如图在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为1的正方形，侧棱 $A A_{1} = 2$ 且 $∠ A_{1} A D = ∠ A_{1} A B = 60 °$ ，则 $A C_{1} =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{14}$

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9. 已知圆 $x^{2} + y^{2} - 6 x = 0$ ，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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10. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1$ 的左右焦点，过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与曲线 $C$ 的右支交于 $A ， B$ 两点，则 $△ A F_{1} B$ 的周长的最小值为（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、 $5 \sqrt{2}$ C、 $6 \sqrt{2}$ D、 $7 \sqrt{2}$

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11. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ ，直线 $y = x$ 与椭圆相交于 $A$ ， $B$ 两点，若椭圆上存在异于 $A$ ， $B$ 两点的点 $P$ 使得 $k_{P A} \cdot k_{P B} \in (- \frac{1}{3} ， 0)$ ，则离心率 $e$ 的取值范围为（）

A、 $(0 ， \frac{\sqrt{6}}{3})$ B、 $(\frac{\sqrt{6}}{3} ， 1)$ C、 $(0 ， \frac{2}{3})$ D、 $(\frac{2}{3} ， 1)$

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12. 设 $F_{1}$ , $F_{2}$ 是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0, b > 0$ ）的左、右焦点， $O$ 是坐标原点．过 $F_{2}$ 作 $C$ 的一条渐近线的垂线，垂足为 $P$ ．若 $| P F_{1} | = \sqrt{6} | O P |$ ，则 $C$ 的离心率为

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2$ D、 $\sqrt{2}$

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二、填空题

13. 已知直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{m} = (1$ ， $\sqrt{2}$ ， $- 1)$ ，若点 $P (- 1$ ，1， $- 1)$ 为直线 $l$ 外一点， $A (4$ ，1， $- 2)$ 为直线 $l$ 上一点，则 $P$ 到直线 $l$ 上的距离为．

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14. 若方程 $\frac{x^{2}}{4 - t} + \frac{y^{2}}{t - 1} = 1$ 所表示的曲线为C，给出下列命题：
①若C为椭圆，则实数t的取值范围为 $(1 ， 4)$ ；

②若C为双曲线，则实数t的取值范围为 $(- \infty ， 1) \cup (4 ， + \infty)$ ；

③曲线C不可能是圆；

④若C为椭圆，且长轴在x轴上，则实数t的取值范围为 $(1 ， \frac{5}{2})$ ，其中真命题的序号为．（把所有正确命题的序号都填在横线上）

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15. 已知中心在原点，焦点坐标为 $(0 ， \pm 5 \sqrt{2})$ 的椭圆截直线 $3 x - y - 2 = 0$ 所得的弦的中点的横坐标为 $\frac{1}{2}$ ，则该椭圆的方程为．

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16. 已知点 $A (m ， m + 6)$ ， $B (m + 2 ， m + 8)$ ，若圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y - 10 = 0$ 上存在不同的两点 $P$ ， $Q$ ，使得 $P A ⊥ P B$ ，且 $Q A ⊥ Q B$ ，则 $m$ 的取值范围是．

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三、解答题

17.

(1)、已知椭圆C的两焦点分别为 $F_{1} (- \sqrt{3} ， 0) ， F_{2} (\sqrt{3} ， 0)$ ，且经过点 $P (\sqrt{3} ， \frac{1}{2})$ ，求椭圆C的标准方程.

(2)、求与双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{6} = 1$ 有相同渐近线，且右焦点为 $(\sqrt{5} ， 0)$ 的双曲线方程.

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18. 已知直线 $l$ 经过点 $P (- 2 ， - 3)$ ．

(1)、若原点到直线 $l$ 的距离为2，求直线 $l$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ 被两条相交直线 $2 x - y - 2 = 0$ 和 $x + y - 1 = 0$ 所截得的线段恰被点 $P$ 平分，求直线 $l$ 的方程．

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19. 如图，已知 $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为正方形， $P A = A D = A B = 2$ ， $M ， N$ 分别为 $A B ， P C$ 的中点．

(1)、求证： $M N ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求 $P D$ 与平面 $P M C$ 所成角的正弦值．

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20. 已知圆 $C$ 的圆心在直线 $x - 2 y = 0$ 上，且与 $y$ 轴相切于点 $(0 ， 1)$ .
（Ⅰ）求圆 $C$ 的方程；

（Ⅱ）若圆 $C$ 与直线 $l$ ： $x - y + m = 0$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，______，求 $m$ 的值.从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①： $∠ A C B = 120 °$ ；条件②： $| A B | = 2 \sqrt{3}$ .注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.

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21. 如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，点 $D$ 是棱 $B_{1} C_{1}$ 的中点.

（Ⅰ）求证： $A C_{1} / /$ 平面 $A_{1} B D$ ；

（Ⅱ）若 $A B = A C = \sqrt{2}$ ， $B C = B B_{1} = 2$ ，在棱 $A C$ 上是否存在点 $M$ ，使二面角 $B - A_{1} D - M$ 的大小为 $45 °$ ，若存在，求出 $\frac{A M}{A C}$ 的值；若不存在，说明理由.

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22. 已知定圆 $A ： {(x + \sqrt{3})}^{2} + y^{2} = 16$ ，动圆M过点 $B (\sqrt{3} ， 0)$ ，且和圆A相切．

(1)、求动圆圆心M的轨迹E的方程；

(2)、设不垂直于x轴的直线l与轨迹E交于不同的两点P、Q，点 $N (4 ， 0)$ ．若P、Q、N三点不共线，且 $∠ O N P = ∠ O N Q$ ．证明：动直线PQ经过定点．

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