山东省烟台市2021-2022学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-12-08 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， - 1 ， 3)$ ， $\vec{b} = (λ ， μ ， - 2)$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $λ + μ =$ （）

A、2 B、 $\frac{2}{3}$ C、-2 D、 $- \frac{2}{3}$

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2. 已知直线 $l_{1} ： (a^{2} - 1) x + 2 y = 0$ 与直线 $l_{2} ： x + (a - 1) y + 4 = 0$ 垂直，则实数a的值为（）

A、 $a = 1$ B、 $a = - 3$ C、 $a = 1$ 或 $a = - 3$ D、不存在

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3. 如果AB>0，BC>0，那么直线Ax-By-C=0不经过的象限是 ( )

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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4. 如图，在三棱锥 $S - A B C$ 中，点E，F分别是 $S A$ ， $B C$ 的中点，点G满足 $\vec{E G} = \frac{1}{3} \vec{E F}$ ，若 $\vec{S A} = \vec{a}$ ， $\vec{S B} = \vec{b}$ ， $\vec{S C} = \vec{c}$ ，则 $\vec{B G} =$ （）

A、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{5}{6} \vec{b} + \frac{1}{6} \vec{c}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{a} - \frac{5}{6} \vec{b} + \frac{1}{6} \vec{c}$ C、 $- \frac{1}{3} \vec{a} - \frac{1}{6} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $\frac{1}{3} \vec{a} - \frac{1}{6} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$

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5. 已知空间向量 $\vec{a} = (2 ， - 2 ， - 1)$ ， $\vec{b} = (3 ， 0 ， 1)$ ，则向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量是（）

A、 $(\frac{10}{9} ， - \frac{10}{9} ， - \frac{5}{9})$ B、 $(\frac{10}{3} ， - \frac{10}{3} ， - \frac{5}{3})$ C、 $(\frac{3}{2} ， 0 ， \frac{1}{2})$ D、 $(\frac{3 \sqrt{10}}{2} ， 0 ， \frac{\sqrt{10}}{2})$

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6. 已知圆 $C_{1} ： {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ 上有三个点到直线 $l ： y = x + m$ 的距离等于1，则 $m$ 的值为（）

A、 $\pm \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、±1 D、1

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7. 我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（ $chu meng$ ）是指底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体．如图，五面体 $A B C D E F$ 是一个刍甍，其中 $△ B C F$ 是正三角形，平面 $B C F ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B = 2 B C = 2 E F$ ，则直线 $B F$ 与直线 $D E$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{1}{4}$

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8. 已知直角 $△ A B C$ 的斜边长为4，以斜边 $B C$ 的中点O为圆心作半径为3的圆交直线 $B C$ 于M，N两点，则 ${| A M |}^{2} + {| A N |}^{2} + {| M N |}^{2}$ 的值为（）

A、78 B、72 C、68 D、62

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二、多选题

9. 下列说法正确的是（）

A、任意两个空间向量都共面 B、若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 共线，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 所在直线平行 C、在空间直角坐标系 $O x y z$ 中，点 $A (- 2 ， 1 ， 3)$ 关于z轴的对称点坐标为 $(2 ， - 1 ， 3)$ D、已知空间中向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，则对于空间中任意一个向量 $\vec{P}$ 总存在实数x，y，z，使得 $\vec{P} = x \vec{a} + y \vec{b} + z \vec{c}$

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10. 下列说法正确的有（）

A、若直线的倾斜角为 $α$ ，则直线的斜率为 $\tan α$ B、点 $(- 1 ， 2)$ 关于直线 $y = x + 1$ 的对称点为 $(1 ， 0)$ C、圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = r^{2} (r > 0)$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 16$ 可能内含、内切或相交 D、若圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} = 1$ 与圆 $C_{2} ： {(x - 3)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = r^{2} (r > 0)$ 相离，则 $0 < r < 4$

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11. 平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $P (3 ， 6)$ ，圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 9$ 与x轴的正半轴交于点Q，则（）

A、点P到圆O上的点的距离最大值为 $3 \sqrt{5} + 3$ B、过点P且斜率为1的直线被圆O截得的弦长为 $3 \sqrt{2}$ C、过点P与圆O相切的直线方程为 $3 x - 4 y + 15 = 0$ D、过点P的直线与圆O交于不同的两点A，B，则直线 $Q A$ ， $Q B$ 的斜率之和为定值-1

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12. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2 A D = 2 A A_{1} = 2$ ，点P满足 $\vec{A_{1} P} = x \vec{A_{1} D_{1}} + y \vec{A_{1} A} + z \vec{A_{1} B_{1}}$ ， $x \in (0 ， 1]$ ， $y \in (0 ， 1]$ ， $z \in (0 ， 1]$ ，则下列结论正确的有（）

A、当 $x = y = z$ 时， $A_{1} P ⊥ B D$ B、当 $x + y + z = 1$ 时， $D_{1} P //$ 平面 $B D C_{1}$ C、当 $x = \frac{1}{2}$ ， $y = z$ 时，三棱锥 $C - D P D_{1}$ 的体积为定值 D、当 $x + y = 1$ ， $y = z$ 时， $D_{1} P$ 与平面 $A_{1} D_{1} D A$ 所成角的正切值为 $\sqrt{2}$

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三、填空题

13. 过不同两点 $A (m^{2} + 2 ， m^{2} - 3)$ ， $B (3 - m - m^{2} ， 2 m)$ 的直线l的一个方向向量坐标为 $(1 ， 1)$ ，则实数m的值为．

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14. 在棱长为 $2$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，直线 $A C$ 到平面 $A_{1} B C_{1}$ 的距离为．

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15. 一束光线从点 $A (2 ， 3)$ 射出，经y轴反射后，与圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 y + 12 = 0$ 相交，则反射光线所在直线的斜率k的取值范围是．

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16. 如图，教室里悬挂着日光灯 $A B$ ， $A B = 80 cm$ ，灯线 $A C = B D = 50 cm$ ，将灯管绕着 $A B$ 中点O的铅垂线 $O O^{'}$ 顺时针旋转60°至 $A^{'} B^{'}$ ，且始终保持灯线绷紧，则旋转后灯管升高的高度为cm．

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四、解答题

17. 如图，在四面体 $A B C D$ 中，E，F，G，H分别是 $A B$ ， $B C$ ， $C D$ ， $D A$ 的中点．

(1)、若 $A C = A D$ ， $∠ B A C = ∠ B A D$ ，求证： $A B ⊥ C D$ ；

(2)、设 $E G \cap F H = M$ ，O为空间中任意一点，求证： $\vec{O M} = \frac{1}{4} (\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D})$ ．

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18. 已知圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} + 2 x + 4 y = 0$ ，圆 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y - 4 = 0$ ．

(1)、证明：圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 相交，并求出圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 的公共弦所在直线l的方程；

(2)、过直线l上一点 $P (- 2 ， t)$ 作圆 $C_{2}$ 的切线，切点分别为A，B，求四边形 $P A C_{2} B$ 的面积．

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19. 如图，平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M，N分别为 $C_{1} D_{1}$ ， $A A_{1}$ 的中点．

(1)、证明： $A_{1} M //$ 平面 $N C D_{1}$ ；

(2)、若四边形 $A B C D$ 和 $C D D_{1} C_{1}$ 均为正方形， $A A_{1}$ 与平面 $A B C D$ 所成的角为 $\frac{π}{3}$ ，求平面 $A B C D$ 与平面 $N C D_{1}$ 夹角的余弦值．

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20. 在直角坐标系 $x O y$ 中，线段 $| M N | = 4$ ，且两个端点M、N分别在x轴和y轴上滑动．

(1)、求线段 $M N$ 的中点C的轨迹方程；

(2)、若直线 $l ： (2 m + 1) x + (m + 1) y - 3 m - 2 = 0$ ．
①证明直线l与曲线C恒有两个不同交点；

②求直线l被曲线C截得的最短弦长．

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21. 如图，边长为 $2$ 的菱形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = 60^{\circ}$ ， $E ， F$ 分别为 $A B ， A D$ 的中点，沿 $D E$ 将 $△ A D E$ 折起，使得平面 $A D E ⊥$ 平面 $B C D E$ ．

(1)、证明：平面 $A D E ⊥$ 平面 $A C D$ ；

(2)、在棱 $B C$ 上是否存在一点 $G$ ，使得直线 $F G$ 与平面 $B C D E$ 所成的角最大？若存在，求 $B G$ 的长度，若不存在，说明理由．

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22. 已知圆 $C ： x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ ，点 $P (2 ， \frac{1}{2})$ ，过x轴下方一点Q作圆C的切线与x轴分别交于 $M (t ， 0)$ ， $N (t - \frac{3}{2} ， 0) (0 < t < \frac{3}{2})$ 两点．

(1)、过点P的直线l被圆C截得的弦长为 $\sqrt{3}$ ，求直线l的方程；

(2)、当 $t = \frac{1}{2}$ 时，求点Q的坐标；

(3)、求 $△ Q M N$ 面积的最大值．

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