山东省泰安市肥城市2021-2022学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-12-08 类型：期中考试

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一、单选题

1. 直线 $3 x + 2 y - 1 = 0$ 的一个方向向量是（）

A、 $(2 ， - 3)$ B、 $(2 ， 3)$ C、 $(- 3 ， 2)$ D、 $(3 ， 2)$

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2. 过 $A (\sqrt{3} ， 1) ， B (2 \sqrt{3} ， 4)$ 两点的直线的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2 ， - y) ， \vec{b} = (x ， 1 ， 2)$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $x y =$ （）

A、-2 B、- $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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4. 已知 $A ， B ， C$ 三点不共线， $O$ 为平面 $A B C$ 外一点，若由 $\vec{O M} = 3 \vec{O A} - \vec{O B} + λ \vec{O C}$ 确定的点 $M$ 与 $A ， B ， C$ 共面，则 $λ$ 的值为（）

A、-2 B、-1 C、1 D、2

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5. 已知异面直线 $a ， b$ 的方向向量分别是 $\vec{m} = (2 ， 1 ， - 3) ， \vec{n} = (1 ， - 3 ， 2)$ ，则 $a ， b$ 夹角的大小是（）

A、 $\frac{5 π}{6}$ B、 $\frac{3 π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{6}$

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6. 过点 $P (4 ， 3)$ 作圆 $C ： x^{2} + 6 x + y^{2} + 5 = 0$ 的切线，则切线的长为（）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{58}$ C、 $3 \sqrt{6}$ D、 $\sqrt{62}$

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7. 瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线. 已知 $△ A B C$ 的顶点 $A (4 ， 0) ， B (0 ， 2) ， C (0 ， - 3)$ ，则 $△ A B C$ 欧拉线的方程为（）

A、 $x + 2 y - 3 = 0$ B、 $2 x + y - 3 = 0$ C、 $x - 2 y - 3 = 0$ D、 $2 x - y - 3 = 0$

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8. 设点 $P (x ， y)$ 是曲线 $y = - \sqrt{4 - {(x - 1)}^{2}}$ 上的任意一点，则 $\frac{y - 2}{x - 4}$ 的取值范围是（）

A、 $[0 ， \frac{12}{5}]$ B、 $[\frac{2}{5} ， \frac{12}{5}]$ C、 $[0 ， 2]$ D、 $[\frac{2}{5} ， 2]$

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二、多选题

9. 已知点 $P_{0} (1 ， 2 ， 3)$ 在平面 $α$ 内，平面 $α = {P | \overset{⇀}{n} \cdot \overset{⇀}{P_{0} P} = 0}$ ，其中 $\vec{n} = (1 ， 1 ， 1)$ 是平面 $α$ 的一个法向量，则下列各点在平面 $α$ 内的是（）

A、 $(2 ， - 4 ， 8)$ B、 $(3 ， 4 ， 5)$ C、 $(3 ， 2 ， 1)$ D、 $(- 2 ， 5 ， 4)$

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10. 已知直线 $l_{1} ： a x + 2 y + 3 a = 0$ 和直线 $l_{2} ： 3 x + (a - 1) y + 7 - a = 0$ ，下列说法正确的是（）

A、当 $a = 3$ 时， $l_{1} / / l_{2}$ B、当 $a = - 2$ 时， $l_{1} / / l_{2}$ C、当 $a = \frac{2}{5}$ 时， $l_{1} ⊥ l_{2}$ D、直线 $l_{1}$ 过定点 $(- 3 ， 0)$ ，直线 $l_{2}$ 过定点 $(- 2 ， 1)$

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11. 若圆 $O ： x^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 上恰有相异两点到直线 $x - y - 4 = 0$ 的距离等于 $\sqrt{2}$ ，则 $r$ 的取值可以是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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12. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，点 $P$ 是线段 $B C_{1}$ 的中点，点 $M 、 N$ 是线段 $B_{1} D_{1}$ 上的动点，则下列结论正确的是（）

A、点 $A$ 到直线 $A_{1} P$ 的距离为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $A D_{1}$ 与平面 $B M N$ 所成角为 $\frac{π}{6}$ C、 $A_{1} P / /$ 面 $A C D_{1}$ D、三棱柱 $A A_{1} D_{1} - B B_{1} C_{1}$ 的外接球半径为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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三、填空题

13. 圆O₁：x²＋y²－2x＝0与圆O₂：x²＋y²－4y＝0的位置关系是

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14. 经过点 $P (2 ， 3)$ ，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线l的方程为．

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15. 已知四面体 $O A B C ， M ， N$ 分别是 $B C ， O A$ 的中点，且 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，则用 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 表示向量 $\vec{M N} =$ ．

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16. 已知动点 $M$ 与两个定点 $O (0 ， 0)$ ， $A (3 ， 0)$ 的距离之比为 $\frac{1}{2}$ ，则动点 $M$ 的轨迹方程是， $△ O A M$ 面积的最大值是.

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四、解答题

17. 已知空间三点 $A (- 2 ， 0 ， 1) ， B (- 1 ， 1 ， 1) ， C (- 3 ， 0 ， 3)$ ，设 $\vec{a} = \vec{A B}$ ， $\vec{b} = \vec{A C}$ .

(1)、若向量 $\vec{a} + k \vec{b}$ 与 $k \vec{a} - 2 \vec{b}$ 互相垂直，求 $k$ 的值；

(2)、求向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量 $\vec{c}$ .

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18. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $C C_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $D ， E ， F ， G$ 分别为 $A A_{1}$ ， $A C$ ， $A_{1} C_{1}$ ， $B B_{1}$ 的中点， $A B = B C = \sqrt{5}$ ， $A C = A A_{1} = 2$ .

(1)、证明： $A C ⊥$ 平面 $B E F$ ；

(2)、求点 $G$ 到平面 $B C D$ 的距离.

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19. 已知 $△ A B C$ 的顶点 $A (1 ， 3) ， B (3 ， 1)$ .

(1)、求直线 $A B$ 的方程；

(2)、若边 $A B$ 上的中线 $C M$ 所在直线方程为 $2 x - 3 y + p = 0$ ，且 $△ A B C$ 的面积为5，求顶点 $C$ 的坐标．

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20. 已知圆 $C$ 的圆心在 $x$ 轴的正半轴上，与 $y$ 轴相切，并且被直线 $x - y = 0$ 截得的弦长为 $\sqrt{2}$ .

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、过点 $P (3 ， 1)$ 作圆 $C$ 的两条切线，切点分别为 $A ， B$ ，求直线 $A B$ 的方程.

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21. 在四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为长方形， $S B ⊥$ 平面 $A B C D$ ，其中 $B S = B A = 2$ ， $B C = λ$ ，且线段 $C D$ 上存在点 $E$ ，使得 $A E ⊥ S E$ .

(1)、求 $λ$ 的取值范围；

(2)、当 $λ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 时，线段 $C D$ 上满足 $A E ⊥ S E$ 的点 $E$ 有两个，分别记为 $E_{1} ， E_{2}$ ，求平面 $B S E_{1}$ 与平面 $B S E_{2}$ 夹角的大小.

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22. 已知在 $△ A B C$ 中，点 $A (- \sqrt{2} ， \sqrt{2})$ ， $B (\sqrt{2} ， \sqrt{2})$ ，点 $C$ 在直线 $A B$ 下方，且 $∠ A C B = \frac{π}{4}$ .

(1)、求 $△ A B C$ 的外接圆 $H$ 的方程；

(2)、过点 $M (1 ， 0)$ 的直线与圆 $H$ 交于 $P$ 、 $Q$ 两点（ $P$ 在 $x$ 轴上方），在 $x$ 轴上是否存在定点 $N$ ，使得 $x$ 轴平分 $∠ P N Q$ ？若存在，请求出点 $N$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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