山东省枣庄市峄城区2021-2022学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2021-12-08 类型：期中考试

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一、单选题

1. 如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节 $A E$ 间的距离，若 $A E$ 间的距离调节到60 $c m$ ，菱形的边长 $A B = 20 c m$ ，则 $∠ D A B$ 的度数是（）

A、 $90 °$ B、 $100 °$ C、 $120 °$ D、 $150 °$

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2. 下列命题是真命题的是（）

A、对角线互相垂直平分的四边形是正方形 B、对角线相等的四边形是平行四边形 C、对角线互相垂直的四边形是菱形 D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形

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3. 如图，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中， $∠ P M N = 30 °$ ，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，MN与BD交于点O，且点O为MN的中点，则 $∠ A M P$ 的度数为（）

A、60° B、65° C、75° D、80°

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4. 用配方法解方程 $x^{2} + 4 x + 1 = 0$ 时，配方结果正确的是（）

A、 ${(x - 2)}^{2} = 5$ B、 ${(x - 2)}^{2} = 3$ C、 ${(x + 2)}^{2} = 5$ D、 ${(x + 2)}^{2} = 3$

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5. 对于一元二次方程 $2 x^{2} - 3 x + 4 = 0$ ，则它根的情况为（）

A、没有实数根 B、两根之和是3 C、两根之积是-2 D、有两个不相等的实数根

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6. 已知方程 $x^{2} - 2021 x + 1 = 0$ 的两根分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $x_{1}^{2} - \frac{2021}{x_{2}}$ 的值为（）

A、1 B、-1 C、2021 D、-2021

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7. 若直角三角形的两边长分别是方程 $x^{2} - 7 x + 12 = 0$ 的两根，则该直角三角形的面积是（）

A、6 B、12 C、12或 $\frac{3 \sqrt{7}}{2}$ D、6或 $\frac{3 \sqrt{7}}{2}$

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8. 如图， $D 、 E$ 分别是 $△ A B C$ 边 $A B ， A C$ 上的点， $∠ A D E = ∠ A C B$ ，若 $A D = 2 ， A B = 6 ， A C = 4$ ，则 $A E$ 的长是（）．

A、1 B、2 C、3 D、4

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9. 下列说法中，正确的是（）

A、若点M是 $A B$ 上一点，且满足 $A M^{2} = A B \cdot B M$ ，则M是 $A B$ 的黄金分割点 B、所有的菱形都相似 C、所有的矩形都相似 D、所有的等腰三角形都相似

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10. 图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面 $A B =$ （）

A、 $1 cm$ B、 $2 cm$ C、 $3 cm$ D、 $4 cm$

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11. 如图，在平面直角坐标系中，将 $△ O A B$ 以原点O为位似中心放大后得到 $△ O C D$ ，若 $B (0 ， 1)$ ， $D (0 ， 3)$ ，则 $△ O A B$ 与 $△ O C D$ 的相似比是（）

A、2：1 B、1：2 C、3：1 D、1：3

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12. 现有4张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同．把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的概率是（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $\frac{1}{10}$ D、 $\frac{1}{12}$

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二、填空题

13. 如图，菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C ， B D$ 相交于点O，点E是边 $A B$ 的中点，若 $O E = 5.5$ ，则菱形 $A B C D$ 的周长为．

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14. 《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈．问门高、宽各是多少？（1丈＝10尺，1尺＝10寸）如图，设门高 $A B$ 为 $x$ 尺，根据题意，可列方程为．

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15. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，过点B作 $B D ⊥ C B$ ，垂足为B，且 $B D = 3$ ，连接CD，与AB相交于点M，过点M作 $M N ⊥ C B$ ，垂足为N．若 $A C = 2$ ，则MN的长为．

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16. 如图，在实验桌上有完全相同的烧杯内装有体积相同且无色透明的3种液体，其中1杯酒精，3杯生理盐水，2杯白糖水，从中任取一杯为白糖水的概率是．

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17. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A D ⊥ B C$ ，垂足为 $D$ ， $A D = 5$ ， $B C = 10$ ，四边形 $E F G H$ 和四边形 $H G N M$ 均为正方形，且点 $E$ 、 $F$ 、 $G$ 、 $H$ 、 $N$ 、 $M$ 都在 $△ A B C$ 的边上，那么 $△ A E M$ 与四边形 $B C M E$ 的面积比为．

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18. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F在CD上，且CF=3DF，AE，BF相交于点G，则△AGF的面积是.

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三、解答题

19. 小敏与小霞两位同学解方程

3 (x - 3) = {(x - 3)}^{2}

的过程如下框：

小敏：

两边同除以 $(x - 3)$ ，得

$3 = x - 3$ ，

则 $x = 6$ ．

小霞：

移项，得 $3 (x - 3) - {(x - 3)}^{2} = 0$ ，

提取公因式，得 $(x - 3) (3 - x - 3) = 0$ ．

则 $x - 3 = 0$ 或 $3 - x - 3 = 0$ ，

解得 $x_{1} = 3$ ， $x_{2} = 0$ ．

你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．

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20. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 2 m x + m^{2} + m = 0$ 有实数根.

(1)、求 $m$ 的取值范围；

(2)、若该方程的两个实数根分别为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，且 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 12$ ，求 $m$ 的值.

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中，D在 $A C$ 上， $D E // B C$ ， $D F // A B$ .

(1)、求证： $△ D F C$ ∽ $△ A E D$ ；

(2)、若 $C D = \frac{1}{3} A C$ ，求 $\frac{S_{△ D F C}}{S_{△ A E D}}$ 的值.

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22. 某博物馆展厅的俯视示意图如图1所示，嘉淇进入展厅后开始自由参观，每走到一个十字道口，她自己可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可能性均相同．

(1)、求嘉淇走到十字道口 $A$ 向北走的概率；

(2)、补全图2的树状图，并分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大．

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23. 如图，矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点 $O$ ，且 $D E / / A C$ ， $A E / / B D$ ，连接 $O E$ .求证： $O E ⊥ A D$ .

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24. “杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水箱亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标．

(1)、如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；

(2)、按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现．

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25. 如图，点M， $N$ 分别在正方形 $A B C D$ 的边 $B C$ ， $C D$ 上，且 $∠ M A N = 45 °$ ，把 $△ A D N$ 绕点A顺时针旋转 $90 °$ 得到 $△ A B E$ .

(1)、求证： $△ A E M$ ≌ $△ A N M$ .

(2)、若 $B M = 3$ ， $D N = 2$ ，求正方形 $A B C D$ 的边长.

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