山东省青岛市胶州市2021-2022学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2021-12-08 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列各组中的四条线段成比例的是（）

A、1，1，2，3 B、1，2，3，4 C、2，3，4，5 D、2，3，6，9

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2. 下列式子是一元二次方程的是（）

A、 $x^{2} - 2 x - 3$ B、 $x^{2} + 1 = y$ C、 $5 - x (x - 1) = 5$ D、 $2 x - 1 = 0$

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3. “十一”长假期间，某玩具超市设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘，开展有奖购买活动，顾客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应奖品．下表是该活动的一组统计数据：

转动转盘的次数n	100	150	200	500	800	1000
落在“铅笔”区域的次数m	68	108	140	355	560	690
落在“铅笔”区域的频率 $\frac{m}{n}$	0.68	0.72	0.70	0.71	0.70	0.69

下列说法错误的是（）

A、转动转盘20次，一定有6次获得“文具盒”铅笔文具盒 B、转动转盘一次，获得“铅笔”的概率大约是0.70 C、再转动转盘100次，指针落在“铅笔”区域的次数不一定是68次 D、如果转动转盘3000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有900次

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4. 如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得 $A C = 10$ km， $B C = 24$ km，则M，C两点之间的距离为（）

A、10km B、12km C、13km D、26km

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5. 如图，在平行四边形ABCD中，EF//AB交AD于点E，交BD于点F， $D E ： E A = 3 ： 4$ ， $E F = 3$ ，则CD的长为（）

A、12 B、7 C、4 D、3

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6. 定义运算： $m ☆ n = m n^{2} - m n - 1$ .例如 $: 4 ☆ 2 = 4 \times 2^{2} - 4 \times 2 - 1 = 7$ .则方程 $1 ☆ x = 0$ 的根的情况为（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、无实数根 D、只有一个实数根

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7. 如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（）

A、平行四边形→正方形→平行四边形→矩形 B、平行四边形→菱形→平行四边形→矩形 C、平行四边形→正方形→菱形→矩形 D、平行四边形→菱形→正方形→矩形

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8. 如图，在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{°}$ ，以其三边为边向外作正方形，延长EA交BG于点M，连接IM交BC于点N，若M是BG的中点，则 $\frac{I N}{I M}$ 的值是（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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二、填空题

9. 在学校举办的“美德少年”评选活动中，九年级一班有甲，乙，丙，丁共4名学生获奖．班主任决定在这4名获奖学生中随机选出2名学生在班级进行主题演讲，则甲被选中的概率为．

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10. 如图，C，D是线段AB的两个黄金分割点，且 $A D = \sqrt{5} - 1$ ，则线段CD的长为米．

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11. 某厂家2020年1~5月份的口罩产量统计如图所示，设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的月平均增长率为 $x$ ，根据题意可得方程．

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12. 如图，在△ABC中， $∠ A C D = ∠ B$ ， $A D = 1$ ， $B D = 3$ ，则AC= ．

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13. 如图在菱形 $A B C D$ 中， $P$ 是对角线 $A C$ 上一动点过点 $P$ 作 $P E ⊥ B C$ 于 $E$ ． $P F ⊥ A B$ 于点 $F$ ．若菱形 $A B C D$ 的周长为 $20$ ，面积为 $24$ ，则 $P E + P F$ 的值为．

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14. 如图，已知直线 $l ： y = x$ ，过点 $A_{1} (1 ， 0)$ 作x轴的垂线交直线l于点 $B_{1}$ ，以 $A_{1} B_{1}$ 为边作正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} A_{2}$ ，过点 $A_{2}$ 作x轴的垂线交直线l于点 $B_{2}$ ，以 $A_{2} B_{2}$ 为边作正方形 $A_{2} B_{2} C_{2} A_{3}$ ，…；则点 $C_{n}$ 的坐标为.

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三、解答题

15. 已知如图，线段a．
求作：菱形ABCD，使该菱形边长和其中一条对角线长都为a．

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16.

(1)、用配方法解方程： $x^{2} - 2 x - 8 = 0$ ；

(2)、若关于x的一元二次方程 $(k - 1) x^{2} + 3 x + k^{2} - 1 = 0$ 有一个解为 $x = 0$ ，求k的值．

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17. 如图，四边形ABCD的对角线互相平分，请你添加一个条件使之变为菱形，并说明理由．

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18. 有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标有数字2，4，6；另有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字1，3，5的三个完全相同的小球．小明先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字（若指针指在分界线上则重转），小刚再从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数字．若得到的两数字之和是3的倍数，则小明赢；若得到的两数字之和是7的倍数，则小刚赢，你认为这个游戏公平吗？请说明理由．

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19. 某小区在绿化工程中有一块长为 $18 m$ ，宽为 $6 m$ 的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为 $60 m^{2}$ ，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），求人行通道的宽度．

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20. 如图，在 $△ A B C$ 中， $B C = 6$ ，D为AC延长线上一点， $A C = 3 C D$ ， $∠ C B D = ∠ A$ ，过点D作DE//AB交BC的延长线于点E．

(1)、求证： $△ E C D ∽ △ E D B$ ；

(2)、求DE的长度．

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21. 已知：如图，在▱ABCD中，点E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF．

(1)、求证：△ABE≌△FCE；

(2)、若AF＝AD，判断四边形ABFC的形状，并说明理由．

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22. 在“乡村振兴”行动中，某村办企业开发了一种成本价为50元/盒的有机产品，如果每盒的售价为60元时，每天可以销售200盒，通过市场调查发现，每盒售价每提高1元，每天少卖出10盒．该村办企业要想每天获得2240元利润，该有机产品的售价可以定为多少元/盒？

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23. 问题提出：
将正m边形（ $m ⩾ 3$ ）不断向外扩展，每扩展一个，正m边形每条边上的点的个数（以下简称“点数”）就增加一个，则n个正m边形的点数总共有多少个？

问题探究：

为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手：

探究一：n个正三角形的点数总共有多少个？

如图1-1，1个正三角形的点数总共有 $1 + 2 = 3$ 个；

如图1-2，2个正三角形的点数总共有 $1 + 2 + 3 = 6$ 个；

如图1-3，3个正三角形的点数总共有 $1 + 2 + 3 + 4 = 10$ 个；

……

n个正三角形的点数总共有 $1 + 2 + \dots + (n + 1) = \frac{(n + 1) (n + 2)}{2} = (n + 1) \times \frac{1}{2} (n + 2)$ 个．

探究二：n个正四边形的点数总共有多少个？

如图2-1，连接AC，得到两个三角形△ABC和△ADC，这两个三角形相同之处在于，BC边与CD边都有相同个数的点，即2个点．每个三角形都有3个点，两个三角形就是 $2 \times 3$ 个点，因为这两个三角形在AC上有2个点重合，所以1个正四边形的点数总共有 $2 \times 3 - 2 = 4$ （个）；

如图2-2，连接AC，得到两个三角形△ABC和△ADC，这两个三角形相同之处在于，BC边与CD边都有相同个数的点，即3个点，每个三角形都有6个点，两个三角形就是 $2 \times 6$ 个点，因为这两个三角形在AC上有3个点重合，所以2个正四边形的点数总共有 $2 \times 6 - 3 = 9$ （个）；

如图2-3，连接AC，得到两个三角形△ABC和△ADC，这两个三角形相同之处在于，BC边与CD边都有相同个数的点，即4个点．每个三角形都有10个点，两个三角形就是 $2 \times 10$ 个点，因为这两个三角形在AC上有4个点重合，所以3个正四边形的点数总共有 $2 \times 10 - 4 = 16$ （个）；

……

n个正四边形的点数总共有 $2 \times [1 + 2 + \dots (n + 1)] - 1 \times (n + 1) = 2 \times (n + 1) \times \frac{1}{2} (n + 2) - 1 \times (n + 1)$ $= (n + 1) \times [2 \times \frac{1}{2} (n + 2) - 1] = (n + 1) \times (n + 1)$ ，即 ${(n + 1)}^{2}$ 个．

探究三：n个正五边形的点数总共有多少个？

类比探究二的方法：

1个正五边形的点数总共有5个；

2个正五边形的点数总共有12个；

3个正五边形的点数总共有个；

……

n个正五边形的点数总共有个．

探究四：n个正六边形的点数总共有个．

问题解决：

n个正m边形的点数总共有个．

实际应用：

若9个正m边形的点数总共有820个，则m的值为．

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24. 如图，四边形ABCD中，AD//BC， $∠ A D C = 90^{°}$ ， $A D = 8$ ， $B C = C D = 6$ ，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作 $N P ⊥ A D$ 于点P，连接AC交NP于点Q，连接MQ，设运动时间为t秒（ $0 < t < 4$ ）

(1)、连接AN，CP，当t为何值时，四边形ANCP为平行四边形；

(2)、设四边形DMQC的面积为y，求y与t的函数关系式；

(3)、在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形DMQC的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

(4)、将△AQM沿AD翻折，得到△AKM．在运动过程中，是否存在某时刻t，使四边形AQMK为菱形，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

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