辽宁省锦州市凌海市2021-2022学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2021-12-08 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若用配方法解一元二次方程 $2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$ 时，下列变形正确的为（）

A、 ${(x + \frac{3}{4})}^{2} = \frac{17}{16}$ B、 ${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{1}{2}$ C、 ${(x - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{13}{4}$ D、 ${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{17}{16}$

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2. 如果点C是线段AB延长线上的—点，且 $A C ： B C = 5 ： 2$ ，那么 $A B ： B C$ 等于（）

A、5：2 B、1：2 C、3：2 D、2：3

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3. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} + m x - 1 = 0$ ，则下列关于该方程根的判断，正确的为（）

A、有两相相等的实数根 B、有两个不相等的实数根 C、没有实数根 D、实数根的个数与实数m的取值有关

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4. 如图①所示，一张纸片上有一个不规则的图案（图中画图部分），小雅想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为5m，宽为3m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图，由此她估计此不规则图案的面积大约为（）

A、6m² B、5m² C、4m² D、3m²

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5. 下列各选项：①两个边长不等的等边三角形；②两个边长不等的正方形；③两个边长不等的菱形；④两个斜边不等的等腰直角三角形，其中的两个图形一定相似的有（）

A、①② B、①②③ C、①②④ D、①②③④

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6. 小明与小刚一起玩抛掷两枚硬币的游戏，游戏规则：抛出两个正面--小明赢1分；抛出其他结果--小刚赢1分；谁先到10分，谁就获胜．这是个不公平的游戏规则，要把它修改成公平的游戏，下列做法中错误的是（）

A、把“抛出两个正面”改为“抛出两个同面” B、把“抛出其他结果”改为“抛出两个反面” C、把“小明赢1分”改为“小明赢3分” D、把“小刚赢1分”改为“小刚赢3分”

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7. 如图，点 $P (6 ， 4)$ 在 $△ A B C$ 的边AC上，以原点O为位似中心，在第一象限内将 $△ A B C$ 缩小到原来的 $\frac{1}{2}$ ，得到 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，则点P在 $A^{'} C^{'}$ 上的对应点 $P^{'}$ 的坐标为（）

A、 $(2 ， 3)$ B、 $(3 ， 4)$ C、 $(3 ， 2)$ D、 $(3 ， 3)$

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8. 如图，直线 $a ∥ b$ ，直线c与直线a、b都相交，从 $∠ 1$ ， $∠ 2$ ， $∠ 3$ ， $∠ 4$ 这四个角中任意选取2个角，则所选取的2个角互为补角的概率是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{2}{3}$

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二、填空题

9. 已知关于x的一元二次方程 $m x^{2} - 3 x + 1 = 0$ 有两个实数根，则m的取值范围是．

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10. 已知 $\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4} \neq 0$ ，则 $\frac{a + b}{c}$ 的值为．

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11. 在一个不透明的口袋中装有8个红球，若干个白球，这些球除颜色不同外其它都相同，若从中随机摸出一个球，它是红球的概率为 $\frac{2}{5}$ ，则白球的个数为．

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12. 某厂家2020年1~5月份的口罩产量统计如图所示，设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的月平均增长率为 $x$ ，根据题意可得方程．

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13. 四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角度数，正方形ABCD变为菱形 $A B C^{'} D^{'}$ ，若 $∠ B A D^{'} = 30 °$ ，且菱形 $A B C^{'} D^{'}$ 的面积为16，则正方形ABCD的面积为．

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14. 如图，是两个可以自由转动的转盘，转盘各被等分为三个扇形，并分别标有2、3、4和6、7、8这6个数字，如果同时转动这两个转盘各一次（指针落在等分线上重转），转盘停止后，则指针指向的数字之和为奇数的概率为．

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15. 如图，在菱形ABCD中， $A B = 13 cm$ ， $A C = 24 cm$ ，E，F分别是CD和BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG的长度为cm．

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16. 如图，矩形ABCD的边CD上有一点E， $∠ D A E = 22.5 °$ ， $E F ⊥ A B$ ，垂足为F，将 $△ A E F$ 绕着点F顺时针旋转，使得点A的对应点M落在EF上，点E恰好落在点B处，连接BE．下列结论：① $B M ⊥ A E$ ；②四边形EFBC是正方形；③ $∠ E B M = 30 °$ ；④ $A B = B E$ ，其中结论正确的为．（填写序号即可）

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三、解答题

17. 用适当的方法解方程： $\frac{2}{3} x^{2} + \frac{1}{3} x - 2 = 0$

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18. 已知关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + 1 = 0 (a \neq 0)$ 有两个相等的实数根，求 $\frac{a b^{2}}{{(a + 2)}^{2} - b^{2} - 4}$ 的值．

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19. 一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有数字-3，-1，0，1，2，4这六个数，若将第一次掷出的骰子正面朝上的数记为m，第二次掷出的骰子正面朝上的数记为n，则点P记作 $(m ， n)$ ．请用画树状图或列表法求点 $P (m ， n)$ 恰好落在第二象限的概率．

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20. 在四边形ABCD中， $D C ∥ A B$ ， $∠ D A B = 90 °$ ， $A C ⊥ B C$ ， $A C = B C$ ， $∠ A B C$ 的平分线分别交AD、AC于点E、F，求 $\frac{E F}{B F}$ 的值．

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21. 某商店将进价为每件10元的商品以每件14元的价格售出，平均每天能售出220件．经市场调查发现：这种商品每件的售价每上涨1元，其销售量就将减少20元，该商店计划通过提高售价减少销售量的办法来增加利润．若物价部门规定此种商品每件利润不能超过进价的80%，且商店想要获得平均每天1080元的利润，则这种商品的售价应定为多少元？

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22. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，以AC为斜边的等腰直角三角形AEC的边CE与AD交于点F，连接OE，使得 $O E = O D$ ．在AD上截取 $A H = C D$ ，连接EH、ED．

(1)、判断四边形ABCD的形状，并说明理由；

(2)、若 $A B = 2$ ， $B C = 6$ ，求EH的长．

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23. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作 $D E ∥ A C$ 且 $D E = \frac{1}{2} A C$ ，连接AE交OD于点F，连接OE

(1)、求证： $O E = A B$ ；

(2)、若菱形ABCD的边长为4， $∠ A B C = 60 °$ ，求AE的长．

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24. 如图，在 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 中， $A B = A C$ ， $A D = A E$ ，且 $∠ B A C = ∠ D A E$ ，线段AC与DE交于点G，连接BD，CE．

(1)、如图1，当B，D，E三点共线时，求证： $∠ B E C = ∠ D A E$ ；

(2)、如图2，当B，D，E三点不共线时，延长ED交BC于点F，求证： $A D \cdot C G = E G \cdot F C$ ．

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25. 已知四边形ABCD是正方形，点P在线段BC上，点G在线段AD上（P、G不与正方形顶点重合，且在CD的同侧）， $P D = P G$ ， $D F ⊥ P G$ 于点H，交直线AB于点F，将线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，连接EF．

(1)、求证： $D F = P G$ ；

(2)、求证：四边形PEFD是菱形；

(3)、若 $A B = 3$ ， $P C = 1$ ．求四边形PEFD的面积．

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