黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区2021-2022学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2021-12-08 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若x＝1是关于x的一元二次方程x²﹣mx﹣3＝0的一个解，则m的值是（）

A、2 B、1 C、0 D、﹣2

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2. 下列图形中，中心对称图形的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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3. 用配方法解一元二次方程x²+8x+9＝0，则方程可变形为（）

A、（x﹣8）²＝55 B、（x+8）²＝55 C、（x﹣4）²＝7 D、（x+4）²＝7

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4. 如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，∠ADC＝30°，则∠BOC的度数为（）

A、60° B、50° C、40° D、30°

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5. 某商品经过连续两次降价，每件售价由原来的144元降到了121元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为（）

A、144（1﹣x）²＝121 B、144（1+x）²＝121 C、（1﹣x）²＝121 D、121（1+x）²＝144

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，将 $△ A B C$ 绕点C顺时针旋转得到 $△ D E C$ ，使点B的对应点E恰好落在边 $A C$ 上，点A的对应点为D，延长 $D E$ 交 $A B$ 于点F，则下列结论一定正确的是（）

A、 $A C = D E$ B、 $B C = E F$ C、 $∠ A E F = ∠ D$ D、 $A B ⊥ D F$

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7. 如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接AC，则∠BAC的度数是（）

A、45° B、38° C、36° D、30°

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8. 已知m，n是一元二次方程2x²﹣x﹣7＝0的两个实数根，则m+n﹣mn的值是（）

A、7 B、4 C、﹣2 D、﹣7

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9. 如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD∥AC交 $\overset{⌢}{B C}$ 于点D，交BC于点E，若BC＝8，ED＝2，则⊙O的半径是（）

A、3 B、4 C、5 D、2 $\sqrt{3}$

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10. 如图，已知二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（3，0），与y轴的交点B在（0，1）和（0，2）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＜0；②4a+2b+c＞0；③5a+b+c＝0；④ $\frac{2}{3}$ ＜b＜1．其中正确结论的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

11. 二次函数y＝x²﹣4x+1的最小值是．

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12. 某校举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次比赛的球队有个．

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13. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，如果∠A＝15°，弦CD＝2，那么AB的长是．

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14. 圆锥的底面半径为3，侧面积为21π，则这个圆锥的高为．

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15. 如图，半径均为4的⊙O₁、⊙O₂、⊙O₃两两外切，点O₁、O₂、O₃分别为圆心，则图中阴影部分的面积为．

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16. 已知等腰△ABC内接于半径为10的⊙O中，且圆心O到BC的距离为6，则这个等腰△ABC底边上的高是．

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17. 如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，OA＝1，将OA绕点O顺时针旋转45°到OA₁ ，扫过的面积记为S₁ ， A₁A₂⊥OA₁交x轴于点A₂；将OA₂绕点O顺时针旋转45°到OA₃ ，扫过的面积记为S₂ ， A₃A₄⊥OA₃交y轴于点A₄；将OA₄绕点O顺时针旋转45°到OA₅ ，扫过的面积记为S₃；…；按此规律，则S₂₀₂₁为．

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三、解答题

18. 解下列方程：

(1)、x²﹣3x+1＝0；

(2)、（x+1）²＝（2x﹣1）² ．

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19. 已知关于x的方程x²+2x+a＝0．

(1)、若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围．

(2)、当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．

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20. 如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标为（﹣2，﹣4），点B的坐标为（0，﹣4），点C的坐标为（1，﹣1）．

⑴请画出与△ABC关于原点O成中心对称的△A₁B₁C₁ ．

⑵请画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A₂B₂C₂ ．

⑶求△AA₁A₂的面积．

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21. 如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过点A作AB⊥OP，垂足为点C，交⊙O于点B，延长BO与PA的延长线交于点D．

(1)、求证：PB为⊙O的切线；

(2)、若OB=3，OD=5，求OP的长．

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22. 为迎接“双十一”购物节，某网店计划销售某种网红食品，进价为20元/千克，经市场调研发现，该食品的售价x（元/千克）的范围为：20≤x≤50，日销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系，部分图象如图所示：

(1)、求y与x之间的函数解析式；

(2)、该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出200元给灾区，若捐款后店主的剩余利润是800元，求该食品的售价；

(3)、若该食品的日销量不低于90千克，当售价为元/千克时，每天获取的利润最大，最大利润是元．

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23. 综合与实践
动手操作：某数学课外活动小组利用图形的旋转探究图形变换中蕴含的数学奥秘．

如图1，△ACB是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段A′B，连接A′C，过点A′作A′D⊥CB交CB延长线于点D．

(1)、思考探索：
在图1中：

①CD＝；

②△A′BC的面积为；

(2)、拓展延伸：如图2，若△ACB为任意直角三角形，∠ACB＝90°．将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段A′B，连接A′C，过点A′作A′D⊥CB交CB延长线于点D．猜想三条线段AC、CD、A′D的数量关系，并证明．

(3)、如图3，在△ACB中，AB＝AC＝5，BC＝6，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段A′B，连接A′C．
①△A′BC的面积为．

②若点D是△ACB的边BC的高线上的一动点，连接A′D、DB，则A′D+DB的最小值是．

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24. 综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²+bx﹣4交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且OA＝2OC＝8OB，点P是第三象限内抛物线上的一动点，连接AC，过点P做PE∥y轴，与AC交于点E．

(1)、求此抛物线的解析式；

(2)、当PC∥AB时，求点P的坐标；

(3)、用含x的代数式表示PE的长，并求出当PE的长取最大值时对应的点P的坐标；

(4)、在（3）的条件下，平面内是否存在点Q，使以A、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在直接写出点Q的坐标，若不存在请说明理由．

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