黑龙江省大庆市龙凤区2021-2022学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2021-12-08 类型：期中考试

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一、单选题

1. 二次函数 $y = - 3 {(x + 4)}^{2} + 5$ 的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（）

A、向上、直线 $x = 4$ ， $(4 ， 5)$ B、向上、直线 $x = - 4$ ， $(- 4 ， 5)$ C、向下、直线 $x = 4$ ， $(4 ， - 5)$ D、向下、直线 $x = - 4$ ， $(- 4 ， 5)$

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2. 抛物线 $y = x^{2} - 4 x - m$ 的图象经过点 $A (- 3 ， y_{1})$ ， $B (1 ， y_{2})$ ， $C (4 ， y_{3})$ ，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 大小关系是（）

A、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ B、 $y_{1} < y_{3} < y_{2}$ C、 $y_{2} < y_{3} < y_{1}$ D、 $y_{3} < y_{2} < y_{1}$

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3. 如图，在 $⊙ O$ 中，半径 $O C ⊥ A B$ 于点D， $A D = 4$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $O C = 4$ B、 $A B = 8$ C、 $O D = 3$ D、AB垂直平分OC

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4. 点 $A (\cos 60^{°} ， - \tan 30^{°})$ 关于原点的对称点 $A^{'}$ 的坐标是（）

A、 $(- \frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{3})$ B、 $(- \frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{3})$ C、 $(- \frac{1}{2} ， - \frac{\sqrt{3}}{3})$ D、 $(- \frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$

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5. 在同一平面直角坐标中，直线y＝ax+b与抛物线y＝ax²+b的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 矩形ABCD中，AB＝8， $B C = 3 \sqrt{5}$ ，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P 为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（）.

A、点B、C均在圆P外 B、点B在圆P外、点C在圆P内 C、点B在圆P内、点C在圆P外 D、点B、C均在圆P内

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7. 如图所示，在 $Rt △ A B C$ 中，斜边 $A B = 3$ ， $B C = 1$ ，点D在AB上，且 $\frac{B D}{A D} = \frac{1}{3}$ ，则 $\tan ∠ B C D$ 的值是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、1 C、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

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8. 如图，已知二次函数 $y_{1} = {(x + 1)}^{2} - 3$ 向右平移2个单位得到抛物线 $y_{2}$ 的图象，则阴影部分的面积为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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9. 如图， $A B$ 是半圆 $O$ 的直径， $A C$ 为弦， $O D ⊥ A C$ 于 $D$ ，过点 $O$ 作 $O E ∥ A C$ 交半圆 $O$ 于点 $E$ ，过点 $E$ 作 $E F ⊥ A B$ 于 $F$ ，若 $A C = 4$ ，则 $O F$ 的长为（）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、4

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10. 如图是抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），有下列结论：①2a+b=0，②abc＞0；③方程ax²+bx+c=3有两个相等的实数根，④当y＜0时，﹣2＜x＜4，其中正确的是（）

A、②③ B、①③ C、①③④ D、①②③④

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二、填空题

11. 若 $\tan 35 ° \cdot \tan α \cdot \tan 50 ° \cdot \tan 55 ° = 1$ ，则锐角 $α =$ °．

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12. 如图，在 $⊙ O$ 中， $A C = B D$ ， $∠ 1 = 30 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为．

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13. 如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为 $45^{\circ}$ 和 $30^{\circ} .$ 若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为米 $($ 结果保留根号 $)$ ．

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14. 已知 $⊙ O$ 的半径为10，直线AB与 $⊙ O$ 相交，则圆心O到直线AB距离d的取值范围是．

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15. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + c$ 与直线 $y = m x + n$ 交于 $A (- 1 ， p)$ ， $B (3 ， q)$ 两点，则不等式 $a x^{2} - m x + c < n$ 的解集是．

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16. 如图，把抛物线 $y = x^{2}$ 沿直线 $y = x$ 平移 $\sqrt{2}$ 个单位后，其顶点在直线上的A处，则平移后抛物线的表达式是．

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17. 如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°．若斜面坡度为1： $\sqrt{3}$ ，则斜坡AB的长是米．

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18. 如图，平面直角坐标系中，分别以点 $A (- 2 ， 3)$ ， $B (3 ， 4)$ 为圆心，以1，3为半径作 $⊙ A$ ， $⊙ B$ ，M，N分别是 $⊙ A$ ， $⊙ B$ 上的动点，P为x轴上的动点，则 $P M + P N$ 的最小值等于．

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三、解答题

19. 计算：

(1)、 $\cos 60 ° + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin 45 ° + \tan 30 ° \cdot \cos 30 °$ ；

(2)、 ${(\frac{1}{2})}^{- 1} + {(\sin 60 ° - 1)}^{0} - 2 \cos 30 ° + | \sqrt{3} - 1 |$ ．

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20. 如图，正方形网格中有—段弧，弧上三点 $A$ ， $B$ ， $C$ 均在格点上．

(1)、圆心 $P$ 的坐标是（）， $\cos ∠ C A P =$ ．

(2)、求 $\overset{⌢}{A C}$ 的长度．

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21. 如图，AB是 $⊙ O$ 的直径， $A B ⊥ C D$ 于点E，连接CO并延长交AD于点F，且 $C F ⊥ A D$ ．

(1)、求证：E是OB的中点；

(2)、若 $A B = 16$ ，求CD的长．

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22. 如图，某煤矿因不按规定操作发生瓦斯爆炸，救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A，B两个探测点探测到地下C处有生命迹象．已知A，B两点相距8米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度（结果保留根号）．

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23. 如图，已知二次函数 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + 4 x + c$ 的图象经过A（2，0）.

(1)、求 $c$ 的值.

(2)、若二次函数于 $y$ 轴相交于的 $B$ 点，且该二次函数的对称轴与 $x$ 轴交于点 $C$ ，连结 $B A 、 B C$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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24. 如图，在半径为5的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．

(1)、当BC=6时，求线段OD的长；

(2)、在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．

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25. 如图所示，小杰发现垂直地面的旗杆AB的影子落在地面和斜坡上，影长分别为BC和CD，经测量得 $B C = 10$ 米， $C D = 10$ 米，斜坡CD的坡度为 $i = 1 ： 3$ ，且此时测得垂直于地面的1米长的标杆在地面上的影长为2米．求旗杆AB的长度．（结果保留整数，其中 $\sqrt{10} \approx 3.2$ ）

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26. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，AC、BC的长恰好为方程 $x^{2} - 14 x + a = 0$ 的两根，且 $A C - B C = 2$ ，D为AB的中点．

(1)、求a的值．

(2)、动点P从点A出发，沿A→D→C的路线向点C运动；点Q从点B出发，沿B→C的路线向点C运动．若点P、Q同时出发，速度都为每秒2个单位，当点P经过点D时，点P速度变为每秒3单位，同时点Q速度变为每秒1个单位．当其中有一点到达终点时整个运动随之结束．设运动时间为t秒．在整个运动过程中，设 $△ P C Q$ 的面积为S，试求S与t之间的函数关系式；并指出自变量t的取值范围．

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27. 某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）有如下关系：y=－x+60（30≤x≤60）．设这种双肩包每天的销售利润为w元．

(1)、求w与x之间的函数解析式；

(2)、这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

(3)、如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？

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28. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与直线 $y = x + 1$ 相交于 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (4 ， m)$ 两点，且抛物线经过点 $C (5 ， 0)$

(1)、求抛物线的解析式.

(2)、点P是抛物线上的一个动点（不与点 $A$ 点 $B$ 重合），过点P作直线 $P D ⊥ x$ 轴于点D，交直线AB于点E.当 $P E = 2 E D$ 时，求P点坐标；

(3)、如图所示，设抛物线与 $y$ 轴交于点F，在抛物线的第一象限内，是否存在一点Q，使得四边形OFQC的面积最大？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.

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