山西省运城市2021-2022学年八年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2021-12-08 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{12}$ B、 $\sqrt{7}$ C、 $\sqrt{0.3}$ D、 $\sqrt{\frac{2}{3}}$

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2. 一次函数 $y = 3 x + 2$ 的图象不经过的象限是（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 岚山根——袁家村·运城印象全民健身游乐场，位处运城市黄金旅游路线上，南靠中条山，东临九龙山，西临凤凰谷和死海景区，是运城盐湖区全域旅游中项目最全，规模最大的标志性综合游乐场（图1）．若利用网格（图2）建立适当的平面直角坐标系，表示冲浪乐园的点的坐标为 $A (2 ， 1)$ ，表示特色小吃米线的坐标为 $B (- 4 ， 2)$ ，那么儿童游乐园所在的位置 $C$ 的坐标应是（）

A、 $(5 ， - 1)$ B、 $(- 2 ， - 4)$ C、 $(- 6 ， - 2)$ D、 $(- 5 ， - 1)$

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4. 图中不能证明勾股定理的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 在实数 $\sqrt{16}$ ， $\frac{π}{3}$ ， $- \sqrt{5}$ ， $\frac{22}{7}$ ，0， $\sqrt[3]{5}$ ，0.1010010001……（每相邻两个1之间依次多一个0）中，无理数有（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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6. 在平面直角坐标系中，若点 $(x_{1} ， - 1)$ ， $(x_{2} ， - 2)$ ， $(x_{3} ， 1)$ 都在直线 $y = - 2 x + b$ 上，则 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $x_{1} > x_{2} > x_{3}$ B、 $x_{3} > x_{2} > x_{1}$ C、 $x_{2} > x_{1} > x_{3}$ D、 $x_{2} > x_{3} > x_{1}$

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7. 估计 $\sqrt{13} - 1$ 的值在（）

A、1到2之间 B、2到3之间 C、3到4之间 D、4到5之间

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8. 满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）

A、三个内角比为 $2 ： 5 ： 3$ B、三边之比为 $\sqrt{3} ： 2 ： \sqrt{5}$ C、三边之比为 $1 ： 2 ： \sqrt{5}$ D、三个内角比为 $1 ： 2 ： 3$

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9. 在平面直角坐标系中，一次函数 $y = k x + 3 (k \neq 0)$ 的图象经过点 $P (5 ， 13)$ ，则这个一次函数的表达式是（）

A、 $y = - 2 x + 3$ B、 $y = \frac{16}{5} x + 3$ C、 $y = 2 x + 3$ D、 $y = x + 3$

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10. 如图，在长方体透明容器（无盖）内的点 $B$ 处有一滴糖浆，容器外 $A$ 点处的蚂蚁想沿容器壁爬到容器内吃糖浆，已知容器长为 $5 cm$ ，宽为 $3 cm$ ，高为 $4 cm$ ，点 $A$ 距底部 $1 cm$ ，请问蚂蚁需爬行的最短距离是（容器壁厚度不计）（）

A、 $3 \sqrt{17} cm$ B、 $10 cm$ C、 $5 \sqrt{5} cm$ D、 $\sqrt{113} cm$

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二、填空题

11. 4的平方根是

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12. 若点 $P$ 在第三象限且到 $x$ 轴的距离为2，到 $y$ 轴的距离为3，则点 $P$ 的坐标是．

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13. 山西近期遭遇严重洪涝灾害，1.7万余间房屋倒塌．下图是汾河沿线某个村庄的受灾情况和蓝天救援队的排涝现场．某地需排水约 $50 m^{3}$ ，打开排水泵开始排水，排走的水量与排水时间的关系如下表所示．排水12分钟后，剩下水量为 $m^{3}$ ．

排水时间/分钟

1

2

3

4

…

剩下的水量/ $m^{3}$

48

46

44

42

…

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14. 实数 $a$ 在数轴上的位置如下图所示，化简 $\sqrt{a^{2}} - a$ 等于

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15. 如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为．

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三、解答题

16.

(1)、计算： $(\sqrt{5} - \sqrt{3}) (\sqrt{5} + \sqrt{3}) + 1$ ；

(2)、计算： $\sqrt{125} + 9 \sqrt{\frac{2}{27}} - \frac{1}{2} \sqrt{24} + {(\sqrt{5})}^{2}$ ；

(3)、下面是甜甜同学进行实数运算的过程，认真阅读并完成相应的任务：
$\sqrt{\frac{9}{2}} - \sqrt{12} \times (\sqrt{24} + 3 \sqrt{\frac{2}{3}})$

$= \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}} - \sqrt{12} \times (\sqrt{24} + 3 \sqrt{\frac{2}{3}})$ ……第一步

$= \frac{3 \sqrt{2}}{2} - 2 \sqrt{3} \times 2 \sqrt{6} + 2 \times 3 \sqrt{3} \times \sqrt{\frac{2}{3}}$ ……第二步

$= \frac{3 \sqrt{2}}{2} - 12 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2}$ ……第三步

$= - \frac{9 \sqrt{2}}{2}$ ……第四步

任务一：以上化简步骤中第一步化简的依据是：；

任务二：第步开始出现错误，请写出错误的原因，该试运算正确结果是．

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17. 如图，已知在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的顶点坐标分别为 $A (1 ， 2)$ ， $B (3 ， 1)$ ， $C (4 ， 3)$ ．

⑴请在平面直角坐标系中画出 $△ A B C$ ；

⑵画出与 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，请直接写出点 $B_{1}$ ， $C_{1}$ 的坐标；

⑶求出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的面积．

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18. 一架长为 $10$ 米的梯子 $A B$ ，顶端 $B$ 靠在墙上，梯子底端 $A$ 到墙的距离 $A C = 6$ 米．

(1)、求 $B C$ 的长；

(2)、如图梯子的顶端 $B$ 沿墙向下滑动 $3$ 米，问梯子的底端 $A$ 向外移动了多少米？

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19. 一次函数 $y = k x + 3$ 的图象经过点 $(- 3 ， 9)$ ．

(1)、求这个函数的解析式；

(2)、试判断点 $(\frac{5}{4} ， - 4)$ 与点 $(- \frac{5}{6} ， \frac{14}{3})$ 是否在这个函数的图象上；

(3)、在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象．

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20. 阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如： $(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3}) = 1$ ， $(\sqrt{5} + \sqrt{2}) (\sqrt{5} - \sqrt{2}) = 3$ ，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样理解：如： $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ， $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = \frac{(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = 7 + 4 \sqrt{3}$ ．像这样，通过分子，分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
解决问题：

(1)、 $\sqrt{100} + \sqrt{99}$ 的有理化因式可以是， $\frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}}$ 分母有理化得．

(2)、计算：
①当 $a = \sqrt{3} + \sqrt{2}$ ， $b = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ ，则 $a^{3} b^{2} + a^{2} b^{3} =$ ；

② $\frac{2}{\sqrt{2} + 1} + \frac{2}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{2}{2 + \sqrt{3}} + \frac{2}{\sqrt{5} + 2} + \cdot \cdot \cdot + \frac{2}{\sqrt{n} + \sqrt{n - 1}} =$ （ $n \geq 1$ 且 $n$ 为整数）．

(3)、根据你的推断，比较 $\sqrt{15} - \sqrt{14}$ 和 $\sqrt{14} - \sqrt{13}$ 的大小．

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21. 城市绿化是城市重要的基础设施，是城市现代化建设的重要内容，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地，如图 $A B = 4 m$ ， $B C = 3 m$ ， $A D = 12 m$ ， $C D = 13 m$ ．

(1)、技术人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间距离，便快速确定了 $∠ A B C = 90 °$ ．请写出技术人员测量的是哪两点之间的距离以及确定的依据；

(2)、现计划在空地内种草，若每平方米草地造价 $30$ 元，这块地全部种草的费用是多少元？

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22. 问题情境：学过几何的人都知道勾股定理，它是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛．迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有400多种．在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动．
操作发现：如图1是 $6 \times 6$ 的正方形网格，每个小正方形的边长均为 $1$ ，每个小正方形的顶点称为格点．在图1中画出 $△ A B C$ ，其顶点 $A$ ， $B$ ， $C$ 都是格点，同时构造正方形 $B D E F$ ，使它的顶点都在格点上，且它的边 $D E$ ， $E F$ 分别经过点 $C$ ， $A$ ，他们借助此图求出了 $△ A B C$ 的面积．

(1)、在图1中，所画出的 $△ A B C$ 的三边长分别是 $A B =$ ， $B C =$ ， $A C =$ ； $△ A B C$ 的面积为．

(2)、实践探究
在图2所示的正方形网格中画出 $△ D E F$ （顶点都在格点上），使 $D E = \sqrt{5}$ ， $D F = \sqrt{13}$ ， $E F = \sqrt{20}$ ，并写出 $△ D E F$ 的面积．

(3)、继续探究：
若在 $△ A B C$ 中有两边的长分别为 $\sqrt{2} a$ ， $\sqrt{10} a$ （ $a > 0$ ），且 $△ A B C$ 的面积为 $2 a^{2}$ ，试运用构图法在图3的正方形网格（每个小正方形的边长为 $a$ ）中画出所有正确的 $△ A B C$ （全等的三角形视为同一种情况），并求出它的第三条边长填写在横线上．

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23. 已知在平面直角坐标系中，直线 $y_{1} = k_{1} x + 4$ （ $k_{1} \neq 0$ ）与直线 $y_{2} = k_{2} x$ （ $k_{2} \neq 0$ ）交于点 $C (6 ， 12)$ ，直线 $y_{1}$ 分别与 $x$ 轴， $y$ 轴交于点 $A$ 和点 $B$ ．

(1)、求直线 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 的表达式及点 $A$ ，点 $B$ 的坐标；

(2)、 $x$ 轴上是否存在点 $P$ ，使 $△ A C P$ 的面积为 $24$ ，若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，说明理由；

(3)、点 $P$ 是 $x$ 轴上一动点，过点 $P$ 作 $y$ 轴的平行线交直线 $A C$ 于点 $E$ ，交直线 $O C$ 于点 $F$ ，求出当 $E F$ 长为 $4$ 时点 $P$ 的坐标．（直接写出结果）

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排水时间/分钟	1	2	3	4	…
剩下的水量/ $m^{3}$	48	46	44	42	…