山东省泰安市新泰市2021-2022学年八年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2021-12-08 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（）

A、 $(a + 1) (a - 1) = a^{2} - 1$ B、 $a^{2} + a + 1 = a (a + 1) + 1$ C、 $a m + b m = m (a + b)$ D、 $a^{2} + 2 a + 4 = {(a + 2)}^{2}$

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2. 下列各式： $\frac{1}{3} a b$ ， $\frac{y}{15 x}$ ， $\frac{2 + 3 y}{π}$ ， $\frac{3 b + 6}{a}$ ， $\frac{x}{3} - \frac{1}{x}$ ， $\frac{x^{2}}{x}$ ，其中是分式的有（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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3. 若把分式 $\frac{3 a b}{2 a + b}$ 中的a、b都缩小为原来的 $\frac{1}{3}$ ，则分式的值（）

A、缩小为原来的 $\frac{1}{3}$ B、扩大为原来的6倍 C、缩小为原来的 $\frac{1}{9}$ D、不变

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4. 已知一组数据：2，0， $- 1$ ，4，2， $- 3$ ．这组数据的众数和中位数分别是（）

A、2，1.5 B、2，-1 C、2，1 D、2，2

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5. 如果分式 $\frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 5 x + 6}$ 的值为零，则 $x$ 的值是（）

A、2 B、-2 C、±2 D、0

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6. 为有效解决交通拥堵问题，营造路网微循环，某市决定对一条长 $860 m$ 的道路进行改造拓宽．为了尽量减轻施工对城市交通造成的影响，实际施工时，每天改造道路的长度比原计划增加10%，结果提前6天完成任务，求实际每天改造道路的长度与实际施工天数．嘉琪同学根据题意列出方程 $\frac{860}{x} - \frac{860}{x (1 + 10 %)} = 6$ ，则方程中未知数 $x$ 所表示的量是（）

A、实际每天改造道路的长度 B、原计划每天改造道路的长度 C、原计划施工的天数 D、实际施工的天数

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7. 已知 $a^{2} + \frac{1}{4} b^{2} = 2 a - b - 2$ ，则 $3 a - \frac{1}{2} b$ 的值为（）

A、4 B、2 C、-2 D、-4

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8. 数据2，5，5，7，x，3的平均数是4，则中位数是（）

A、6 B、5 C、4.5 D、4

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9. 若化简 $(\frac{b}{a + 1} - □) \div \frac{a^{2} b - b}{a^{2} + 2 a + 1}$ 的结果为 $\frac{a}{1 - a}$ ，则“ $□$ ”是（）

A、 $- a$ B、 $- b$ C、 $a$ D、 $b$

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10. 如图，边长为a，b的长方形的周长为14，面积为10，则a³b+ab³的值为（）

A、35 B、70 C、140 D、290

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11. 如图所示是根据某地某月10天的每天最高气温绘成的折线统计图，那么这段时间该地最高气温的平均数、众数、中位数依次是（）

A、4，5，4 B、4.5，5，4.5 C、4，5，4.5 D、4.5，5，4

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12. 甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料．两次饲料的价格略有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次用去800元，乙每次购买1000千克，而不管购买多少饲料．设两次购买饲料的单价分别为m元/千克和n元千克（m，n是正数，且 $m \neq n$ ），那么甲、乙所购买的饲料的平均单价（）

A、甲所购买的饲料的平均单价低 B、乙所购买的饲料的平均单价低 C、甲、乙所购买的饲料的平均单价相同 D、不能比较

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二、填空题

13. 下表中记录了甲、乙两名运动员跳远选拔赛成绩（单位：cm）的平均数和方差．要从中选择一名运动员参加决赛，最合适的运动员是．

甲
乙
平均数 $\bar{x}$
368
320
方差 $s^{2}$
2.5
5.6

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14. 若关于x的整式x²＋（m﹣1）x＋9能用完全平方公式进行因式分解，则m的值是．

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15. 已知关于x的方程 $\frac{x}{x - 3} - 2 = \frac{k}{3 - x}$ 解是正数．则k的取值范围是．

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16. 某博物馆拟招聘一名优秀志愿讲解员，其中某位志愿者笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为90分、94分、92分，综合成绩中笔试占30%，试讲占50%，面试占20%，则该名志愿者的综合成绩为是分.

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17. 我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法等，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．例如，分组分解法： $x^{2} - 2 x y + y^{2} - 4 = (x^{2} - 2 x y + y^{2}) - 4 = {(x - y)}^{2} - 2^{2} = (x - y - 2) (x - y + 2)$ ．仔细阅读以上内容，解决问题：已知：a、b、c为 $△ A B C$ 的三条边， $a^{2} + b^{2} + c^{2} - 4 a - 4 b - 6 c + 17 = 0$ ，则 $△ A B C$ 的周长．

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18. 关于x的分式方程 $\frac{2}{x - 2} + \frac{m x}{x^{2} - 4} = \frac{3}{x + 2}$ 无解，则m的值为．

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三、解答题

19. 因式分解：

(1)、 $x^{2} (x - y) + y^{2} (y - x)$ ；

(2)、 $m^{2} (m - 1) - 4 {(1 - m)}^{2}$ ．

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20. 解答下列各题：

(1)、计算： $\frac{1}{a - 1} + \frac{2}{1 - a^{2}}$ ；

(2)、先化简，再求值： $\frac{x^{2} - 4 x + 4}{x + 1} \div (\frac{3}{x + 1} - x + 1)$ ，请从不等式组 ${\begin{array}{l} 5 - 2 x \geq 1 \\ x + 2 \geq 0 \end{array}$ 的整数解中选择一个合适的值代入求值．

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21. 解下列方程：

(1)、 $\frac{x - 2}{x + 2} + \frac{8}{4 - x^{2}} = 1$ ；

(2)、 $\frac{5 x - 4}{x - 2} = \frac{4 x + 10}{3 x - 6} - 1$ ．

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22. 提出问题：你能把多项式 $x^{2} + 5 x + 6$ 因式分解吗？
探究问题：如图1所示，设a，b为常数，由面积相等可得： $(x + a) (x + b) = x^{2} + a x + b x + a b$ $= x^{2} + (a + b) x + a b$ ，将该式从右到左使用，就可以对形如 $x^{2} + (a + b) x + a b$ 的多项式进行因式分解即 $x^{2} + (a + b) x + a b = (x + a) (x + b)$ ．观察多项式 $x^{2} + (a + b) x + a b$ 的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项为两数之和．

解决问题： $x^{2} + 5 x + 6 = x^{2} + (2 + 3) x + 2 \times 3 = (x + 3) (x + 2)$ ．

运用结论：

(1)、基础运用：把多项式 $x^{2} + 4 x - 21$ 进行因式分解．

(2)、知识迁移：对于多项式 $4 x^{2} - 4 x - 15$ 进行因式分解还可以这样思考：
将二次项 $4 x^{2}$ 分解成如图2所示中的两个 $2 x$ 的积，再将常数项 $- 15$ 分解成 $- 5$ 与3的乘积，图中的对角线上的乘积的和为 $- 4 x$ ，就是 $4 x^{2} - 4 x - 15$ 的一次项，所以有 $4 x^{2} - 4 x - 15 = (2 x - 5) (2 x + 3)$ ．这种分解因式的方法叫做“十字相乘法”．

请用十字相乘法进行因式分解：① $3 x^{2} - 19 x - 14$ ；② $6 a^{2} - 13 a b + 6 b^{2}$ ．

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23. 某中学在创建“书香校园”活动中，为了解学生的读书情况，抽样调查了部分向学在一周内阅读时间，绘制如下的统计图，根据图中提供信息，解答下列问题：

(1)、被抽查学生阅读时间的中位数是，众数是，平均数是；

(2)、若该校共有学生2000人，请估算该校一周内阅读时间不少于 $3 h$ 的学生人数．

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24. 某学校从九年级同学中任意选取40人，随机分成甲、乙两个小组进行“引体向上”体能测试，根据测试成绩绘制出统计表和如图所示的统计图（成绩均为整数，满分为10分）
甲组成绩统计表：

成绩

7

8

9

10

人数

1

9

5

5

乙组成绩统计图

根据上面的信息，解答下列问题：

(1)、甲组的平均成绩为分， $m =$ ，甲组成绩的中位数是，乙组成绩的众数是；

(2)、若已经计算出甲组成绩方差为0.81，求出乙组成绩的方差，并判断哪个小组的成绩更加稳定？

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25. 受疫情影响，洗手液需求量猛增，某商场用4000元购进一批洗手液后，供不应求，商场用8800元购进第二批这种洗手液，所购数量是第一批数量的2倍，但单价贵了1元．

(1)、求该商场购进的第一批洗手液的单价；

(2)、商场销售这种洗手液时，每瓶定价为13元，最后200瓶按9折销售，很快售完，在这两笔生意中商场共获利多少元？

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	甲	乙
平均数 $\bar{x}$	368	320
方差 $s^{2}$	2.5	5.6

成绩	7	8	9	10
人数	1	9	5	5