高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册 4.2 等差数列的前n项和

试卷更新日期：2021-12-07 类型：同步测试

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一、单选题

1. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{3} + a_{4} = 19$ ， $S_{8} = 100$ ，则 ${a_{n}}$ 的公差为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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2. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{6} = 11$ ， $S_{9} = 17$ ，则 $S_{15} =$ （）

A、15 B、23 C、28 D、30

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3. 已知数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，其前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{3} + a_{9} = a_{6} + 5$ ，则 $S_{11} =$ （）

A、110 B、55 C、50 D、45

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4. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，公差为 $d$ ．已知 $a_{3} = 12$ ， $S_{10} > 0$ ， $a_{6} < 0$ ，则选项不正确的是（）

A、数列 ${\frac{S_{n}}{a_{n}}}$ 的最小项为第6项 B、 $- \frac{24}{5} < d < - 4$ C、 $a_{5} > 0$ D、 $S_{n} > 0$ 时， $n$ 的最大值为5

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5. 等差数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和分别记为 $S_{n}$ 与 $T_{n}$ ，若 $\frac{S_{2 n}}{T_{n}} = \frac{8 n}{3 n + 5}$ ，则 $\frac{a_{2} + a_{9}}{b_{3}} =$ （）

A、 $\frac{12}{7}$ B、 $\frac{32}{17}$ C、 $\frac{16}{7}$ D、2

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6. 已知 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且满足 $a_{3}^{2} + a_{8}^{2} + 2 a_{3} a_{8} = 9 ， a_{n} < 0$ ，则 $S_{10}$ 等于（）

A、-9 B、-11 C、-13 D、-15

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7. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 25$ ， $a_{n + 1} = a_{n} - 2 (n \in N^{*})$ ，若其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{n}$ 的最大值为（）

A、167 B、168 C、169 D、170

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8. 数列 ${a_{n}}$ 是递增的整数数列，且 $a_{1} \geq 3$ ， $a_{1} + a_{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{n} = 100$ ，则 $n$ 的最大值为（）

A、9 B、10 C、11 D、12

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二、多选题

9. 设数列 ${a_{n}}$ 是公差为 $d$ 等差数列， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和， $a_{1} > 0$ ，且 $S_{6} = S_{9}$ ，则（）

A、 $d < 0$ B、 $a_{8} = 0$ C、 $S_{6} < S_{5}$ D、 $S_{7}$ ， $S_{8}$ 为 $S_{n}$ 的最大值

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10. 等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{10} = 0$ ， $S_{15} = 25$ ，则（）

A、 $a_{5} = 0$ B、 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和中 $S_{5}$ 最小 C、 $n S_{n}$ 的最小值为-49 D、 $\frac{S_{n}}{n}$ 的最大值为0

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11. 已知公差不为0的等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{9} = S_{17}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $a_{8} = 0$ B、 $a_{9} = 0$ C、 $a_{1} = S_{16}$ D、 $S_{8} > S_{10}$

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12. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $S_{n} = {(n + 1)}^{2}$ ，则 ${a_{n}}$ 是等差数列 B、若 $S_{n} = 2^{n} - 1$ ，则 ${a_{n}}$ 是等比数列 C、若 ${a_{n}}$ 是等差数列，则 $S_{2 n - 1} = (2 n - 1) a_{n}$ D、若 ${a_{n}}$ 是等比数列，则 $S_{n}$ ， $S_{2 n} - S_{n}$ ， $S_{3 n} - S_{2 n}$ 成等比数列

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13. 设 $S_{n}$ 是公差为 $d (d \neq 0)$ 的无穷等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，则下列命题正确的是（）

A、若 $d < 0$ ，则数列 ${S_{n}}$ 有最大项 B、若数列 ${S_{n}}$ 有最大项，则 $d < 0$ C、若数列对任意的 $n \in N^{*}$ ， $S_{n + 1} > S_{n}$ 恒成立，则 $S_{n} > 0$ D、若对任意的 $n \in N^{*}$ ，均有 $S_{n} > 0$ ，则 $S_{n + 1} > S_{n}$ 恒成立

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三、填空题

14. 记 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $a_{1} \neq 0$ ， $a_{3} = 5 a_{1}$ ，则 $\frac{S_{10}}{S_{5}} =$ .

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15. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $3 a_{4} - a_{6} + 3 a_{8} = 15$ ，则 $S_{11} =$ ．

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16. 已知 ${a_{n}}$ 为等差数列， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和．若 $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $S_{2} = a_{3}$ ，则 $S_{n} =$ ．

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17. 等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} > 0$ ，公差 $d \neq 0$ ，有以下结论：
①若 $S_{7} = S_{11}$ ，则必有 $S_{18} = 0$ ； ②若 $a_{5} = 4$ ， $d > 0$ ，则 $\frac{1}{a_{3}} + \frac{1}{a_{7}} > \frac{1}{2}$ ；

③若 $S_{6} > S_{7}$ ，则必有 $S_{5} > S_{6}$ ； ④若 $S_{8} < S_{9}$ ，则必有 $S_{7} < S_{8}$ ．

其中所有正确结论的序号为．

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18. 等差数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n}, T_{n}$ ，若 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{38 n + 14}{2 n + 1} (n \in N^{*})$ ，则 $\frac{a_{6}}{b_{7}}$ ＝.

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19. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 是递增数列， $S_{n}$ 是 ${a_{n}}$ 的前n项和，若 $a_{2}, a_{4}$ 是方程 $x^{2} - 6 x + 5 = 0$ 的两个根，则 $S_{6}$ 的值为．

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四、解答题

20. 已知等差数列{a_n}前n项和为S_n ， $a_{5} = 9$ ， $S_{5} = 25$ .

(1)、求数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n；

(2)、设 $b_{n} = {(- 1)}^{n} S_{n}$ ，求{b_n}前n项和T_n.

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21. 已知各项均为正数的数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $2 a_{n}$ ， $2 S_{n}$ ， $a_{n}^{2}$ 成等差数列．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $S_{n} - 2 a_{n} = 40$ ，求n的值．

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22. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} - 2 a_{n} = 2^{n - 1}$ ．

(1)、设 $b_{n} = \frac{a_{n}}{2^{n}}$ ，证明：数列 ${b_{n}}$ 是等差数列；

(2)、记 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若对任意的 $n \in N^{*}$ ，不等式 $k \cdot 2^{n - 1} - \frac{n}{S_{n}} + \frac{2}{3} \leq 0$ 恒成立，求实数 $k$ 的最大值．

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23. 记 $S_{n}$ 是公差不为0的等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，若 $a_{3} = S_{5}, a_{2} a_{4} = S_{4}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、求使 $S_{n} > a_{n}$ 成立的n的最小值．

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24. 记 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{3} = 5$ ， $S_{3} = 21$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 $S_{n}$ ，并求 $S_{n}$ 的最大值.

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一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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