2022年苏科版初中数学《中考一轮复习》专题三函数 3.4 二次函数的图象与性质

试卷更新日期：2021-12-07 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 已知（-3，y₁），（-2，y₃），（1，y₃）是二次函数y=-2x²-8x+m图象上的点，则（）

A、y₂>y₁>y₃ B、y₂>y₃>y₁ C、y₁<y₂<y₃ D、y₃<y₂<y₁

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2. 一次函数 $y = a x + b (a \neq 0)$ 与二次函数 $y = a x^{2} + b x (a \neq 0)$ 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 已知抛物线y=x²-x-1，与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m²-m+2021的值为（）

A、2019 B、2020 C、2021 D、2022

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4. 已知二次函数y＝kx²﹣6x﹣9的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为（）

A、k＞﹣1 B、k＞﹣1且k≠0 C、k≥﹣1 D、k≥﹣1且k≠0

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5. 抛物线y=-2x²经过平移得到y=-2(x+1)²-5，平移方法是（）

A、向左平移1个单位，再向下平移5个单位 B、向左平移1个单位，再向下平移5个单位 C、向右平移1个单位，再向下平移5个单位 D、向右平移1个单位，再向上平移5个单位

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6. 将抛物线 $y = 2 x^{2} - 12 x + 16$ 绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）

A、 $y = - 2 x^{2} - 12 x + 16$ B、 $y = - 2 x^{2} + 12 x - 16$ C、 $y = - 2 x^{2} + 12 x - 19$ D、 $y = - 2 x^{2} + 12 x - 20$

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7. 烟花厂某种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h＝﹣2t²+20t+1，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（　　）

A、3s B、4s C、5s D、10s

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8. 根据下列表格的对应值：

$x$

－1

1

1.1

1.2

$x^{2} + 12 x - 15$

－26

－2

－0.59

0.84

由此可判断方程 $x^{2} + 12 x - 15 = 0$ 必有一个解x满足（）

A、 $- 1 < x < 1$ B、 $1 < x < 1.1$ C、 $1.1 < x < 1.2$ D、 $- 0.59 < x < 0.84$

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9. 二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b＝0；②若m为任意实数，则a+b≥am²+bm；③a﹣b+c＞0；④3a+c＜0；⑤若ax₁²+bx₁＝ax₂²+bx₂ ，且x₁≠x₂ ，则x₁+x₂＝2.其中正确的个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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10. 设 $P (x ， y_{1})$ ， $Q (x ， y_{2})$ 分别是函数 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 图象上的点，当 $a \leq x \leq b$ 时，总有 $- 1 \leq y_{1} - y_{2} \leq 1$ 恒成立，则称函数 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 在 $a \leq x \leq b$ 上是“逼近函数”， $a \leq x \leq b$ 为“逼近区间”.则下列结论：
①函数 $y = x - 5$ ， $y = 3 x + 2$ 在 $1 \leq x \leq 2$ 上是“逼近函数”；②函数 $y = x - 5$ ， $y = x^{2} - 4 x$ 在 $3 \leq x \leq 4$ 上是“逼近函数”；③ $0 \leq x \leq 1$ 是函数 $y = x^{2} - 1$ ， $y = 2 x^{2} - x$ 的“逼近区间”；④ $2 \leq x \leq 3$ 是函数 $y = x - 5$ ， $y = x^{2} - 4 x$ 的“逼近区间”.其中，正确的有（）

A、②③ B、①④ C、①③ D、②④

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二、填空题

11. 如果函数 $y = (k - 3) x^{k^{2} - 3 k + 2} + k x + 1$ 是二次函数，那么k的值一定是．

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12. 抛物线 $y = 2 x^{2} + x + a$ 与直线 $y = - x + 3$ 没有交点，则 $a$ 的取值范围是．

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13. 二次函数 $y = a x^{2} - 2 a x + 2$ ，当 $- 1 \leq x \leq 2$ 时，y的最大值与最小值的差为5，则a的值为．

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14. 若点 $P (a ， b)$ 在抛物线 $y = - x^{2} + 2 x - 1$ ，则 $a + b$ 的最大值为．

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15. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：

$x$

…

$0$

$1$

$2$

$3$

…

$y$

…

$- 3$

$- 1$

$- 3$

$- 5$

…

则代数式 $(a - b + c) (a + b + c)$ 的值是．

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16. 在同一坐标系下，抛物线y₁＝﹣x²+4x和直线y₂＝2x的图象如图所示，那么不等式-x²+4x＞2x的解集是．

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17. 已知二次函数 $y = x^{2} - 4 a x + 4 a^{2} + a - 1$ （ $a$ 为常数），当 $a$ 取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图分别是当 $a = t_{1}$ ， $a = t_{2}$ ， $a = t_{3}$ ， $a = t_{4}$ 时二次函数的图象，它们的顶点在一条直线上，则这条直线的解析式是．

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18. 在平面直角坐标系中，抛物线 $y = x^{2}$ 的图象如图所示．已知A点坐标为 $(1 ， 1)$ ，过点A作 $A A_{1} // x$ 轴交抛物线于点 $A_{1}$ ，过点 $A_{1}$ 作 $A_{1} A_{2} // O A$ 交抛物线于点 $A_{2}$ ，过点 $A_{2}$ 作 $A_{2} A_{3} // x$ 轴交抛物线于点 $A_{3}$ ，过点 $A_{3}$ 作 $A_{3} A_{4} // O A$ 交抛物线于点 $A_{4}$ …，依次进行下去，则点 $A_{99}$ 的坐标为．

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三、解答题

19. 抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 经过（﹣1，3），（2，6）两点．

(1)、求这条抛物线的解析式；

(2)、求这条抛物线的顶点坐标；

(3)、将此抛物线向上平移1个单位长，再向左平移2个单位长，得到抛物线C₁ ，写出抛物线C₁的解析式．

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20. 平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = a x^{2} - 3 a x + 1$ 与y轴交于点A．

(1)、求点A的坐标及抛物线的对称轴；

(2)、当 $- 1 \leq x \leq 2$ 时，y的最大值为3，求a的值；

(3)、已知点 $P (0 ， 2)$ ， $Q (a + 1 ， 1)$ ．若线段 $P Q$ 与抛物线只有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．

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21. 已知抛物线y＝x²﹣bx+c（b ， c为常数，b＞0）经过点A（﹣1，0），点M（m ， 0）是x轴正半轴上的动点．
（Ⅰ）当b＝2时，求抛物线的顶点坐标；

（Ⅱ）点D（b ， y_D）在抛物线上，当AM＝AD ， m＝5时，求b的值；

（Ⅲ）点Q（b+ $\frac{1}{2}$ ，y_Q）在抛物线上，当 $\sqrt{2}$ AM+2QM的最小值为 $\frac{33 \sqrt{2}}{4}$ 时，求b的值．

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22. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²-2x（a≠0）与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧）．

(1)、当a=-1时，求A，B两点的坐标；

(2)、过点P（3，0）作垂直于x轴的直线l，交抛物线于点C．
①当a=2时，求PB+PC的值；

②若点B在直线l左侧，且PB+PC≥14，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．

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23. 某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后，分拣成A、B两类；B类杨梅深加工后再销售，A类杨梅的包装成本为1万元/吨，根据市场调查，平均销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（x≥2）之间的函数关系如图，B类杨梅深加工总费用s（单位：万元）与加工数量t（单位：吨）之间的函数关系是s＝12+3t，平均销售价格为9万元/吨，

(1)、直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式；

(2)、第一次，该公司收购了20吨杨梅，其中A类杨梅有x吨，经营这批杨梅所获得的总利润为w万元，求w关于x的函数关系式；

(3)、第二次，该公司准备投入132万元资金，请设计一种经营方案，使公司获得最大利润，并求出最大利润.

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24. 如图，已知抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 的对称轴为直线 $x = - 1$ ，抛物线与x轴相交于A ， B两点，点A在点B的左侧，点 $C (0 ， - 3)$ 为抛物线与y轴的交点．

(1)、求b和c的值．

(2)、在抛物线的对称轴上存在一点P ，使 $P B + P C$ 最短，请求出点P的坐标．

(3)、抛物线上是否存在一点Q ，使 $△ Q O A$ 的面积等于 $△ B O C$ 的面积的4倍？若存在，求出点Q所有的坐标；若不存在，请说明理由．

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25. 已知二次函数y＝x²+bx+c.

(Ⅰ)若二次函数的图象经过(3，﹣2)，且对称轴为x＝1，求二次函数的解析式；

(Ⅱ)如图，在(Ⅰ)的条件下，过定点的直线y＝﹣kx+k﹣4(k≤0)与(1)中的抛物线交于点M，N，且抛物线的顶点为P，若△PMN的面积等于3，求k的值；

(Ⅲ)当c＝b²时，若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式.

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26. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 5 (a \neq 0)$ 经过x轴上的点A（1，0）和点B及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为 $y = x + n$ ．

①求抛物线的解析式．

②点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒，求t为何值时，△PBE的面积最大并求出最大值．

③过点A作 $A M ⊥ B C$ 于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线AM的平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标．

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27. 如图，B（2m ， 0）、C（3m ， 0）是平面直角坐标系中两点，其中m为常数，且m＞0，E（0，n）为y轴上一动点，以BC为边在x轴上方作矩形ABCD ，使AB＝2BC ，画射线OA ，把△ADC绕点C逆时针旋转90°得△A′D′C′，连接ED′，抛物线y＝ax²+bx+n（a≠0）过E、A′两点．

(1)、填空：∠AOB＝°，用m表示点A′的坐标：A′；

(2)、当抛物线的顶点为A′，抛物线与线段AB交于点P ，且 $\frac{B P}{A P} = \frac{1}{3}$ 时，△D′OE与△ABC是否相似？说明理由；

(3)、若E与原点O重合，抛物线与射线OA的另一个交点为M ，过M作MN垂直y轴，垂足为N：
①求a、

B、m满足的关系式；

②当m为定值，抛物线与四边形ABCD有公共点，线段MN的最大值为5，请你探究a的取值范围．

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28.
已知：二次函数y=ax²+bx+6（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A、点B的横坐标是一元二次方程x²﹣4x﹣12=0的两个根．
（1）请直接写出点A、点B的坐标．
（2）请求出该二次函数表达式及对称轴和顶点坐标．
（3）如图1，在二次函数对称轴上是否存在点P，使△APC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）如图2，连接AC、BC，点Q是线段0B上一个动点（点Q不与点0、B重合）．过点Q作QD∥AC交BC于点D，设Q点坐标（m，0），当△CDQ面积S最大时，求m的值．

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$x$	－1	1	1.1	1.2
$x^{2} + 12 x - 15$	－26	－2	－0.59	0.84

$x$	…	$0$	$1$	$2$	$3$	…
$y$	…	$- 3$	$- 1$	$- 3$	$- 5$	…

2022年苏科版初中数学《中考一轮复习》专题三 函数 3.4 二次函数的图象与性质

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二、填空题

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