河南省豫南重点高中2021-2022学年高二上学期理数精英对抗赛试卷

试卷更新日期：2021-12-07 类型：期中考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是（）

A、若 $a < b$ ，则 $a c^{2} < b c^{2}$ B、若 $a > b > 0$ ， $c < 0$ ，则 $\frac{c}{a} < \frac{c}{b}$ C、若 $a > b$ ，则 ${(a + c)}^{2} > {(b + c)}^{2}$ D、若 $a b > 0$ ，则 $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$

查看试题解析
2. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ．若 $a = \sqrt{2}$ ， $b = \sqrt{3}$ ， $A = \frac{π}{4}$ ，则角 $B =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{6}$ 或 $\frac{5π}{6}$ D、 $\frac{π}{3}$ 或 $\frac{2π}{3}$

查看试题解析
3. 已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2}$ ， $a_{8}$ ， $a_{12}$ 依次成等比数列，则 $a_{4}$ 的值是（）

A、 $\frac{16}{19}$ B、 $\frac{22}{19}$ C、-26 D、58

查看试题解析
4. 已知△ABC中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，若△ABC的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $\cos C = 1 - \frac{3}{a b}$ ，则 $C$ 的值为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

查看试题解析
5. 在 $△ A B C$ 中， $∠ B = \frac{π}{3}$ ， $A B = 2$ ， $B C$ 边上的中线 $A D$ 的长度为 $2 \sqrt{3}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、12 D、 $8 \sqrt{3}$

查看试题解析
6. 一弹球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)（）

A、300米 B、299米 C、199米 D、166米

查看试题解析
7. 在 $△ A B C$ 中， $\frac{a^{2}}{b^{2}} = \frac{\tan A}{\tan B}$ ，则 $△ A B C$ 是（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰或直角三角形 D、等边三角形

查看试题解析
8. 《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.如图所示的图形，在AB上取一点 $C$ ，使得 $A C = a$ ， $B C = b$ ，过点 $C$ 作 $C D ⊥ A B$ 交圆周于D，连接OD.作 $C E ⊥ O D$ 交OD于 $E$ .则下列不等式可以表示 $C D \geq D E$ 的是（）

A、 $\sqrt{a b} \geq \frac{2 a b}{a + b} (a > 0 ， b > 0)$ B、 $\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{a b} (a > 0 ， b > 0)$ C、 $\sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}} \geq \frac{a + b}{2} (a > 0 ， b > 0)$ D、 $a^{2} + b^{2} \geq 2 a b (a > 0 ， b > 0)$

查看试题解析
9. 设等差数列{a_n}，{b_n}的前n项和分别为S_n ， T_n ，若对任意的n∈N^* ，都有 $\frac{S_{n}}{T_{n}}$ ＝ $\frac{2 n - 3}{4 n - 3}$ ，则 $\frac{a_{2}}{b_{3} + b_{13}}$ ＋ $\frac{a_{14}}{b_{5} + b_{11}}$ 的值为（）

A、 $\frac{29}{45}$ B、 $\frac{13}{29}$ C、 $\frac{9}{19}$ D、 $\frac{19}{30}$

查看试题解析
10. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + 2 b + 2 a b = 8$ ，则 $a + 2 b$ 的最小值为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、4 D、6

查看试题解析
11. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $2 S_{n} = 3 n^{2} + 17 n$ ，若 $b_{n} = a_{n} \cdot {(\frac{10}{11})}^{n}$ ，则数列 ${b_{n}}$ 的最大值为（）

A、第5项 B、第6项 C、第7项 D、第8项

查看试题解析
12. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 3$ ， $4 a_{n + 1} - 3 a_{n} - a_{n + 2} = 0 (n \in N^{*})$ ，设 $b_{n} = \log_{3} a_{n + 1}$ ，记 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数．设 $S_{n} = [\frac{2020}{b_{1} b_{2}} + \frac{2020}{b_{2} b_{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{2020}{b_{n} b_{n + 1}}]$ ，若不等式 $S_{n} \geq t$ ，对 $\forall n \in N^{*}$ 恒成立，则实数 $t$ 的最大值为（）

A、2020 B、2019 C、1010 D、1009

查看试题解析

二、填空题

13. 现从8名学生干部中选出3名同学分别参加全校“资源”、“生态”和“环保”三个夏令营活动，则不同的选派方案的种数是.（用数字作答）

查看试题解析
14. 已知 $x$ ， $y$ 的取值如下表所示：

$x$

2

3

4

5

$y$

2.2

$m$

5.5

6.5

若 $y$ 与 $x$ 线性相关，且回归直线方程为 $\hat{y} = 1.46 x - 0.61$ ，则表格中实数 $m$ 的值为.

查看试题解析
15. 50张彩票中只有2张中奖票，今从中任取n张，为了使这n张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，n至少为．

查看试题解析
16. 斐波那契数列（Fibonaccisequence）又称黄金分割数列，因为数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子引入，故又称为“兔子数列”，在数学上斐波那契数列被以下递推方法定义：数列{a_n}满足：a₁＝a₂＝1，a_n+2＝a_n+a_n+1 ，现从该数列的前40项中随机抽取一项，则能被3整除的概率是

查看试题解析

三、解答题

17. 已知直线 $l$ 的方程为 $3 x - 4 y + 2 = 0$ ．

(1)、求过点 $(2 ， - 2)$ 且与直线 $l$ 平行的直线 $m$ 的方程；

(2)、求直线 $x - y - 1 = 0$ 与 $2 x + y - 2 = 0$ 的交点，并求这个点到直线 $m$ 的距离．

查看试题解析
18. 在 $Δ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别是 $a ， b ， c$ ，已知 $a = 2 \sqrt{3}$ ， $A = \frac{π}{3}$ .

(1)、若 $b = 2 \sqrt{2}$ ，求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $c = 2$ ，求边 $b$ 及 $Δ A B C$ 的面积.

查看试题解析
19. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 中， $d > 0$ ， $a_{2} = 3$ ，且 $a_{1} + 1$ ， $a_{3} - 1$ ， $a_{4} + 1$ 成等比数列.

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、已知 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} \cdot a_{n + 1}}$ ， ${b_{n}}$ 前n项和为 $S_{n}$ ，若 $9 S_{n} < - n + 8$ ，求n的最大值.

查看试题解析
20. 如图所示，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ}$ ， $A B = 2$ ， $B C = 1$ ， $A A_{1} = \sqrt{3}$ ．

(1)、证明： $A_{1} C$ $⊥$ 平面 $A B_{1} C_{1}$ ；

(2)、若 $D$ 是棱 $C C_{1}$ 的中点，在棱 $A B$ 上是否存在一点 $E$ ，使DE∥平面 $A B_{1} C_{1}$ ？证明你的结论．

查看试题解析
21. 已知坐标平面上两个定点 $A (0 ， 4)$ ， $O (0 ， 0)$ ，动点 $M (x ， y)$ 满足： $| M A | = 3 | O M |$ ．

(1)、求点 $M$ 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；

(2)、记(1)中的轨迹为 $C$ ，过点 $N (- \frac{1}{2} ， 1)$ 的直线 $l$ 被 $C$ 所截得的线段的长为 $2 \sqrt{2}$ ，求直线 $l$ 的方程．

查看试题解析
22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ．离心率为 $\frac{1}{2}$ ，点 $G (0 ， 2)$ 与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $y = k x + m$ 与椭圆 $C$ 交于 $M ， N$ 两点， $O$ 为坐标原点直线 $O M ， O N$ 的斜率之积等于 $- \frac{3}{4}$ ，试探求 $△ O M N$ 的面积是否为定值，并说明理由．

查看试题解析

$x$	2	3	4	5
$y$	2.2	$m$	5.5	6.5