河南省商开大联考2021-2022学年高二上学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2021-12-07 类型：期中考试

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一、单选题

1. 在 $△ A B C$ 中，若 $A = \frac{π}{3}$ ， $A C = 1$ ， $B C = \sqrt{3}$ ，则 $B =$ （）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{3}$ 或 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{π}{6}$ 或 $\frac{5 π}{6}$

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2. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{5} - a_{3} = 2$ ， $a_{3} + a_{5} + 2 a_{10} = 24$ ，则 $a_{9}$ 等于（）

A、14 B、12 C、10 D、8

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3. 若 ${a_{n}}$ 是各项均为正数的等比数列，且 $a_{1} = 1$ ， $a_{5} = 16$ ，则 $a_{6} - a_{5} =$ （）

A、32 B、-48 C、16 D、-48或16

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4. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 是常数，若不等式 $a x^{2} + b x - c > 0$ 的解集是 ${x | 1 < x < 2}$ ，则不等式 $b x (a x + c) > 0$ 的解集是（）

A、 $(- \infty ， - 2) \cup (0 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， 0) \cup (2 ， + \infty)$ C、 $(- 2 ， 0)$ D、 $(0 ， 2)$

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5. 已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} - 2 x + a < 0$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上有解，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， 1)$ B、 $(- 1 ， 1)$ C、 $(1 ， + \infty)$ D、 $(0 ， + \infty)$

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6. 若 $a$ 是实数，集合 $A = {x | x^{2} - a x > 0}$ ， $B = {x | x^{2} - x > 0}$ ，则“ $a > 1$ ”是“ $A \subseteq B$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 已知 $S_{n}$ 是等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{7} > S_{8} > S_{6}$ ，则使 $S_{n} > 0$ 成立的正整数 $n$ 的最大值是（）

A、7 B、8 C、14 D、15

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8. 大型城雕“商”字坐落在商丘市睢阳区神火大道与南京路交汇处，“商”字城雕有着厚重悠久的历史和文化，它时刻撬动着人们认识商丘、走进商丘的欲望.吴斌同学在今年国庆期间到商丘去旅游，经过“商”字城雕时，他想利用解三角形的知识测量一下该雕塑的高度（即图中线段 $A B$ 的长度）.他在该雕塑塔的正东 $C$ 处沿着南偏西60º的方向前进若干米后达到 $D$ 处（ $A$ 、 $C$ 、 $D$ 三点在同一个水平面内），测得图中线段 $A B$ 在东北方向，且测得点 $B$ 的仰角为71.565º，他计算出该雕塑的高度约为21米，那么线段 $C D$ 的长度大约是（精确到整数，参考数据： $\tan {71.565}^{\circ} \approx 3$ ， $\sqrt{2} \approx 1.414$ ）（）

A、9米 B、10米 C、11米 D、12米

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9. 已知直线 $l_{1} ： x + 2 (a - 1) y + 1 = 0$ ； $l_{2} ： b x + y - 2 = 0$ ，若 $a$ ， $b$ 都是正数，且 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $\frac{2}{a + 1} + \frac{1}{b}$ 的最小值为（）

A、9 B、7 C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{9}{4}$

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = (1 - \frac{2}{2 n + 3}) a_{n}$ ，则数列 ${a_{n} a_{n + 1}}$ 的前99项和为（）

A、 $\frac{99}{67}$ B、 $\frac{297}{67}$ C、 $\frac{33}{67}$ D、 $\frac{198}{67}$

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11. 我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，则 $△ A B C$ 的面积 $S = \frac{1}{2} \sqrt{{(a b)}^{2} - {(\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2})}^{2}}$ .若 $a \sin C - \sqrt{3} c \sin (A + \frac{π}{2}) = 0$ ，且 $b^{2} + c^{2} - a^{2} = 1$ ，则根据此公式可知 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$

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12. 设正项数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，当 $n \in N^{*}$ 时， $a_{n}$ ， $n + 1$ ， $a_{n + 1}$ 成等差数列，给出下列说法：①当 $n \in N^{*}$ 时， $S_{n} < S_{n + 1}$ ；② $S_{9}$ 的取值范围是 $(48 ， 52)$ ；③ $S_{64} = 2112$ ；④存在 $n \in N^{*}$ ，使得 $S_{n} = 2060$ .其中正确说法的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

13. 已知命题 $p ： \forall x \in R$ ， $x^{2} + x + 1 > 0$ ，则 $\neg p$ 为.

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14. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{5} - a_{3} = 12$ ， $a_{6} - a_{4} = 24$ ，记数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和､前 $n$ 项积分别为 $S_{n}$ ， $T_{n}$ ，则 $n =$ 时， $\frac{{(S_{n} + 1)}^{2}}{T_{n}}$ 的值最大.

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15. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对应的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $\sqrt{3} b \sin \frac{B + C}{2} = a \sin B$ ， $△ A B C$ 的外接圆面积为 $12 π$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值是.

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16. 2021年2月某地发生新冠肺炎疫情，急需从一所三甲医院的呼吸科抽调部分医生参加救援，该呼吸科共有男女医生各10人，要求抽调的女医生至少有1人，男医生至少比女医生多2人，为了保证该院呼吸科的正常运转，从该院呼吸科抽调的医生人数不能超过10人.已知每名男医生一天可以给40名病人进行康复治疗，每名女医生一天可以给35名病人进行康复治疗，那么应该从该呼吸科抽调男医生人，女医生人，从而使每天获得康复治疗的病人最多.

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三、解答题

17. 已知 $p ：$ 对于函数 $f (x) = a^{2} x - 2 a + 1$ ， $\exists x_{0} \in (0 ， 1)$ ，使 $f (x_{0}) = 0$ ； $q ： \forall x \in R$ ， $x^{2} + a x + 1 > 0$ 恒成立.

(1)、若 $p$ 是真命题，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $p \land q$ 是假命题， $p \lor q$ 是真命题，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $\frac{\cos A}{a} + \frac{\cos C}{c} = \frac{3}{2 b}$ ，且 $b = 3$ .

(1)、求 $\frac{1}{a} + \frac{1}{c}$ 的最小值；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，求 $B$ .

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19. 小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调研发现，一些电子产品的维修配件的市场需求量较大，小王决定生产这些电子产品的维修配件.已知生产这些配件每年投入的固定成本是3万元，每生产 $x$ 万件，需另投入成本 $W (x) = \frac{1}{3} x^{2} + 2 x$ 万元，维修配件出厂价100元/件.

(1)、若生产这些配件的平均利润为 $P (x)$ 元，求 $P (x)$ 的表达式，并求 $P (x)$ 的最大值；

(2)、某销售商从小王的工厂以100元/件进货后又以 $a$ 元/件销售， $a = 100 + λ (b - 100)$ ，其中 $b$ 为最高限价 $(100 < a < b)$ ， $λ$ 为销售乐观系数.当 $0.61 < λ < 0.62$ 时，销售商所购进的配件当年能全部售完.若 $b - a$ ， $a - 100$ ， $b - 100$ 成等比数列，问该销售商所购进的配件当年是否能全部售完？（参考数据： $\sqrt{5} \approx 2.236$ ）

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20. 设正项数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $8 S_{n} - a_{n}^{2} - 4 a_{n} = 0 (n \in N^{*})$ .在数列 ${b_{n}}$ 中， $b_{2} = 1$ ， $b_{5} = 8$ ，且对任意 $n \in N^{*}$ ，都有 $b_{n + 1}^{2} = b_{n} b_{n + 2}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，记 $c_{n} = \frac{a_{n}}{2 T_{n} + 4 b_{n} + 1} (n \in N^{*})$ ，证明： $c_{1} + c_{2} + \dots + c_{n} < 4$ .

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21. 某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路 $B C$ 和两条索道 $A C$ ， $A D$ ，如图所示.山顶 $C$ 处有一个宾馆，宾馆需要将储存在 $A$ 处的一批蔬菜一次性运送到宾馆 $C$ 处，有三种运输的方案：方案一，先将这批蔬菜运送到 $B$ 处，然后由挑夫（专门负责将山下物品以肩挑的形式将物品运送到山上的工作人员）从 $B$ 处挑到 $C$ 处；方案二，先通过索道 $A D$ 将 $A$ 处的蔬菜运送到 $D$ 处，然后由挑夫从 $D$ 处挑到 $C$ 处；方案三，通过索道 $A C$ 直接将 $A$ 处的蔬菜运送到 $C$ 处.已知 $\cos B + \cos \frac{B}{2} = 0$ ， $∠ A D C = \frac{5 π}{6}$ ， $B D = 2 km$ ， $A C = 2 \sqrt{13} km$ ，挑夫挑这批蔬菜每走 $1 km$ 的山路，宾馆需支付100元的费用，将这批蔬菜从 $A$ 处运送到 $B$ 处，宾馆需要付出30元的费用，两条索道运送这批蔬菜每 $1 km$ 需要付给景区相关部门85元的费用，问选择哪一种方案，可使宾馆付出的费用最少？（参考数据： $\sqrt{13} \approx 3.606$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732$ ）

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22. 对于数列 ${x_{n}}$ ，若对任意 $n \in N^{*}$ ，都有 $\frac{x_{n} + x_{n + 2}}{2} < x_{n + 1}$ 成立，则称数列 ${x_{n}}$ 为“有序减差数列”.设数列 ${a_{n}}$ 为递减的等比数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 ${a_{1} ， a_{2} ， a_{3}}$ Ü ${- 4 ， - 3 ， - 2 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式，并判断数列 ${S_{n}}$ 是否为“有序减差数列”；

(2)、设 $b_{n} = (2 n^{2} - n a_{n}) t + a_{n}$ ，若数列 ${b_{n}}$ 是“有序减差数列”，求实数 $t$ 的取值范围.

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