河南省平顶山市九校联盟2021-2022学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-12-07 类型：期中考试

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一、多选题

1. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $a > b > 0 > c$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $a^{2} c < b^{2} c$ B、 $a + c < b + c$ C、 $\frac{b}{c} < \frac{a}{c}$ D、 $a c < b c$

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二、单选题

2. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对边为 $a ， b ， c ，$ 且 ${sin}^{2} A = {sin}^{2} B + sin B sin C + {sin}^{2} C$ ，则 $∠ A =$ （）

A、150° B、120 ° C、60 ° D、30 °

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3. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $x + 4 y = 1$ ，则 $\frac{x + y}{x y}$ 的最小值为（）

A、4 B、9 C、10 D、12

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4. 如图，在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， $△ A B D$ 是边长为3的等边三角形， $△ B C D$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ ，则 $△ B C D$ 的周长为（）

A、9 B、 $4 + \sqrt{13}$ C、 $3 + 3 \sqrt{3}$ D、6

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5. 已知 $△ A B C$ 的角A，B，C所对的边分别为a，b，c， $b = \sqrt{7}$ ， $a = 1$ ， $B = \frac{2 π}{3}$ ，则 $c =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、3

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6. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， $a = 1 ， B = 45 ° ， S_{△ A B C} = 2$ ，则 $△ A B C$ 的外接圆直径为（）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、60 C、 $5 \sqrt{2}$ D、 $6 \sqrt{2}$

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7. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = - 3$ ， $2 a_{4} + 3 a_{7} = 9$ ，则 $S_{7}$ 的值等于（）

A、21 B、1 C、-42 D、0

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8. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等差数列，且 $a_{2} + a_{3} + a_{4} = 2 π$ ，则 $a_{3} =$ （）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、π D、 $\frac{4 π}{3}$

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9. $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，若 $S_{n} = 2 a_{n} + 1$ ，则 $S_{3}$ 的值为（）

A、-7 B、-4 C、-2 D、0

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10. 在正项等比数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{6}, 3 a_{5}, a_{7}$ 依次成等差数列，则 ${a_{n}}$ 的公比为（）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、3 D、 $\frac{1}{3}$

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11. 不等式 $\frac{1 - x}{x} \geq 0$ 的解集为（）

A、[0，1] B、（0，1] C、（﹣∞，0]∪[1，+∞） D、（﹣∞，0）∪[1，+∞）

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12. 数列 ${a_{n}}$ 满足， $a_{n + 1} = a_{n} - a_{n - 1}$ ，若 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a_{9} = 2$ B、 $a_{9} = 1$ C、 $a_{9} = - 1$ D、 $a_{9} = - 2$

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三、填空题

13. 设 $x$ ， $y$ 满足约束条件： ${\begin{array}{l} x ， y \geq 0 \\ x - y \geq - 1 \\ x + y \leq 3 \end{array}$ ；则 $z = x - 2 y$ 的最大值为.

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14. 等比数列 ${a_{n}}$ 的公比 $q = 3$ ，则 $\frac{a_{1} + a_{3} + a_{5} + a_{7}}{a_{2} + a_{4} + a_{6} + a_{8}}$ 等于.

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15. 数列 ${a_{n}}$ 中 $a_{1} = 2 ， a_{n + 1} = 2 a_{n} ， S_{n}$ 为 ${a_{n}}$ 的前n项和，若 $S_{n} = 126$ ，则 $n =$ .

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16. “中国剩余定理”又称“孙子定理”．“中国剩余定理”讲的是关于带余除法的问题，现有这样一个问题：将2至2019这2018个整数中被5除余1且被7除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列 ${a_{n}}$ ，则此数列的项数为．

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四、解答题

17. 已知 $S_{n}$ 是等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，且 $S_{n} = - 2 n^{2} + 15 n$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、 $n$ 为何值时， $S_{n}$ 取得最大值并求其最大值．

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18. 在锐角三角形ABC中， $a ， b ， c$ 分别是角 $A ， B ， C$ 的对边，且 $\sqrt{3} a = 2 c \sin A$ .

(1)、求角C的大小；

(2)、若 $c = \sqrt{7}$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，求 $a + b$ 的值.

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19. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\cos^{2} (\frac{π}{2} + A) + \cos A = \frac{5}{4}$ ．

(1)、求A；

(2)、若 $b - c = \frac{\sqrt{3}}{3} a$ ，证明：△ABC是直角三角形．

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20. 某工厂家具车间造A、B型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成．已知木工做一张A、B型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张A、B型桌子分别需要3小时和1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂造一张A、B型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A、B型桌子各多少张，才能获得利润最大？

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21. 已知不等式 $a x^{2} - 3 x + 2 < 0$ 的解集为 ${x | 1 < x < b}$ ．

(1)、求实数 $a ， b$ 的值；

(2)、解不等式 $a x^{2} - (a c + b) x + b c \geq 0$ （ $c \in R$ ）．

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22. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 2$ ，且 $S_{n} = a_{n + 1} - 2$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${(2 n + 1) \cdot a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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