河南省洛阳市2021-2022学年高二上学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2021-12-07 类型：期中考试

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一、单选题

1. $△ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，若 $a = 4$ ， $B = 60 °$ ， $A = 45 °$ ，则 $b =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{6}$ D、 $3 \sqrt{6}$

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2. 不等式 $\frac{x + 2 y - 1}{x - y + 3} > 0$ 表示的平面区域为（）

A、 B、 C、 D、

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3. 一个 $n$ 边形的周长等于158，所有各边的长成等差数列，最大边的长等于44，公差等于3，则 $n =$ （）

A、4 B、5 C、6 D、7

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4. 下列结论正确的（）

A、若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若 $a^{2} > b^{2}$ ，则 $a > b$ C、若 $a > b ， c < 0$ ，则 $a + c < b + c$ D、若 $\sqrt{a} < \sqrt{b}$ ，则 $a < b$

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5. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别是 $△ A B C$ 三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边， $\frac{a}{\cos A} = \frac{b}{\cos B} = \frac{c}{\cos C}$ ，则 $△ A B C$ 一定是（）

A、直角三角形 B、钝角三角形 C、等腰直角三角形 D、等边三角形

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6. 在 $△ A B C$ 中， $a = 2$ ， $b = 3$ ， $A = 45 °$ ，则此三角形解的情况是（）

A、两解 B、一解 C、一解或两解 D、无解

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7. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 1$ ，且 $a_{n} = a_{n - 1} - a_{n - 2}$ ， $(n \geq 3)$ ，记数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{20} =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、14

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8. 若正实数 $x$ ， $y$ 满足 $2 x + y + 8 x y = 2$ ，则 $x y$ 的取值范围为（）

A、 $(0 ， \frac{1}{4}]$ B、 $(0 ， \frac{1}{8}]$ C、 $[\frac{1}{8} ， + \infty)$ D、 $[\frac{1}{4} ， \frac{1}{8}]$

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9. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} = - 9$ ， $a_{3} + a_{7} = - 4$ ，则当 $S_{n}$ 取最小值时， $n$ 等于（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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10. 关于 $x$ 的不等式 $(a^{2} - 1) x^{2} - (a - 1) x - 1 < 0$ 的解集为 $R$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \frac{3}{5}, 1)$ B、 $[- \frac{3}{5}, 1]$ C、 $(- \frac{3}{5}, 1) \cup {- 1}$ D、 $(- \frac{3}{5}, 1]$

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11. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} = a \cdot 2^{n + 1} + b - 1$ ，则 $4^{a} + 2^{b}$ 的最小值为（）

A、3 B、 $\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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12. 在 $△ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，已知 $c (\cos A + 1) = a \cos C$ ，且 $a$ ， $b$ ， $c$ 成公差为 $- 1$ 的等差数列，则 $△ A B C$ 的最小角的余弦值为（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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二、填空题

13. 已知 $x$ ， $y$ 满足 ${\begin{array}{l} x - y \geq 0 \\ x + y - 4 \geq 0 \\ x \leq 4 \end{array}$ ，则 $4 x - y$ 的最小值为．

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14. 若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{4}$ ，则内角C等于.

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 为递增数列， $a_{n} = n^{2} - λ n + 3$ ，则 $λ$ 的取值范围是.

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16. 在 $△ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边， $c = \sqrt{6}$ ， $a \sin C = 2 c \sin B$ ，则 $△ A B C$ 的面积的最大值是.

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三、解答题

17.

(1)、若关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + 3 x + b > 0$ 的解集为 ${x | 1 < x < 2}$ ，求 $a$ ， $b$ .

(2)、求关于 $x$ 的不等式 $m x^{2} - (m + 1) x + 1 < 0$ 的解集（其中 $m > 0$ ）.

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18. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $D$ 为 $B C$ 边上一点， $Δ A B D$ 为等边三角形， $A B = 2 C D$ .

(1)、若 $Δ A C D$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，求 $A B$ ；

(2)、若 $A C = \sqrt{7}$ ，求 $sin ∠ B A C$ ．

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19. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差 $d \neq 0$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{4} + a_{6} = 22$ ，且 $a_{4}$ ， $a_{7}$ ， $a_{12}$ 成等比数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $T_{n} = \frac{1}{S_{1}} + \frac{1}{S_{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{S_{n}}$ ，求 $T_{n}$ .

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20. 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园.设菜园的长为 $x m$ ，宽为 $y m$ .

(1)、若菜园面积为 $18 m^{2}$ ，则 $x$ ， $y$ 为何值时，可使所用篱笆总长最小？

(2)、若使用的篱笆总长度为 $15 m$ ，求 $\frac{1}{x + 1} + \frac{2}{y + 1}$ 的最小值.

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21. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为 $△ A B C$ 三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边， $a \cos C + \sqrt{3} a \sin C - b - c = 0$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 2$ ，求 $△ A B C$ 内切圆半径 $r$ 的最大值.

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22. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 1$ ， $S_{n + 1} + S_{n} = a_{n + 1}^{2}$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = 2$ ， $b_{n} \cdot b_{n + 1} = 2^{2 a_{n} + 1}$ .

(1)、求证 ${a_{n}}$ 为等差数列；

(2)、求证： $\frac{a_{1}}{b_{1}} + \frac{a_{2}}{b_{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{a_{n}}{b_{n}} < 2$ .

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