河北省沧衡八校联盟2021-2022学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-12-07 类型：期中考试

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一、单选题

1. 数列 $\frac{3}{4} ， \frac{4}{7} ， \frac{1}{2} ， \cdot \cdot \cdot$ 的一个通项公式为（）

A、 $a_{n} = \frac{n + 2}{3 n + 1}$ B、 $a_{n} = \frac{2 n + 1}{n + 3}$ C、 $a_{n} = \frac{n + 2}{2 n + 2}$ D、 $a_{n} = \frac{n + 5}{5 n + 3}$

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2. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{m} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的离心率为 $\sqrt{2}$ ，则 $m =$ （）

A、2 B、4 C、8 D、12

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3. 直线 $\sqrt{3} x + 3 y + 1 = 0$ 的倾斜角是（）

A、30° B、60° C、120° D、150°

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4. 已知 $A (2 ， 1 ， 0) ， B (1 ， 0 ， 1) ， C (3 ， 2 ， 3)$ ，则点A到直线 $B C$ 的距离为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、 $\sqrt{6}$

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5. 双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{15} - \frac{y^{2}}{10} = 1$ 的焦点到C的渐近线的距离为（）

A、 $\sqrt{15}$ B、 $\sqrt{10}$ C、5 D、 $2 \sqrt{5}$

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6. 如图，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D ， △ P A D$ 是等边三角形，四边形 $A B C D$ 是矩形，且 $A D = 2 A B$ ，E是 $C D$ 的中点，F是 $A D$ 上一点，当 $B F ⊥ P E$ 时， $\frac{A F}{F D} =$ （）

A、3 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、2

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7. 数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知△ABC的顶点分别为 $A (1 ， 3)$ ， $B (2 ， 4)$ ， $C (3 ， 2)$ ，则△ABC的欧拉线方程为（）

A、 $x + y - 5 = 0$ B、 $x + y + 5 = 0$ C、 $x - y + 1 = 0$ D、 $2 x + y - 7 = 0$

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8. 若等差数列 ${a_{n}}$ 与等差数列 ${b_{n}}$ 的前n项和分别为 $S_{n}$ 和 $T_{n}$ ，且 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{2 n + 5}{3 n - 1}$ ，则 $\frac{a_{8}}{b_{8}} =$ （）

A、 $\frac{21}{23}$ B、 $\frac{13}{11}$ C、 $\frac{35}{44}$ D、 $\frac{37}{47}$

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二、多选题

9. 数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{n} = - n^{2} + 7 n$ ，则（）

A、 ${a_{n}}$ 是递增数列 B、 $a_{10} = - 12$ C、当 $n > 4$ 时， $a_{n} < 0$ D、当 $n = 3$ 或4时， $S_{n}$ 取得最大值

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10. 直线 $l ： (m + 1) x + 2 (m - 1) y - 4 m = 0$ 与圆 $C ： x^{2} + y^{2} - x - y - 2 = 0$ 的交点个数可能为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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11. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线 $l_{1}$ 从点 $P (\frac{41}{4} ， 4)$ 射入，经过C上的点A反射后，再经C上另一点B反射后，沿直线 $l_{2}$ 射出，经过点Q．下列说法正确的是（）

A、若 $p = 4$ ，则 $| A B | = 8$ B、若 $p = 2$ ，则 $| A B | = 8$ C、若 $p = 2$ ，则 $P B$ 平分 $∠ A B Q$ D、若 $p = 4$ ，延长 $A O$ 交直线 $x = - 2$ 于点M，则M，B，Q三点共线

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12. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，且 $\vec{D P} = λ \vec{D B_{1}} (0 < λ < 1)$ ，过P作垂直于平面 $B D D_{1} B_{1}$ 的直线l，分别交正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的表面于M，N两点.下列说法不正确的是（）

A、 $B D_{1} ⊥$ 平面 $D M B_{1} N$ B、四边形 $D M B_{1} N$ 面积的最大值为 $2 \sqrt{6}$ C、若四边形 $D M B_{1} N$ 的面积为 $\sqrt{6}$ ，则 $λ = \frac{1}{4}$ D、若 $λ = \frac{1}{2}$ ，则四棱锥 $B - D M B_{1} N$ 的体积为 $2 \sqrt{2}$

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三、填空题

13. 直线l经过点 $M (2 ， 1)$ ，且与直线 $m ： 2 x - y = 0$ 平行，则l的一般式方程为．

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14. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的中心为原点，焦点 $F_{1} ， F_{2}$ 均在x轴上，C的面积为 $8 π$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则C的标准方程为．

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15. 在公差为d的等差数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{1} + a_{2} + a_{3} = 16 ， a_{14} + a_{15} + a_{16} \geq 53$ ，则d的取值范围为．

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16. 已知不经过坐标原点 $O$ 的直线 $l$ 与圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} - 4 x + 4 y = 0$ 交于A，B两点，若锐角 $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，则 $| A B | =$ ， $\cos ∠ A O B =$ .

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四、解答题

17. 等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{3} + a_{5} = 26 ， S_{5} = 45$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $S_{n} > 240$ ，求n的最小值．

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18. 如图，在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 是正方形， $A B = 2 A A_{1}$ ，E，F，G分别为棱 $D D_{1} ， A B ， B C$ 的中点．

(1)、求异面直线 $E F$ 与 $B_{1} D_{1}$ 所成角的余弦值；

(2)、求直线 $A_{1} B$ 与平面 $E F G$ 所成角的正弦值．

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19. 抛物线 $C ： y^{2} = 3 x$ 的焦点为F，直线l与C交于A，B两点，且线段 $A B$ 中点M的纵坐标为1，l与x轴交于点P．

(1)、若 $| A F | + | B F | = \frac{7}{2}$ ，求l的方程；

(2)、若 $\vec{A P} = \frac{1}{3} \vec{P B}$ ，求 $| A B |$ ．

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20. 已知圆 $M$ 经过 $A (0 ， 2)$ ， $B (3 ， 3)$ ， $C (1 ， - 1)$ 三点.

(1)、求圆 $M$ 的方程.

(2)、设 $O$ 为坐标原点，直线 $l$ ： $a x + y - 1 = 0$ 与圆 $M$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点，是否存在实数 $a$ ，使得 $| O P | = | O Q |$ ？若存在，求 $| P Q |$ 的值；若不存在，说明理由.

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21. 如图1，在四边形 $A B C D$ 中， $A D // B C ， A D = 2 A B = 2 B C = 2 C D$ ，E是 $A D$ 的中点，将 $△ A B E$ 沿 $B E$ 折起至 $△ A^{'} B E$ 的位置，使得二面角 $A^{'} - B E - C$ 的大小为 $120 °$ （如图2），M，N分别是 $A^{'} D ， B C$ 的中点．

(1)、证明： $M N$ ∥平面 $A^{'} B E$ ．

(2)、求二面角 $A^{'} - B D - C$ 的余弦值．

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22. 已知 $△ A B C$ 的两个顶点坐标分别为 $B (- \sqrt{3} ， 0) ， C (\sqrt{3} ， 0)$ ，该三角形的内切圆与边 $A B ， B C ， C A$ 分别相切于P，Q，S三点，且 $| A S | = 2 - \sqrt{3}$ ，设 $△ A B C$ 的顶点A的轨迹为曲线E．

(1)、求E的方程；

(2)、直线 $l_{1} ： y = - \frac{1}{2} x$ 交E于R，V两点．在线段 $V R$ 上任取一点T，过T作直线 $l_{2}$ 与E交于M，N两点，并使得T是线段 $M N$ 的中点，试比较 $| T M | \cdot | T N |$ 与 $| T V | \cdot | T R |$ 的大小并加以证明．

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