江苏省苏州市工业园区星海实验2021年数学中考二模试卷

试卷更新日期：2021-12-07 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 5的倒数是（）

A、 5 B、 $\frac{1}{5}$ C、﹣5 D、﹣ $\frac{1}{5}$

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2. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{2} + 2 a^{2} = 3 a^{4}$ B、 $a^{6} \div a^{3} = a^{2}$ C、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - b^{2}$ D、 ${(a b)}^{2} = a^{2} b^{2}$

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3. 已知一组数据1，0，3，-1，x，2，3的平均数是1，则这组数据的众数是（）

A、-1 B、3 C、-1和3 D、1和3

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4. 如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（）

A、∠1=∠2 B、∠2=∠3 C、∠1＞∠4+∠5 D、∠2＜∠5

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5. 如图所示的几何体是由4个大小相同的小立方块搭成，其左视图是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 一个圆锥的底面半径 $r = 1$ ，高 $h = 2$ ，则这个圆锥的侧面积是（）

A、 $\sqrt{3} π$ B、 $2 \sqrt{3} π$ C、 $\sqrt{5} π$ D、 $2 \sqrt{5} π$

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7. 函数的零点是指使函数值等于零的自变量的值，则下列函数中存在零点的是（）

A、 $y = x^{2} + x + 2$ B、 $y = \sqrt{x} + 1$ C、 $y = x + \frac{1}{x}$ D、 $y = | x | - 1$

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8. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ，点 $D$ 在 $A B$ 的延长线上，且 $B D = A B$ ，连接 $D C$ 并延长，作 $A E ⊥ C D$ 于 $E$ ，若 $A E = 4$ ，则△ $B C D$ 的面积为（）

A、8 B、10 C、 $8 \sqrt{2}$ D、16

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9. 二次函数 $y = (x - a) (x - b) - 2 (a < b)$ 与x轴的两个交点的横坐标分别为m和n，且 $m < n$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $m < a < n < b$ B、 $a < m < b < n$ C、 $m < a < b < n$ D、 $a < m < n < b$

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10. 如果一个矩形的周长与面积的差是定值 $m (2 < m < 4)$ ，我们称这个矩形为“定差值矩形”.如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = x$ ， $A D = y$ ， $2 (x + y) - x y = \frac{7}{2}$ ，那么这个“定差值矩形”的对角线 $A C$ 的长的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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二、填空题

11. 式子 $\sqrt{x - 3}$ 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是．

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12. 原子很小， $1$ 个氧原子的直径大约为 $0.000000000148 m$ ，将 $0.000000000148$ 用科学记数法表示为.

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13. 已知二元一次方程组 ${\begin{array}{l} 2 x + y = 7 \\ x + 2 y = 8 \end{array}$ ，则 $x - y =$ .

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14. 当m=时，关于x的分式方程 $\frac{2 x - m}{x - 1}$ =1有增根.

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15. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点 $A ， B ， C ， D$ 都在格点上，点E在 $A B$ 的延长线上，以A为圆心， $A E$ 为半径画弧，交 $A D$ 的延长线于点F，且 $\overset{⌢}{E F}$ 经过点C，则 $\overset{⌢}{E F}$ 的长度为.

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16. 小明从家步行到学校需走的路程为1800米.图中的折线OAB反映了小明从家步行到学校所走的路程s(米)与时间t(分钟)的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行米.

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17. 如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”.在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为 $S_{1}$ ，空白部分的面积为 $S_{2}$ ，大正方形的边长为 $m$ ，小正方形的边长为 $n$ ，若 $S_{1} = S_{2}$ ，则 $\frac{n}{m}$ 的值为.

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18. 如图，过原点的直线与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图象交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $A$ 在第一象限点 $C$ 在 $x$ 轴正半轴上，连结 $A C$ 交反比例函数图象于点 $D$ . $A E$ 为 $∠ B A C$ 的平分线，过点 $B$ 作 $A E$ 的垂线，垂足为 $E$ ，连结 $D E$ .若 $A C = 3 D C$ ， $Δ A D E$ 的面积为8，则 $k$ 的值为.

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三、解答题

19. 计算： $| \sqrt{3} - 1 | - 3 \tan 30 ° + {(3.14 - π)}^{0} + {(\frac{1}{2})}^{- 1}$

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20. 解不等式组： ${\begin{array}{l} 3 x - 4 < 5 \\ \frac{2 x - 1}{3} > \frac{x - 2}{2} \end{array}$

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21. 先化简，再求值： $(1 - \frac{1}{x + 2}) \div \frac{x^{2} - 1}{x + 2}$ ，其中 $x = \sqrt{2} + 1$ .

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22. 如图，已知点 $B ， E ， C ， F$ 在同一条直线上， $A B = D E$ ， $∠ A = ∠ D$ ， $A C ∥ D F$ ．请你判断， $B E$ 与 $C F$ 相等吗？请说明理由．

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23. 中华文化源远流长，文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”.某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如下尚不完整的统计图.

请根据以上信息，解决下列问题：

(1)、本次调查所得数据的众数是部，中位数是部；

(2)、扇形统计图中“ $4$ 部”所在扇形的圆心角为度；

(3)、请将条形统计图补充完整；

(4)、没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率.

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24. 图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形 $A B C D$ 表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖 $A D E$ 可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖 $A D E$ 落在 $A D^{'} E$ 的位置（如图2所示），已知 $A D = 90$ 厘米， $D E = 30$ 厘米， $E C = 40$ 厘米.

(1)、求点 $D^{'}$ 到 $B C$ 的距离；

(2)、求E、 $E^{'}$ 两点的距离.

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25. 已知 $P_{1} (x_{1} ， y_{1}) ， P_{2} (x_{2} ， y_{2})$ ，其中 $x_{1} < x_{2}$ .

(1)、（实践操作）
若 $P_{1} ， P_{2}$ 是抛物线 $y = x^{2} - 2 x$ 上的点，下列命题正确的有.
①若 $| x_{1} - 1 | > | x_{2} - 1 |$ ，则 $y_{1} > y_{2}$ ；

②若 $| x_{1} - 1 | > | x_{2} - 1 |$ ，则 $y_{1} < y_{2}$ ；

③若 $| x_{1} - 1 | = | x_{2} - 1 |$ ，则 $y_{1} = y_{2}$ ；

④若 $| x_{1} - 1 | < | x_{2} - 1 |$ ，则 $y_{1} > y_{2}$ ；

(2)、（实践思考）
若 $P_{1} ， P_{2}$ 是抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ 上的点，对称轴为直线 $x = t$ .
若 $| x_{1} - t |$ $| x_{2} - t | ， y_{1} > y_{2}$ ；

若 $| x_{1} - t |$ $| x_{2} - t | ， y_{1} = y_{2}$ ；

若 $| x_{1} - t |$ $| x_{2} - t |$ ，则 $y_{1} < y_{2}$ .

(3)、（实践应用）
在（2）的条件下，
①若该抛物线的对称轴为直线 $x = 1$ ，当 $x_{1} ， x_{2}$ 为何值时， $y_{1} = y_{2} = c$ ；

②若对于 $x_{1} + x_{2} < 3$ ，都有 $y_{1} < y_{2}$ ，求t的取值范围.

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26. 如果三角形的两个内角 $α$ 与 $β$ 满足 $2 α + β = 90 °$ ，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”.

(1)、若 $△ A B C$ 是“准互余三角形”， $∠ C > 90 ° ， ∠ A = 60 °$ ，则 $∠ B =$ .

(2)、如图（1）， $A B$ 是半圆的直径， $A B = 10 ， B C = 6 ， C$ 是半圆上的点，D是 $\overset{⌢}{A C}$ 上的点， $B D$ 交 $A C$ 于点E.
①若D是 $\overset{⌢}{A C}$ 的中点，则图中共有 ▲ 个“准互余三角形”；

②当 $△ D E C$ 是“准互余三角形”时，求 $C E$ 的长；

③如图（2）所示，若F是 $\overset{⌢}{B C}$ 上的点（不与 $B 、 C$ 重合），G为射线 $A F$ 上一点，且满足 $∠ C B G = 2 ∠ C A B$ .当 $△ A B G$ 是“准互余三角形”时，求 $A G$ 的长.

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27. 如图（1），已知矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6cm ， B C = 2 \sqrt{3} cm$ ，点E为对角线 $A C$ 上的动点.连接 $B E$ ，过E作 $E B$ 的垂线交 $C D$ 于点F.

(1)、探索 $B E$ 与 $E F$ 的数量关系，并说明理由.

(2)、如图（2），过F作 $A C$ 垂线交 $A C$ 于点G，交 $E B$ 于点H，连接 $C H$ .若点E从A出发沿 $A C$ 方向以 $2 \sqrt{3} cm / s$ 的速度向终点C运动，设E的运动时间为 $t s$ .
①是否存在t，使得H与B重合？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；

②t为何值时， $△ C F H$ 是等腰三角形；

③当 $C G = G H$ 时，求 $△ C G H$ 的面积.

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