湖北省恩施州宣恩县2021年数学中考一模试卷

试卷更新日期：2021-12-07 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 实数2021的相反数是（）

A、2021 B、-2021 C、 $\frac{1}{2021}$ D、 $- \frac{1}{2021}$

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2. 如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 2020年6月23日，我国成功发射北斗系统第55颗导航卫星，暨北斗三号最后一颗全球组网卫星，该卫星驻守在我们上方36000公里的天疆，数36000用科学记数法表示为（）

A、 360×10² B、36×10³ C、3.6×10⁴ D、0.36×10⁵

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4. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ A = 60^{°} ， ∠ B = 40^{°} ， D E / / B C$ ，则 $∠ A E D$ 的度数是（）

A、 $50^{°}$ B、 $60^{°}$ C、 $70^{°}$ D、 $80^{°}$

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5. 平面直角坐标系中，点 $P (3 ， 1)$ 关于 $x$ 轴对称的点的坐标是（）

A、 $(3 ， 1)$ B、 $(- 3 ， 1)$ C、 $(3 ， - 1)$ D、 $(- 3 ， - 1)$

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6. 下列计算结果正确的是（）

A、 $- 3 x^{2} \cdot 5 x^{2} y = 2 x^{2} y$ B、 $- 2 x^{2} y^{3} \cdot 2 x^{3} y = - 2 x^{5} y^{4}$ C、 $35 x^{3} y^{2} \div 5 x^{2} y = 7 x y$ D、 $(- 2 x - y) \cdot (2 x + y) = 4 x^{2} - y^{2}$

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7. 函数 $y = \frac{\sqrt{x + 2}}{x}$ 的自变量的取值范围是（）

A、 $x \geq - 2$ B、 $x \geq - 2$ 且 $x \neq 0$ C、 $x > 0$ D、 $x > - 2$ 且 $x \neq 0$

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8. 如图，小明在一条东西走向公路的O处，测得图书馆A在他的北偏东60°方向，且与他相距200m，则图书馆A到公路的距离AB为（）

A、100m B、100 $\sqrt{2}$ m C、100 $\sqrt{3}$ m D、 $\frac{200 \sqrt{3}}{3}$ m

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9. 抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a < 0)$ 与x轴的一个交点坐标为 $(- 1 ， 0)$ ，对称轴是直线 $x = 1$ ，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（）

A、 $(\frac{7}{2} ， 0)$ B、 $(3 ， 0)$ C、 $(\frac{5}{2} ， 0)$ D、 $(2 ， 0)$

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10. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{°} ， ∠ A B C = 40^{°}$ ．将 $△ A B C$ 绕点B逆时针旋转得到 $△ A^{'} B C^{'}$ ，使点C的对应点 $C^{'}$ 恰好落在边 $A B$ 上，则 $∠ {CAA}^{'}$ 的度数是（）

A、 $50^{°}$ B、 $70^{°}$ C、 $110^{°}$ D、 $120^{°}$

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11. 为了解某社区居民的用电情况，随机对该社区10户居民进行了调查，下表是这10户居民2021年4月份用电量的调查结果：

居民（户）

1

3

2

4

月用电量（度/户）

40

50

55

60

那么关于这10户居民用电量（单位：度），下列说法错误的是（）

A、中位数是55 B、众数是60 C、方差是29 D、平均数是54

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12. 已知图柱底面的周长为 $6 dm$ ，圆柱的高为 $3 dm$ ，在圆柱的侧面上过点 $A$ 与 $C$ 嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）

A、 $3 \sqrt{2} dm$ B、 $6 \sqrt{2} dm$ C、 $4 \sqrt{2} dm$ D、 $5 \sqrt{2} dm$

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二、填空题

13. 已知 $x_{1}, x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ 的两根，则 $\frac{1}{x_{1} x_{2}} =$ .

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14. 若关于 $x$ 的方程 $\frac{2 x + m}{x - 1} = 3$ 的解为正数，则 $m$ 的取值范围是.

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15. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐问水深几何？”（注：丈、尺是长度单位，1丈=10尺）这段话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面.则水池里水的深度是尺.

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16. 如图，已知 $R t Δ A B C$ 的面积为 $1$ ， $D_{1}$ 是斜边 $A B$ 的中点，过 $D_{1}$ 作 $D_{1} E_{1} ⊥ A C$ 于 $E_{1}$ ，连接 $B E_{1}$ 交 $C D_{1}$ 于 $D_{2}$ ，过 $D_{2}$ 作 $D_{2} E_{2} ⊥ A C$ 于 $E_{2}$ ，连接 $B E_{2}$ 交 $C D_{1}$ 于 $D_{3}$ ；过 $D_{3}$ 作 $D_{3} E_{3} ⊥ A C$ 于 $E_{3}$ ， $\dots$ ，如此继续，可以依次得到点 $D_{4}$ ， $D_{5}$ ， $\dots$ ， $D_{n}$ ，分别记 $Δ B D_{1} E_{1}$ ， $Δ B D_{2} E_{2}$ ， $Δ B D_{3} E_{3}$ ， $\dots$ ， $Δ B D_{n} E_{n}$ 的面积为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ， $\dots$ ， $S_{n}$ ，则 $S_{n} =$ .

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三、解答题

17.

(1)、先化简，再求值： $1 - \frac{a - 1}{a} \div (\frac{a}{a + 2} - \frac{1}{a^{2} + 2 a})$ ，其中 $a$ 是不等式组 ${\begin{array}{l} a - 2 \geq 2 - a ① \\ 2 a - 1 < a + 3 ② \end{array}$ 的最小整数解.

(2)、已知： $a = (\sqrt{3} - 1) (\sqrt{3} + 1) + | 1 - \sqrt{2} |$ ， $b = \sqrt{8} - 2 \sin 45 ° + {(\frac{1}{2})}^{- 1}$ ，求 $b - a$ 的算术平方根.

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18. 已知：如图，在 $▱ A B C D$ 中，点 $O$ 是 $C D$ 的中点，连接 $A O$ 并延长，交 $B C$ 的延长线于点 $E$ ，求证： $C E = B C$ .

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19. 恩施是中国三大后花园之一，景色宜人，其中恩施大峡谷、咸丰坪坝营森林公园、宣恩狮子关景点的景色更是美不胜收.某民营单位为兼顾生产和业余生活，决定在下设的 $A$ ， $B$ ， $C$ 三部门利用转盘游戏确定参观的景点，两转盘各部分圆心角大小以及选派部门、旅游景点等信息如图.

(1)、若规定老同志相对偏多的部门选中的可能性大，试判断这个部门是哪个部门？请说明理由.

(2)、设选中 $C$ 部门游狮子关的概率为 $P_{1}$ ，选中 $B$ 部门游大峡谷或者坪坝营的概率为 $P_{2}$ ，请判断 $P_{1}$ ， $P_{2}$ 大小关系，并说明理由.

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20. 鄂州市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度 $C D$ .如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的左岸C处的俯角为 $α$ ，无人机沿水平线 $A F$ 方向继续飞行50米至B处，测得正前方河流右岸D处的俯角为30°.线段 $A M$ 的长为无人机距地面的铅直高度，点M、C、D在同一条直线上.其中 $tan α = 2 ， M C = 50 \sqrt{3}$ 米.

(1)、求无人机的飞行高度 $A M$ ；（结果保留根号）

(2)、求河流的宽度 $C D$ .（结果精确到1米，参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41 ， \sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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21. 如图，一次函数 $y = x + 5$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $k$ 为常数且 $k \neq 0$ ）的图象相交于 $A (- 1 ， m)$ ， $B$ 两点.

(1)、求反比例函数的表达式；

(2)、将一次函数 $y = x + 5$ 的图象沿 $y$ 轴向下平移 $b$ 个单位 $(b > 0)$ ，使平移后的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象有且只有一个交点，求 $b$ 的值.

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22. 一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：

x（元/件）

4

5

6

y（件）

10000

9500

9000

(1)、求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；

(2)、在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件.若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？

(3)、抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（ $1 \leq m \leq 6$ ），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大.请直接写出m的取值范围.

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23. 如图， $Δ A B C$ 中， $A B = A C$ ，以 $A C$ 为直径的⊙ $O$ 交 $B C$ 于点 $D$ ，点 $E$ 为 $C$ 延长线上一点，且 $∠ C D E = \frac{1}{2} ∠ B A C$ .

(1)、求证： $D E$ 是⊙ $O$ 的切线；

(2)、若 $A B = 3 B D ， C E = 2$ ，求⊙ $O$ 的半径.

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24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 1$ 的对称轴为直线 $x = \frac{3}{2}$ ，其图象与 $x$ 轴交于点 $A$ 和点 $B (4 ， 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ .

(1)、直接写出抛物线的解析式和 $∠ C A O$ 的度数；

(2)、动点 $M$ ， $N$ 同时从 $A$ 点出发，点 $M$ 以每秒3个单位的速度在线段 $A B$ 上运动，点 $N$ 以每秒 $\sqrt{2}$ 个单位的速度在线段 $A C$ 上运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设运动的时间为 $t (t > 0)$ 秒，连接 $M N$ ，再将线段 $M N$ 绕点 $M$ 顺时针旋转 $90 °$ ，设点 $N$ 落在点 $D$ 的位置，若点 $D$ 恰好落在抛物线上，求 $t$ 的值及此时点 $D$ 的坐标；

(3)、在（2）的条件下，设 $P$ 为抛物线上一动点， $Q$ 为 $y$ 轴上一动点，当以点 $C$ ， $P$ ， $Q$ 为顶点的三角形与 $△ M D B$ 相似时，请直接写出点 $P$ 及其对应的点 $Q$ 的坐标.（每写出一组正确的结果得1分，至多得4分）

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居民（户）	1	3	2	4
月用电量（度/户）	40	50	55	60

x（元/件）	4	5	6
y（件）	10000	9500	9000