江苏省南通市如皋市2021-2022学年八年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-12-07 类型：期中考试

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一、单选题

1. 在下列“禁毒”“和平”“志愿者”“节水”这四个标志中，属于轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ B、 ${(a^{2})}^{3} = a^{6}$ C、 ${(2 a b)}^{3} = 6 a^{3} b^{3}$ D、 $a^{9} \div a^{3} = a^{3}$

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3. 如图， $△ A B C ≌ △ D E C$ ，点 $B$ ， $C$ ， $D$ 在同一直线上，若 $C E = 4$ ， $A C = 7$ ，则 $B D$ 的长为（）

A、3 B、8 C、10 D、11

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4. 如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是（）

A、 $SSS$ B、 $SAS$ C、 $ASA$ D、 $HL$

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5. 等边三角形的两条中线相交所成的锐角为（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $75 °$

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6. 已知 $m n = 4$ ， $m - n = 1$ ，则 $m^{2} + n^{2}$ 的值为（）

A、5 B、9 C、13 D、17

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点 $P$ 是 $△ A B C$ 内一点，且 $∠ P B C = ∠ P C A$ ，若 $∠ B P C = 115 °$ ，则 $∠ A$ 的度数为（）

A、 $50 °$ B、 $55 °$ C、 $60 °$ D、 $65 °$

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 60 °$ ，点 $D$ 在边 $B C$ 上，且 $A D = A C$ ，若 $A B = 6$ ， $C D = 4$ ，则 $B D$ 的长为（）

A、3 B、2.5 C、2 D、1

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9. 如图，已知Rt△OAB，∠OAB＝50°，∠AOB＝90°，O点与坐标系原点重合，若点P在x轴上，且△APB是等腰三角形，则点P的坐标可能有（　　）.

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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10. 定义关于 $m$ ， $n$ 的新运算： $f (m + n) = f (m) \cdot f (n)$ ，其中 $m$ ， $n$ 为正整数.例如，已知 $f (5) = 2$ ，则 $f (10) = f (5 + 5) = 2 \times 2 = 4$ .若 $f (3) = k (k \neq 0)$ ，则 $f (3 n) \cdot f (2022)$ 的结果为（）

A、 $k n + 674$ B、 $674 k n$ C、 $k^{n + 674}$ D、 $k^{3 n + 2022}$

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二、填空题

11. 点 $P (1 ， - 4)$ 关于 $x$ 轴对称的点的坐标为.

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12. 计算： $(6 x^{4} - 8 x^{3}) \div (- 2 x^{2}) =$ ．

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13. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，交 $B C$ 于点 $D$ .若 $C D = 1$ ，则 $B D$ 的长为.

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中，直线 $D E$ 垂直平分 $B C$ ，垂足为 $E$ ，交 $A C$ 于点 $D$ ，若 $△ A B D$ 的周长为 $12$ ， $A B = 5$ ，则 $A C$ 的长为.

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15. 如图，小明用 $7$ 块高度都是 $1 cm$ 的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放一个等腰直角三角尺 $A B C$ ，点 $C$ 在 $D E$ 上，点 $A$ ， $B$ 分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 $cm$ .

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 6$ ， $A C = 9$ ， $B C = 11$ ，以A为圆心，以适当的长为半径作弧，交 $A B$ 于点 $M$ ，交 $A C$ 于点 $N$ .分别以 $M$ ， $N$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径作弧，两弧在 $∠ B A C$ 的内部相交于点 $P$ ，作射线 $A P$ ，交 $B C$ 于点 $D$ ，点 $E$ 在 $A C$ 边上， $A E = A B$ ，连接 $D E$ ，则 $△ C D E$ 的周长为.

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17. 小丽在计算 $3 \times (4 + 1) \times (4^{2} + 1)$ 时，把 $3$ 写成 $(4 - 1)$ 后，发现可以连续运用平方差公式进行计算.用类似方法计算： $(1 + \frac{1}{2}) \times (1 + \frac{1}{2^{2}}) \times (1 + \frac{1}{2^{4}}) \times (1 + \frac{1}{2^{8}}) + \frac{1}{2^{15}} =$ .

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18. 如图， $A C$ ， $B D$ 在 $A B$ 的同侧， $A C = 3$ ， $B D = 18$ ， $A B = 12$ ，点 $M$ 为 $A B$ 的中点，连接 $C M$ ， $D M$ ， $C D$ ，若 $∠ C M D = 120 °$ ，则 $C D$ 的最大值为.

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三、解答题

19. 计算：

(1)、 $4 x^{2} y {(- x y^{2})}^{3} \div x^{5}$ ；

(2)、 $(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})$ .

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20. 先化简，再求值： $a (a - 2 b) + 2 (a + b) (a - b) - {(a - b)}^{2}$ ，其中 $a = 2$ ， $b = - 1$ .

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21. 如图①、图②、图③都是 $3 \times 3$ 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．A， $B$ ，C均为格点．在给定的网格中，按下列要求画图：

(1)、在图①中，画一条不与 $A B$ 重合的线段 $M N$ ，使 $M N$ 与 $A B$ 关于某条直线对称，且M，N为格点．

(2)、在图②中，画一条不与 $A C$ 重合的线段 $P Q$ ，使 $P Q$ 与 $A C$ 关于某条直线对称，且P，Q为格点．

(3)、在图③中，画一个 $Δ D E F$ ，使 $Δ D E F$ 与 $Δ A B C$ 关于某条直线对称，且D，E，F为格点．

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22. 已知AB＝AC，BD＝CE，求证：∠B＝∠C．

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23. 已知：∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、 D．求证：PC=PD．

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24. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为 $a$ ，点 $E$ 在 $A B$ 上，四边形 $E F G B$ 是边长为 $b$ 的正方形，连接 $A C$ ， $C E$ .

(1)、用含 $a$ ， $b$ 的代数式表示： $G C =$ ， $△ A E C$ 的面积＝；

(2)、若 $△ B C E$ 的面积为 $10$ ，两个正方形的面积之和为60，求 $G C$ 的长.

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25. 在等边 $△ A B C$ 的两边 $A B$ ， $A C$ 所在直线上分别有两点 $M$ ， $N$ ，点 $D$ 为 $△ A B C$ 外一点，且 $∠ M D N = 60 °$ ， $∠ B D C = 120 °$ ， $B D = C D$ .

(1)、如图1，点 $M$ ， $N$ 在边 $A B$ ， $A C$ 上， $B M = C N = 2$ ，求 $M N$ 的长；

(2)、如图2，点 $M$ ， $N$ 在边 $A B$ ， $A C$ 上， $B M \neq C N$ ，试猜想 $B M$ ， $C N$ ， $M N$ 之间的数量关系，并加以证明；

(3)、当点 $M$ ， $N$ 在 $A B$ ， $C A$ 的延长线上时，若等边 $△ A B C$ 的周长为 $l$ ， $A N$ 的长为 $n$ ，则 $△ A M N$ 的周长为（用含有 $l$ ， $n$ 的代数式表示）.

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26. 如图

（了解概念）如图1，已知 $A$ ， $B$ 为直线 $M N$ 同侧的两点，点 $P$ 为直线 $M N$ 的一点，连接 $A P$ ， $B P$ ，若 $∠ A P M = ∠ B P N$ ，则称点 $P$ 为点 $A$ ， $B$ 关于直线 $l$ 的“等角点”.

(1)、（理解运用）
如图2，在 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $B C$ 上一点，且与点 $E$ 关于直线 $A B$ 对称，连接 $E B$ 并延长至点 $F$ ，判断点 $B$ 是否为点 $D$ ， $F$ 关于直线 $A B$ 的“等角点”，并说明理由；

(2)、（拓展提升）
如图2，在（1）的条件下，若 $∠ A = 70 °$ ， $A B = A C$ ，点 $Q$ 是射线 $E F$ 上一点，且点 $D$ ， $Q$ 关于直线 $A C$ 的“等角点”为点 $C$ ，请利用尺规在图2中确定点 $Q$ 的位置，并求出 $∠ B Q C$ 的度数；

(3)、如图3，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C$ ， $∠ B A C$ 的平分线交于点 $O$ ，点 $O$ 到 $A C$ 的距离为 $1$ ，直线 $l$ 垂直平分边 $B C$ ，点 $P$ 为点 $O$ ， $B$ 关于直线 $l$ 的“等角点”，连接 $O P$ ， $B P$ ，当 $∠ A C B = 60 °$ 时， $O P + B P$ 的值为.

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